2020-2021學年八年級數(shù)學人教版下冊-期末復習：平行四邊形綜合(一)

2020-2021學年八年級數(shù)學人教版下冊期末復習：平行四邊形綜合（一）1．在正方形ABCD中，點E、F分別在BC邊和CD上，且滿足△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G．（1）求證：CE＝CF；（2）若等邊△AEF邊長為2，求AC的長．2．如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線交于點F，E是邊BC的中點，連接EF，AF，AF的延長線交邊CD于點G，BF的延長線交CD的延長線于點H．（1）∠BFC＝°；（2）求證：BC＝CH；（3）若EF＝5，AB＝6，求CG的長．3．如圖，四邊形ABCD為正方形，點E、F分別是AB、CD的中點，DG⊥CF于點G．（1）求證：AE∥CF；（2）求證：∠AGE＝90°；（3）若正方形的邊長為2，則線段CG的長度為．4．如圖，在正方形中ABCD，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF；（2）若點G在AD上，且∠GCE＝45°，判斷線段GE、BE、GD之間的數(shù)量關系，并說明理由．5．如圖，正方形ABCD中，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G、與對角線BD相交于點H．（1）若AB＝6，且BD＝BF，求BE的長；（2）若∠2＝2∠1，求證：HF＝HE+HD．6．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分∠EAD，交CD于點F．（1）如圖1，當AB＝2時，若點F恰好為CD中點，求CE的長；（2）如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當CG＝DF時，求證：HG⊥AG．7．正方形ABCD，點E為射線DC上一點，連接BE，過點A作AF⊥BE，交直線BC于點F，交直線BE于點K．（1）如圖，點E在邊CD上，求證AF＝BE；（2）過點E作AF的平行線，交直線AD于點M，交直線BC于點N，請你用等式表示線段CE，DM，CN之間的數(shù)量關系：．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）延長AE至G，使EG＝AE，連接CG，延長CF，交AD于點P．①當AB與AC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由；②若AP＝2DP＝8，CP＝，CD＝5，求四邊形EGCF的面積．9．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A，D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）若點F是PB的中點，連接AF，當PB＝PQ時．①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②已知四邊形AFEP是菱形，求的值．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點M為AD的中點，過點M作MN∥BD交CD延長線于點N．（1）求證：四邊形MNDO是平行四邊形；（2）請直接寫出當四邊形ABCD的邊AB與BD滿足什么關系時，四邊形MNDO分別是菱形、矩形、正方形．11．如圖，E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊AD，CD的中點，且AB＝5，BD＝6．（1）求線段EF的長；（2）探究四邊形DEOF是什么特殊四邊形？并對結論給予證明．12．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在邊AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點F．（1）求證：PA＝PC；（2）求證：PC⊥PE．13．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AD的中點，點F、G在CD邊上，EF⊥CD，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的長．14．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）求證：△AEF≌△BAC；（2）四邊形ADFE是平行四邊形嗎？請說明理由．15．如圖，在正方形ABCD中，AB＝，E為正方形ABCD內(nèi)一點，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），連結CE，AE，過點D作DF⊥AE，垂足為點F，交CE的延長線于點G，連結AG．（1）當α＝20°時，求∠DAE的度數(shù)；（2）判斷△AEG的形狀，并說明理由；（3）當GF＝1時，求CE的長．

參考答案1．證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF．（2）∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝FG＝1．∴，，∴．2．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠FBC＝∠ABC，∠DCF＝∠BCF＝∠BCD，∴∠FBC+∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，故答案為90；（2）在△BCF和△HCF中，，∴△BCF≌△HCF（ASA），∴BC＝CH；（3）∵△BCF≌△HCF，∴BF＝FH，又∵E是邊BC的中點，∴CH＝2EF＝10，∵AB∥CD，∴∠H＝∠ABF，在△ABF和△GHF中，，∴△ABF≌△HGF（ASA），∴AB＝HG＝6，∴CG＝CH﹣GH＝4．3．解：（1）∵AF＝CE，AF＝CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE∥CF；（2）如圖，取AE和DG交于H，∵CF∥AE，DG⊥CF，∴DG⊥AE于H，∵E是CD的中點，∴EG＝ED，∴△DGE是等腰三角形，∴H是DG的中點，∴AG＝AD，在△ADE和△AGE中，，∴△ADE≌△AGE（SSS），∴∠AGE＝∠ADE＝90°；（3）∵AG＝AD＝2，DE＝1，∴AE＝，又∵GH⊥AE，∴，解得HG＝，∴DG＝，∴，故答案為．4．（1）證明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，在△CBE與△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）解：GE＝BE+GD，理由：由（1）得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，CE＝CF．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+DCG＝45°，∴∠GCF＝∠DCF+∠DCG＝45°，在△ECG與△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝DF+GD＝BE+GD．5．（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，且FD⊥DE，∴AD＝CD，∠A＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EDC＝∠CDF，∠A＝∠DCF＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴Rt△DAE≌Rt△DCF（ASA），∴AE＝CF，∵CF＝BF﹣BC＝BD﹣BC＝6﹣6，∴AE＝6﹣6，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣（6﹣6）＝12﹣6；（2）在HF上取一點P，使FP＝EH，連接DP，由（1）Rt△DAE≌Rt△DCF得△EDF是等腰直角三角形，∴DE＝DF，∠DEF＝∠DFE＝45°，在△DEH和△DPE中，，∴△DEH≌△DFP（SAS），∴DH＝DP，∠EDH＝∠FDP，在△DHE和△FHB中，∵∠DEF＝∠HBF＝45°，∠EHD＝∠BHF（對頂角相等），∴∠EDH＝∠1＝∠2＝（45°﹣∠EDH），∴∠EDH＝15°，∠FDP＝15°，∴∠HDP＝90°﹣15°﹣15°＝60°，∴△DHP是等邊三角形，∴HD＝HP，∵HF＝HP+PF，∴HF＝HE+HD．6．解：（1）延長BC交AF的延長線于點G，∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠FGC，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴EA＝EG，∵點F為CD的中點，∴CF＝DF，在△ADF和△GCF中，，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG＝2，設CE＝a，則BE＝2﹣a，∴AE＝EG＝EC+CG＝2+a，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，即22+（2﹣a）2＝（2+a）2，解得a＝，∴CE＝；（2）連接DG，在△ADF和△DCG中，，∴△ADF≌△DCG（SAS），∴∠CDG＝∠DAF，∴∠HAF＝∠FDG，又∵∠AFH＝∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴＝，又∵∠AFD＝∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF＝∠FGH，∵∠ADF＝90°，∴∠FGH＝90°，∴AG⊥GH．7．（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∵AF⊥BE，∠BKF＝90°，∴∠ABK+∠BAK＝90°，又∵∠ABK+∠FBK＝90°，∴∠BAK＝∠FBK，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA），∴AF＝BE；（2）解：①當E在邊CD上時，如圖：由（1）知△ABF≌△BCE，∴BF＝CE，∴CF＝DE，∵MN//AF，AM//FN，∴四邊形AMNF是平行四邊形，∴AM＝FN，而AM+DM＝AD＝CD，∴FN+DM＝CD，∴CN+CF+DM＝DE+CE，∴CE＝DM+CN；②當E在邊DC的延長線上時，如圖：∵∠FAB＝90°﹣∠F＝∠FBK＝∠EBC，AB＝BC，∠ABF＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BCE（ASA），∴BF＝CE，∵MN∥AF，AM∥FN，∴四邊形AFNM是平行四邊形，∴AM＝FN，即AD+DM＝BF+BC+CN，而AD＝BC，∴DM＝CE+CN，∴CE＝DM﹣CN，故答案為：CE＝DM+CN或CE＝DM﹣CN．8．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：①當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形；②如圖，過點C作CH⊥AD于H，連接CE，則CH2＝CD2﹣DH2＝CP2﹣PH2，∵AP＝2PD＝8，∴PD＝4，設DH＝x，則PH＝4﹣x，∴52﹣x2＝（）2﹣（4﹣x）2，∴x＝3，∴DH＝3，PH＝1，∴CH＝＝＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△BCD＝S?ABCD＝×（8+4）×4＝24，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，OB＝OD，∴EF＝BD，∴S△EFC＝S△BCD＝12，由①知：四邊形EGCF是平行四邊形，S四邊形EGCF＝2S△EFC＝24．9．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D，∵E是CD的中點，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE；（2）①證明：①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵PF＝BF，∴EF是△PBQ的中位線，∴EF∥BQ，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四邊形AFEP是平行四邊形；②∵四邊形AFEP是菱形，∴AP＝PE，設AP為x，則有，解得x＝，∴．10．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵點M為AD的中點，∴OM是△ACD的中位線，∴OM//CD，即OM//DN，∵MN∥BD，∴四邊形MNDO是平行四邊形；（2）由（1）知四邊形MNDO是平行四邊形，若四邊形MNDO是菱形，只需OM＝OD，而OM＝CD＝AB，OD＝BD，∴AB＝BD時，四邊形MNDO是菱形；若四邊形MNDO是矩形，只需∠MOD＝90°，而∠MOD＝∠ABD，∴∠ABD＝90°時，四邊形MNDO是矩形，即AB⊥BD；若四邊形MNDO是正方形，需OM＝OD，∠MOD＝90°，∴AB＝BD，AB⊥BD時，四邊形MNDO是正方形．11．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝AC，OB＝OD＝BD＝3，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝4，∴AC＝2OA＝8，∵E、F分別是AB、AD的中點，∴EF是△ABD的中位線，∴EF＝BD＝4，（2）四邊形DEOF是菱形．理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，OA＝OC，OB＝OD，∴O是AC，BD的中點，∵E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊AD，CD的中點，∴DE＝DA，DF＝DC，OE，OF分別是△ACD和△CDA的中位線，∴DE＝DF，OE∥FD，OF∥DE，∴四邊形DEOF平行四邊形，∵DE＝DF，∴四邊形DEOF是菱形．12．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE．（2）作PM⊥AE于M，PN⊥CD于N，∵PD平分∠ADC，∴PM＝PN，∵∠ADC＝90°，∴PNDM是矩形，∠MPN＝90°，在Rt△PME和Rt△PMC中，PC＝PE，PM＝PN，∴Rt△PME≌Rt△PNC（HL），∴∠MPE＝∠NPC，∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠NPC+∠NPE＝∠EPC＝90°．∴PC⊥PE．13．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵E是AD的中點，∴OE是△ACD的中位線，∴OE∥CD，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；（2）解：由（1）得：四邊形OEFG是矩形，∴OE＝FG＝5，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點，∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．