重慶市南開中學2025屆高三數(shù)學下學期第六次教學質量檢測試題理含解析

PAGE21-重慶市南開中學2025屆高三數(shù)學下學期第六次教學質量檢測試題理（含解析）一、選擇題1.若集合，集合，則表示（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，進一步得到，再按交集的定義運算即可.【詳解】由，得或，所以或，，所以.故選：A【點睛】本題主要考查集合間的基本運算，涉及到交集、補集運算以及解一元二次不等式，是一道簡單題.3.向量，向量.若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，再利用向量的坐標運算即可得到答案.【詳解】由已知，，，又，所以，即，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生的基本計算實力，是一道簡單題.4.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學家歐拉發(fā)覺的，他將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)理論中占有特別重要的地位，特殊是當時，被稱為數(shù)學上的美麗公式.依據(jù)歐拉公式，表示復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)歐拉公式將化簡為，再利用復數(shù)模的計算公式計算即可.【詳解】依據(jù)歐拉公式有，所以，.故選：B【點睛】本題主要考查復數(shù)模的計算，考查學生的數(shù)學運算實力，是一道簡單題.5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：對隨意的有恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知，可得是上的奇函數(shù)且單調遞增，所以，利用函數(shù)的單調性解不等式即可.【詳解】對隨意的有恒成立，可得是上的增函數(shù)，又是上的奇函數(shù)，所以，所以，解得，所以不等式的解集為.故選：D【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性、單調性解抽象函數(shù)不等式，考查學生轉化與化歸的思想，是一道簡單題.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)框圖寫出每次結果即可【詳解】當時，，，；第一次循環(huán)：，；其次次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，滿足，退出循環(huán)，此時輸出的x為.故選：B【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結果，解此類題關鍵是讀懂程序，建議數(shù)據(jù)不大時采納寫出來的方法，防止出錯，是一道簡單題.7.某超市銷售的甲、乙兩種品牌的臘肉各占，的份額，出廠時已知兩種品種臘肉亞硝酸鹽超標的概率分別為，.現(xiàn)一市民在該超市隨機選擇了一塊臘肉，則該塊臘肉亞硝酸鹽超標的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出該塊亞硝酸鹽超標的臘肉來自甲、乙品牌的概率，相加即可得到所求事務的概率.【詳解】設一市民在該超市隨機選擇了一塊臘肉，該塊臘肉來自甲品牌且亞硝酸鹽超標為事務A，該塊臘肉來自乙品牌且亞硝酸鹽超標為事務B，則，，則所求概率為.故選：A【點睛】本題考查互斥事務的概率，考查學生的基本計算實力，是一道簡單題.8.一質地勻稱的正方體的六個面分別標有數(shù)字，現(xiàn)連續(xù)拋擲該正方體次，發(fā)覺落地后向上數(shù)字大于的平均次數(shù)不小于，則拋擲次數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設表示拋擲n次落地向上數(shù)字大于的次數(shù)，則，由題意，利用二項分布的期望公式即可得到答案.【詳解】由題意，每次拋擲正方體落地后出現(xiàn)向上數(shù)字大于4的概率為，設表示拋擲n次落地向上數(shù)字大于次數(shù)，則，由題意，即，.故選：C【點睛】本題考查二項分布的均值，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.9.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：若與的對稱中心相同，則函數(shù)的周期相同即，則，即由，即，即的對稱中心為，即的對稱中心為，，則，即，則，當，，故選：．10.如圖，已知點沿著半徑為的半圓弧按逆時針方向從點行進到點（不含），由，線段圍成的平面圖形的面積記為，設，.則的圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，，可得，進一步可得，通過分析的導函數(shù)即可得到答案.【詳解】取AB的中點O，連接，因為，，所以，則，所以，，，，這說明在上是遞減的，即的圖象上點的切線的斜率大于0且隨x增大越來越小，故選項A中的圖象符合.故選：A【點睛】本題考查由解析式選擇函數(shù)圖象的問題，涉及到導數(shù)的幾何意義，考查學生邏輯推理實力，數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.11.若對隨意，均存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，均存在，使得成立，則，通過求導，可得，所以問題轉化為對隨意恒成立，令，求出即可.【詳解】設，均存在，使得成立，則，，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則對隨意恒成立，令，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.故選：D【點睛】本題考查利用導數(shù)探討雙變量函數(shù)的問題，考查學生的邏輯推理實力，轉化與化歸的思想，是一道有肯定難度的題.12.已知是橢圓上的兩個動點，，則以為直角頂點的等腰直角的個數(shù)為（）A. B. C. D.多于【答案】A【解析】【分析】當軸時，易得有兩個滿足條件的三角形，當不垂直于x軸時，通過分析可知點從左頂點運動到右頂點的過程中，是漸漸減小的，可得此種狀況沒有滿足題意的等腰直角三角形.【詳解】當軸時，如圖所示，明顯有兩個滿足條件的三角形.當不垂直于x軸時，不妨假設，，，由復合函數(shù)單調性知，在上單調遞減，所以點從左頂點運動到右頂點的過程中，不存在另一個異于的點，使得.綜上，滿足條件的三角形只有2個.故選：A.【點睛】本題考查橢圓中的存在性問題，考查學生數(shù)形結合思想、邏輯推理實力，是一道有肯定難度的壓軸選擇題.二、填空題13.設正數(shù)滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】，則，則的最小值為.點睛:本題主要考查基本不等式，解決本題的關鍵是由，有，在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關系式中，各項均為正數(shù)；②二定：關系式中，含變量的各項的和或積必需有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.14.若的綻開式中第四項為常數(shù)項，則n=.【答案】5【解析】【詳解】試題分析：先將題中二項式進行化簡得，，由題意為常數(shù)項，則，解得.考點：1.二項式定理的應用；2.二項式的通項、系數(shù)、次數(shù).15.我國古代有輝煌的數(shù)學探討成果，其中《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《孫子算經》，《緝古算經》均有著特別豐富的內容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻，某中學安排將這本專著作為中學階段“數(shù)學文化”樣本課程選修內容，要求每學年至少選一科，三學年必需將門選完，則小南同學的不同選修方式有______種.【答案】【解析】【分析】分小南中學三年選修的科目數(shù)為2，2，1和3，1，1兩種狀況探討即可.【詳解】依據(jù)題意，小南中學三年選修的科目數(shù)為2，2，1或3，1，1.若小南中學三年選修的科目數(shù)為2，2，1時，先將5門學科分成三組共種不同方式，再安排到中學三年共有種不同安排方式，由乘法原理可得共有種；若小南中學三年選修的科目數(shù)為3，1，1時，先將5門學科分成三組共種不同方式，再安排到中學三年共有種不同安排方式，由乘法原理可得共有種；由加法原理可知小南同學的不同選修方式有種.故答案為：【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，涉及到部分勻稱分組問題，考查學生的邏輯推理實力，是一道中檔題.16.若函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分段函數(shù)在在上單調遞增，則每個分支所對應的函數(shù)在相應的區(qū)間上必需單調遞增，且還要留意分段點處的函數(shù)值的大小.【詳解】首先必需滿足在分段點處有，另外，還須要滿足兩段函數(shù)在各自區(qū)間內單調遞增，所以有，解得.綜上，.故答案為：【點睛】本題考查已知分段函數(shù)函數(shù)的單調性求參數(shù)的范圍，考查學生的數(shù)學運算求解實力，是一道有肯定難度的題.三、解答題17.已知等差數(shù)列的前項和為，其中：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知可得，解方程組，再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可；（2），利用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由，得：所以.（2）由（1）得，∴∴，∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算實力，是一道簡單題.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調增區(qū)間；（2）在中，角的對邊分別為.若，，求的面積的取值范圍.【答案】（1），單調遞增區(qū)間是，.（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式可得，結合正弦函數(shù)的性質可得的周期以及單調遞增區(qū)間；（2）由可得，所以，，結合，進一步可得，即可得到答案.【詳解】（1）∴的周期，由，得所以的單調遞增區(qū)間是，.（2）∵，即，又，∴，由正弦定理有∴∵，∴∴.【點睛】本題考查三角恒等變換在三角函數(shù)以及解三角形中的應用，考查學生的運算求解實力，是一道簡單題.19.跨年迎新聯(lián)歡晚會簡稱跨年晚會，是指每年陽歷年末12月31日晚上各電視臺和政府為喜迎新而細心策劃的演唱會活動，跨年晚會首次出現(xiàn)在港臺地區(qū)，跨年晚會因形式和舉辦地不同因而名稱也不同，如央視啟航2024跨年盛典，湖南衛(wèi)視跨年演唱會，東方衛(wèi)視迎新晚會等.某電視臺為了了解2024年舉辦的跨年迎新晚會觀眾的滿足度，現(xiàn)分別隨機選出名觀眾對迎新晚會的質量評估評分，最高分為分，綜合得分狀況如下表所示：綜合得分觀眾人數(shù)510253015105依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，繪制這位觀眾打分的頻率分布直方圖；（2）已知觀眾的評分近似聽從，其中是反應隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，工作人員在分析數(shù)據(jù)時發(fā)覺，可用位觀眾評分的平均數(shù)估計，但由于評分觀眾人數(shù)較少，誤差較大，所以不能干脆用位觀眾評分的標準差的值估計，而在這位觀眾打分的頻率分布直方圖的基礎上依據(jù)來估計更科學合理，試求和的估計值（的結果精確到小數(shù)點后兩位）.【答案】（1）見解析（2），.【解析】【分析】（1）分別計算每組的頻率/組距即可；（2）由題意及已知可得，留意到中間三組的概率和為0.7，所以，或，，分別探討計算即可得到答案.【詳解】（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出各段的頻率，繪制出頻率分布直方圖如下（2）∴因為第3，4，5組概率和為，所以要使，則，或，，若，，即整理得：即：，所以不滿足，舍去；若，，則有整理得：，滿足條件故.【點睛】本題考查頻率分布直方圖及其應用，涉及到正態(tài)分布的概念，考查學生的數(shù)學運算求解實力，是一道中檔題.20.已知拋物線上的動點到圓上的點的最短距離為.（1）求圓的半徑；（2）圓與軸的兩個交點中，右邊一個點為，過作直線與圓交于點，與拋物線交于，點，求的最大值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用P到圓心的距離減去圓的半徑等于1計算即可；（2）明顯直線的斜率存在且不能為，故設直線，由直線與拋物線方程聯(lián)立得到的坐標的關系，進一步得到，由直線與圓的方程聯(lián)立求得的縱坐標，利用計算得到關于m的函數(shù)，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1），，由條件知，即，所以.（2）易得，明顯直線的斜率存在且不能為，故設直線，設縱坐標分別為，由，得，，所以，由，得解得或，所以，所以，當且僅當，即時等號成立.【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關系中的最值問題，涉及到直線與圓的位置關系，基本不等式求最值，考查學生的數(shù)學運算求解實力，是一道中檔題.21.我們平常的導數(shù)學習中，見到過許多形形色色的函數(shù)，其實許多函數(shù)的形態(tài)是具有共性的，比如與，與等等.（1）已知，，為正常數(shù)，分別求這兩個函數(shù)在的最值.（2）證明：.【答案】（1），無最大值.，無最小值.（2）見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調性即可得到最值；（2）原不等式可以變形為，設，，只需證明即可.【詳解】（1），當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，無最大值.，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以，無最小值.（2）原不等式可以變形為.設，，易得在上單調遞減，在上單調遞增，所以.設，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以所以（因為兩個函數(shù)的最值不能同時取得）.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的最值、證明不等式，考查學生的邏輯推理實力，轉化與化歸的思想，是一道中檔題.22.直角坐標系中，直線的方程為，曲線的方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）若與直線的交點為，與曲線的交點分別為，且恰好為中點，求的值.【答案】（1）曲線（2）【解析】【分析】（1）利用直角坐標、極坐標、參數(shù)方程互化公式即可解決；（2），將代入中，得到，進一步得到的極坐標，再代入中計算即可.【詳解】（1）將代入直線的一般方程，得，所以直線的極坐標方程為；曲線C的一般方程為，即，所以曲線的