廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三模擬預(yù)測（三）數(shù)學(xué)含答案解析

2024屆高三畢業(yè)生數(shù)學(xué)模擬預(yù)測卷（三）解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，則（）A． B． C． D．2．已知平面向量，，當(dāng)和垂直時(shí)，（）A． B．22 C． D．253．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)，與共軛，，且，則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．85．已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（）A． B． C． D．6．5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創(chuàng)新、追求卓越的堅(jiān)實(shí)步伐.據(jù)統(tǒng)計(jì)，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達(dá)250億元，已超去年全年的60%，真正實(shí)現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠(yuǎn)銷五洲四?！?某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)這四款商品的營收占比，得到如下餅圖.同比第一季度，下列說法錯誤的是（）A．今年商品A的營收是去年的4倍B．今年商品B的營收是去年的2倍C．今年商品C的營收比去年減少D．今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變7．過直線上一點(diǎn)向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則（）A． B． C． D．8．設(shè)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，對于方程①，②，③．下列判斷正確的是（）A．若①有實(shí)根，②有實(shí)根，則③有實(shí)根B．若①有實(shí)根，②無實(shí)根，則③有實(shí)根C．若①無實(shí)根，②有實(shí)根，則③無實(shí)根D．若①無實(shí)根，②無實(shí)根，則③無實(shí)根二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式可能正確的是（）A．，使 B．，使C．，有 D．，有10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則（）A． B．C．是增函數(shù) D．當(dāng)時(shí)，11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，記二面角的大小為，二面角的大小為，則（）A．異面直線BP與AC所成角的范圍是B．的最小值為C．當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，三棱錐的體積為D．用平面截正方體，截面的形狀為梯形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．我們常常運(yùn)用對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如：從裝有編號為的個球的口袋中取出個球，共有種取法.在種取法中，不取號球有種取法；取號球有種取法.所以.試運(yùn)用此方法，寫出如下等式的結(jié)果：.13．若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為的一個零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞（填增或減），函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為．14．《九章算術(shù)》中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）是否存在常數(shù)p、q，使得對一切正整數(shù)n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，說明理由．16．（15分）某款自營生活平臺以及提供配送服務(wù)的生活類軟件主要提供的產(chǎn)品有水產(chǎn)海鮮，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查顧客對該軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機(jī)訪問了100人，訪問結(jié)果如下表所示．使用人數(shù)未使用人數(shù)女性顧客4020男性顧客2020（1）從被訪問的100人中隨機(jī)抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率；（2）用隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數(shù)記為，問為何值時(shí)，的值最大？17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，O為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.18.（17分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸右側(cè)，且到點(diǎn)的距離比其到軸距離多1.（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于?兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn).若是正三角形，求直線的斜率.19.（17分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為為的零點(diǎn)，求證：.2024屆高三畢業(yè)生數(shù)學(xué)模擬預(yù)測卷（三）解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，解不等式，不等式等價(jià)于且，解得.所以.，故．故答案為：D2．已知平面向量，，當(dāng)和垂直時(shí)，（）A． B．22 C． D．25【答案】D【解析】∵，∴，又∵，∴，即，解得m=-15，∴，∴∴，故選：D3．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【解析】解：因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則．因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，且，所以，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，得．故答案為：D.4．已知復(fù)數(shù)，與共軛，，且，則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】依題意，即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為，而，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，在以為長軸，為焦距，焦點(diǎn)在軸的橢圓上，橢圓的長半軸為，半焦距為，所以短半軸為，所以橢圓的方程為.與共軛，說明與對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于長軸對稱，，設(shè)，依題意，即，所以，則，即，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，為左焦點(diǎn)，而，表示：與兩點(diǎn)的距離、與右焦點(diǎn)的距離、與右焦點(diǎn)的距離，這三個距離之和，即和為。故答案為：D5．已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】無論橢圓焦點(diǎn)位于軸或軸，根據(jù)點(diǎn)，，為橢圓的三個頂點(diǎn)，若是正三角形，則，即，即，即有，則，解得.故答案為：C.6．5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創(chuàng)新、追求卓越的堅(jiān)實(shí)步伐.據(jù)統(tǒng)計(jì)，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達(dá)250億元，已超去年全年的60%，真正實(shí)現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠(yuǎn)銷五洲四?！?某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)這四款商品的營收占比，得到如下餅圖.同比第一季度，下列說法錯誤的是（）A．今年商品A的營收是去年的4倍B．今年商品B的營收是去年的2倍C．今年商品C的營收比去年減少D．今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變【答案】C【解析】解：∵今年第一季度比去年第一季度營收實(shí)現(xiàn)翻番，設(shè)去年第一季度營收為x億元，則今年第一季度營收為2x億元，A.根據(jù)扇形圖可得，今年商品A第一季度的營收為0.4x，去年商品A第一季度的營收為0.1x，故A正確；B.根據(jù)扇形圖可得，今年商品B第一季度的營收為0.4x，去年商品B第一季度的營收為0.2x，故B正確；C.根據(jù)扇形圖可得，今年商品C第一季度的營收為0.8x，去年商品C第一季度的營收為0.5x，故C錯誤；D.根據(jù)扇形圖可得，今年商品B，D第一季度營收的總和占總營收的比例為40%，去年商品B，D第一季度營收的總和占總營收的比例為40%，故占總營收的比例不變，故D正確．故選：C．7．過直線上一點(diǎn)向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：點(diǎn)P是直線上動點(diǎn)，自點(diǎn)P向圓作切線，如圖所示：則，，，當(dāng)最短時(shí)，兩切線所成的角最大，，，.故答案為：C.8．設(shè)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，對于方程①，②，③．下列判斷正確的是（）A．若①有實(shí)根，②有實(shí)根，則③有實(shí)根B．若①有實(shí)根，②無實(shí)根，則③有實(shí)根C．若①無實(shí)根，②有實(shí)根，則③無實(shí)根D．若①無實(shí)根，②無實(shí)根，則③無實(shí)根【答案】B【解析】若①有實(shí)根，由題意得：，其中，，代入上式得，設(shè)方程與方程的判別式分別為和，則等號成立的條件是．又，如果②有實(shí)根，則，則或者，所以③有實(shí)根或者沒有實(shí)根，如滿足，，但是，所以③沒有實(shí)根，所以A不符合題意；如果②沒實(shí)根，則，則，所以③有實(shí)根，所以B符合題意；若①無實(shí)根，則，②有實(shí)根，則，設(shè)，所以，，此時(shí)，則③有實(shí)根，所以C不符合題意；若①無實(shí)根，則，②無實(shí)根，則，設(shè)，所以，，此時(shí)，則③有實(shí)根，所以D不符合題意.故答案為：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式可能正確的是（）A．，使 B．，使C．，有 D．，有【答案】ABCD【解析】對于A，由得，令，則分別在和上單調(diào)遞增，令，則分別在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋源嬖?，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A符合題意；對于B，令，則方程可化為，由換底公式可得，顯然關(guān)于的方程在上有解，所以，使，B符合題意；對于C，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，從而可得，所以．綜上所述可得，C符合題意；對于D，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，從而，所以．綜上所述可得，所以D符合題意．故答案為：ABCD10．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則（）A． B．C．是增函數(shù) D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對A：令，可得，解得，A符合題意；對B：∵當(dāng)時(shí)，，則，∴，B不符合題意；對C：令，可得，即，設(shè)，則，可得，則，即，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，C符合題意；對D：∵函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，D符合題意.故答案為：ACD.11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，記二面角的大小為，二面角的大小為，則（）A．異面直線BP與AC所成角的范圍是B．的最小值為C．當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，三棱錐的體積為D．用平面截正方體，截面的形狀為梯形【答案】ABD【解析】對A：因?yàn)?，所以異面直線BP與AC所成角為或中的銳角或直角，又因?yàn)?，所以為為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，所以當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)異面直線BP與AC所成角為，當(dāng)點(diǎn)P趨近或時(shí)，異面直線BP與AC所成角趨近，所以異面直線BP與AC所成角的范圍是，故A正確；對B：過點(diǎn)P作，，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，過點(diǎn)F作，垂足為G，H，所以為二面角的平面角，為二面角的平面角，故，設(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故B正確；對C：延長到點(diǎn)M，使得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以當(dāng)點(diǎn)P為線段AM與的交點(diǎn)時(shí)，的周長最小，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以的面積，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)B到平面APE的距離為BO，所以當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，三棱錐的體積為，故C錯誤；對D：延長，兩直線交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，且，所以四邊形BEST為梯形，所以用平面BEP截正方體，截面的形狀為梯形，故D正確.故答案為：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．我們常常運(yùn)用對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如：從裝有編號為的個球的口袋中取出個球，共有種取法.在種取法中，不取號球有種取法；取號球有種取法.所以.試運(yùn)用此方法，寫出如下等式的結(jié)果：.【答案】【解析】從編號為個球中，取出個球，記所選取的六個小球的編號分別為，且，當(dāng)時(shí)，分三步完成本次選?。旱谝徊?，從編號為的球中選取2個；第二步，選取編號為的球；第三步，從剩下的個球中任選個，故答案為：取的方法數(shù)為；當(dāng)時(shí)，分三步完成本次選取：第一步，從編號為的球中選取2個；第二步，選取編號為的球；第三步，從剩下的個球中任選個，故答案為：取的方法數(shù)為；……；當(dāng)時(shí)，分三步完成本次選?。旱谝徊?，從編號為的球中選取2個；第二步，選取編號為的球；第三步，從剩下的個球中選個，故答案為：取的方法數(shù)為；至此，完成了從編號為個球中，選取個球，第個球的編號確定時(shí)的全部情況，另外，從編號為個球中，取出個球，有種取法，所以.故答案為：.13．若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為的一個零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞（填增或減），函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為．【答案】增；9【解析】因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，所以，即，．又因?yàn)?，所以，即，只有，符合要求，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)榈淖畲笾禐?，而，，作出函數(shù)與的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象共有9個交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為9．故答案為：增；9.14．《九章算術(shù)》中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】由題意知漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，所以，由，得，由，得，所以截面面積為，由題知，陰影部分繞y軸轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面積與截面面積相等，高為2的圓柱的體積，∴，即，所以，即，∴，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）是否存在常數(shù)p、q，使得對一切正整數(shù)n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，所以是首項(xiàng)為7，公差為4的等差數(shù)列．（2）解：因?yàn)椋?，所以?shù)列是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；所以，要使對一切正整數(shù)n都有成立．即，即，所以，解得，所以則當(dāng)，時(shí)，對一切正整數(shù)n都有成立．16．（15分）某款自營生活平臺以及提供配送服務(wù)的生活類軟件主要提供的產(chǎn)品有水產(chǎn)海鮮，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查顧客對該軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機(jī)訪問了100人，訪問結(jié)果如下表所示．使用人數(shù)未使用人數(shù)女性顧客4020男性顧客2020（1）從被訪問的100人中隨機(jī)抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率；（2）用隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數(shù)記為，問為何值時(shí)，的值最大？【答案】（1）解：設(shè)事件為“從被訪問的100人中隨機(jī)抽取2名，所抽取的都是女性顧客且使用該軟件”，從被訪問的100人中隨機(jī)抽取2名，共有個基本事件，事件共有個基本事件，則（2）解：由題意，服從二項(xiàng)分布，且使用該軟件的概率為，則．所以．設(shè)．若，則；若，則．所以時(shí)，最大．17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，O為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】（1）證明：如圖，連接，在中，由可得.因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?又因?yàn)椋矫?，，所以平?（2）解：由（1）可知，，