廣東省羅定第二中學2025屆高三數(shù)學上學期期末教學質量檢測試題文含解析

PAGE16-廣東省羅定其次中學2025屆高三數(shù)學上學期期末教學質量檢測試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若為虛數(shù)單位，且，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)乘法的運算法則化簡原式，利用復數(shù)相等的性質可得結果.【詳解】因為，即，因為為虛數(shù)單位，所以，故選C.【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)相等的性質，屬于基礎題.2.設集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},則S∩T等于()A.{0} B.{0,2}C.{-2,0} D.{-2,0,2}【答案】A【解析】集合運算問題需先對集合進行化簡,明確集合中所含詳細元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故選A.3.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a等于（）A. B. C.2 D.9【答案】C【解析】【分析】由內層起先計算，解方程即可求解.【詳解】，∴，∴，解得.故選:C.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)求值，屬于簡單題.4.“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列是常數(shù)列”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則可知是常數(shù)列，所以充分性成立；若是常數(shù)列，則不是等比數(shù)列，所以必要性不成立，所以“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列是常數(shù)列”的充分不必要條件，故選A．5.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)定義域及特別點可推斷.【詳解】解：∵的圖象與軸交于，且點的縱坐標為正，∴，故，定義域為其函數(shù)圖象間斷的橫坐標為正，∴，故.故選：【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題.6.在一次馬拉松競賽中，35名運動員的成果（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成果由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成果小于139分鐘運動員人數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由系統(tǒng)抽樣的定義，所抽取的樣本編號成等差數(shù)列，由此可知小于139分的能抽取的人數(shù)．【詳解】共有35人，抽取7人，每5人中抽取一個，小于139分的有10人，應制取2人．故選：B．【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，駕馭系統(tǒng)抽樣的定義是解題基礎．一般系統(tǒng)抽樣制取出的樣本的編號是成等差數(shù)列的．7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分子分母同除，化簡即可得出答案.【詳解】分子分母同除得：∴故選：A【點睛】本題主要考查了弦化切來求三角函數(shù)值，屬于基礎題.8.若實數(shù)滿意，則的最大值和最小值分別為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式組作出可行域，令，數(shù)形結合求出的最大值和最小值．【詳解】解：由作可行域如圖，令，則，由圖可知，當過時，截距最大，最大值為；當過時，截距最小，最小值為．的最大值和最小值分別為2，．故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，數(shù)形結合是數(shù)學思想的重要手段之一，是連接代數(shù)和幾何的重要方法．屬于中檔題．9.在四邊形（）A. B. C. D.【答案】C【解析】留意到兩向量的縱坐標都為2，所以借助坐標系如圖，.或者留意到分為四個小直角三角形算面積.【考點定位】本題的處理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的轉化還是屬于簡單題.10.如圖，四棱錐的底面為正方形，，則下列結論中不正確的是（）A. B.C.平面平面 D.【答案】D【解析】【分析】由底面正方形及，確定線線間的垂直關系，推斷各個結論的正確性．【詳解】，在平面的射影與垂直，則，A正確；在平面的射影與垂直，則，B正確；利用上述垂直可得平面，從而有平面平面，C正確；若，則垂直在平面內射影，這是不行能的，D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查空間的線線的垂直與面面垂直的推斷，駕馭三垂線定理及其逆定理是解題基礎．11.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為()A.2 B.2 C.4 D.4【答案】A【解析】【詳解】解：依據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，-1），即點（-2，-1）在拋物線的準線上，又由拋物線y2＝2px的準線方程為，則p=4，則拋物線的焦點為（2，0）；則雙曲線的左頂點為（-2，0），即a=2；點（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為，由雙曲線的性質，可得b=1；則，則焦距為2c=2；故選A．12.已知的內角所對的邊分別是，且，若邊上的中線，則的外接圓面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，結合正弦定理可求得外接圓半徑，從而得外接圓面積.【詳解】∵，∴，．又是中點，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故選：A．【點睛】本題考查余弦定理、正弦定理，考查向量的線性運算．解題關鍵是是利用向量線性運算把表示為，平方后易求得．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線y=x(3lnx+1)在點處的切線方程為________【答案】【解析】【詳解】函數(shù)的導數(shù)為，所以在的切線斜率為，所以切線方程為，即.14.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值是________．【答案】.【解析】分析：由對稱軸得，再依據(jù)限制范圍求結果.詳解：由題意可得，所以，因為，所以點睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質：(1)；(2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.15.若數(shù)列滿意，，則_____________．【答案】【解析】【分析】本題通過遞推式干脆將代入在依次類推則可得出．【詳解】因為，所以，所以，通過視察上式得．【點睛】本題考察遞推式的應用，若在選擇填空題中遇到則可以通過一次類推或找規(guī)律求解．16.已知拋物線上有三點，，，直線，，的斜率分別為，，，則的重心坐標為_________.【答案】【解析】【分析】設出點的坐標，由斜率公式以及拋物線方程得出，，，，，的值，再由重心坐標公式得出答案.【詳解】設，，則，得同理，故有，且，，，，則的重心為.故答案：【點睛】本題主要考查了斜率公式的應用以及求三角形的重心坐標，屬于中等題.三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.已知等差數(shù)列滿意，.（1）求的通項公式；（2）設等比數(shù)列滿意.若，求的值.【答案】（1）；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差和首項，可得通項公式；（2）由得公比，再得，結合通項公式求得.【詳解】（1）由題意等差數(shù)列的公差，，，∴；（2）由（1），∴，，∴，.【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，駕馭基本量法是解題基礎.18.如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結合線面平行的推斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體N-BCM的高，即點究竟面的距離為棱的一半，由此可順當求得結果．試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為.取的中點，連結.由得，.由得到的距離為，故.所以四面體的體積.【考點】直線與平面間的平行與垂直關系、三棱錐的體積【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關系，經常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行經常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證；（2）求三棱錐的體積關鍵是確定其高，而高的確定關鍵又找出頂點在底面上的射影位置，當然有時也實行割補法、體積轉換法求解．19.某地區(qū)2024年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為60%，通過模擬試驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率：用隨機數(shù)（，且）表示是否下雨：當時表示該地區(qū)下雨，當時，表示該地區(qū)不下雨，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出的值，并依據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2011年起先到2024年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量（單位：）如下表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）.時間2011年2012年2013年2024年2024年2024年2024年2024年2024年年份123456789降雨量292826272523242221經探討表明：從2011年起先至2024年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份成線性回來，求回來直線，并計算假如該地區(qū)2024年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：.參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】（1），概率為；（2）回來直線方程為：，2024年清明節(jié)有降雨的話，降雨量約為．【解析】【分析】（1）依據(jù)每天下雨概率可求得，在所給20組數(shù)確定表示3天中恰有2天下雨組數(shù)，然后計算概率；（2）計算，依據(jù)所給數(shù)據(jù)求出回來直線方程中的系數(shù)，得回來直線方程，令可得2024年的預估值．【詳解】（1）由得，即表示下雨，表示不下雨，所給20組數(shù)中有714，740，945，593，491，272，073，951，169，027共10組表示3天中恰有兩天下雨，∴所求概率為.（2）由所給數(shù)據(jù)得，，，，∴回來直線方程為：，時，，∴2024年清明節(jié)有降雨的話，降雨量約為．【點睛】本題考查抽樣方法中的隨機數(shù)表法，考查回來直線方程及應用，只要依據(jù)所給數(shù)據(jù)計算即可．本題還考查學生的數(shù)據(jù)處理實力．20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，求證：當時，【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）見解析.【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）時，成立，在時，變形為，取對數(shù)得，分別參數(shù)：，由（1）可求得的最小值，從而證得結論成立．【詳解】（1）定義域是，，當時，，遞減，時，，遞增，∴增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）時，時，明顯成立，當時，，由（1）上遞減，在上遞增，∴，也是上的最小值，∴，而時，，∴時，恒成立，∴.綜上時，【點睛】本題考查用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，用導數(shù)證明函數(shù)不等式.求函數(shù)的單調區(qū)間，就是求出導函數(shù)后，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；第（2）小題不等式的證明，首先對這種自不待言的情形說明，然后在時，把不等式變形，通過取對數(shù)化為證明，而可用第（1）結論求出最小值，這樣就特別簡單地完成證明.也符合出題者的意圖.21.已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上隨意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；（ii）當最小時，求點T的坐標.【答案】(1)；（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（ⅰ）設PQ的中點為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化簡得：.再依據(jù)取等號的條件，可得T的坐標.【詳解】（1），又.（2）橢圓方程化為.（?。┰OPQ的方程為，代入橢圓方程得：.設PQ的中點為，則又TF的方程為，則得，所以，即OT過PQ的中點，即OT平分線段PQ.（ⅱ），又，所以.當時取等號，此時T的坐標為.【點睛】本題考查了橢圓的方程的求解，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了最值問題的求解方法，屬于中檔題.22.已知動點都在曲線（為參數(shù)）上，對應參數(shù)分別為與，為的中點．（1）求的軌跡的參數(shù)方程；（2）將到坐標原點的距離表示為的函數(shù)，并推斷的軌跡是否過坐標原點．【答案】（1）,(為參數(shù),)（2）過坐標原點【解析】【詳解】（1）由題意有，，因此，的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．（2）點到坐標原點的距離為，當時，，故的軌跡過坐標