廣東省羅定第二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題文含解析

PAGE16-廣東省羅定其次中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若為虛數(shù)單位，且，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，因?yàn)闉樘摂?shù)單位，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},則S∩T等于()A.{0} B.{0,2}C.{-2,0} D.{-2,0,2}【答案】A【解析】集合運(yùn)算問(wèn)題需先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn),明確集合中所含詳細(xì)元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故選A.3.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a等于（）A. B. C.2 D.9【答案】C【解析】【分析】由內(nèi)層起先計(jì)算，解方程即可求解.【詳解】，∴，∴，解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題.4.“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列是常數(shù)列”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則可知是常數(shù)列，所以充分性成立；若是常數(shù)列，則不是等比數(shù)列，所以必要性不成立，所以“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列是常數(shù)列”的充分不必要條件，故選A．5.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)定義域及特別點(diǎn)可推斷.【詳解】解：∵的圖象與軸交于，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正，∴，故，定義域?yàn)槠浜瘮?shù)圖象間斷的橫坐標(biāo)為正，∴，故.故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.6.在一次馬拉松競(jìng)賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成果（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示.若將運(yùn)動(dòng)員按成果由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成果小于139分鐘運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由系統(tǒng)抽樣的定義，所抽取的樣本編號(hào)成等差數(shù)列，由此可知小于139分的能抽取的人數(shù)．【詳解】共有35人，抽取7人，每5人中抽取一個(gè)，小于139分的有10人，應(yīng)制取2人．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，駕馭系統(tǒng)抽樣的定義是解題基礎(chǔ)．一般系統(tǒng)抽樣制取出的樣本的編號(hào)是成等差數(shù)列的．7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分子分母同除，化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】分子分母同除得：∴故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了弦化切來(lái)求三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.8.若實(shí)數(shù)滿意，則的最大值和最小值分別為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式組作出可行域，令，數(shù)形結(jié)合求出的最大值和最小值．【詳解】解：由作可行域如圖，令，則，由圖可知，當(dāng)過(guò)時(shí)，截距最大，最大值為；當(dāng)過(guò)時(shí)，截距最小，最小值為．的最大值和最小值分別為2，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一，是連接代數(shù)和幾何的重要方法．屬于中檔題．9.在四邊形（）A. B. C. D.【答案】C【解析】留意到兩向量的縱坐標(biāo)都為2，所以借助坐標(biāo)系如圖，.或者留意到分為四個(gè)小直角三角形算面積.【考點(diǎn)定位】本題的處理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的轉(zhuǎn)化還是屬于簡(jiǎn)單題.10.如圖，四棱錐的底面為正方形，，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C.平面平面 D.【答案】D【解析】【分析】由底面正方形及，確定線線間的垂直關(guān)系，推斷各個(gè)結(jié)論的正確性．【詳解】，在平面的射影與垂直，則，A正確；在平面的射影與垂直，則，B正確；利用上述垂直可得平面，從而有平面平面，C正確；若，則垂直在平面內(nèi)射影，這是不行能的，D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間的線線的垂直與面面垂直的推斷，駕馭三垂線定理及其逆定理是解題基礎(chǔ)．11.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為()A.2 B.2 C.4 D.4【答案】A【解析】【詳解】解：依據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），即點(diǎn)（-2，-1）在拋物線的準(zhǔn)線上，又由拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為，則p=4，則拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）；則雙曲線的左頂點(diǎn)為（-2，0），即a=2；點(diǎn)（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為，由雙曲線的性質(zhì)，可得b=1；則，則焦距為2c=2；故選A．12.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，若邊上的中線，則的外接圓面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，結(jié)合正弦定理可求得外接圓半徑，從而得外接圓面積.【詳解】∵，∴，．又是中點(diǎn)，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、正弦定理，考查向量的線性運(yùn)算．解題關(guān)鍵是是利用向量線性運(yùn)算把表示為，平方后易求得．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)處的切線方程為________【答案】【解析】【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在的切線斜率為，所以切線方程為，即.14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值是________．【答案】.【解析】分析：由對(duì)稱軸得，再依據(jù)限制范圍求結(jié)果.詳解：由題意可得，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)；(2)最小正周期；(3)由求對(duì)稱軸；(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.15.若數(shù)列滿意，，則_____________．【答案】【解析】【分析】本題通過(guò)遞推式干脆將代入在依次類推則可得出．【詳解】因?yàn)椋?，所以，通過(guò)視察上式得．【點(diǎn)睛】本題考察遞推式的應(yīng)用，若在選擇填空題中遇到則可以通過(guò)一次類推或找規(guī)律求解．16.已知拋物線上有三點(diǎn)，，，直線，，的斜率分別為，，，則的重心坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜率公式以及拋物線方程得出，，，，，的值，再由重心坐標(biāo)公式得出答案.【詳解】設(shè)，，則，得同理，故有，且，，，，則的重心為.故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜率公式的應(yīng)用以及求三角形的重心坐標(biāo)，屬于中等題.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.已知等差數(shù)列滿意，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿意.若，求的值.【答案】（1）；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差和首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；（2）由得公比，再得，結(jié)合通項(xiàng)公式求得.【詳解】（1）由題意等差數(shù)列的公差，，，∴；（2）由（1），∴，，∴，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，駕馭基本量法是解題基礎(chǔ).18.如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的推斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體N-BCM的高，即點(diǎn)究竟面的距離為棱的一半，由此可順當(dāng)求得結(jié)果．試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以到平面的距離為.取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故.所以四面體的體積.【考點(diǎn)】直線與平面間的平行與垂直關(guān)系、三棱錐的體積【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，經(jīng)常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行經(jīng)常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是確定其高，而高的確定關(guān)鍵又找出頂點(diǎn)在底面上的射影位置，當(dāng)然有時(shí)也實(shí)行割補(bǔ)法、體積轉(zhuǎn)換法求解．19.某地區(qū)2024年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為60%，通過(guò)模擬試驗(yàn)的方法來(lái)計(jì)算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率：用隨機(jī)數(shù)（，且）表示是否下雨：當(dāng)時(shí)表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時(shí)，表示該地區(qū)不下雨，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出的值，并依據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2011年起先到2024年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量（單位：）如下表：（其中降雨量為0表示沒(méi)有下雨）.時(shí)間2011年2012年2013年2024年2024年2024年2024年2024年2024年年份123456789降雨量292826272523242221經(jīng)探討表明：從2011年起先至2024年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份成線性回來(lái)，求回來(lái)直線，并計(jì)算假如該地區(qū)2024年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：.參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】（1），概率為；（2）回來(lái)直線方程為：，2024年清明節(jié)有降雨的話，降雨量約為．【解析】【分析】（1）依據(jù)每天下雨概率可求得，在所給20組數(shù)確定表示3天中恰有2天下雨組數(shù)，然后計(jì)算概率；（2）計(jì)算，依據(jù)所給數(shù)據(jù)求出回來(lái)直線方程中的系數(shù)，得回來(lái)直線方程，令可得2024年的預(yù)估值．【詳解】（1）由得，即表示下雨，表示不下雨，所給20組數(shù)中有714，740，945，593，491，272，073，951，169，027共10組表示3天中恰有兩天下雨，∴所求概率為.（2）由所給數(shù)據(jù)得，，，，∴回來(lái)直線方程為：，時(shí)，，∴2024年清明節(jié)有降雨的話，降雨量約為．【點(diǎn)睛】本題考查抽樣方法中的隨機(jī)數(shù)表法，考查回來(lái)直線方程及應(yīng)用，只要依據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算即可．本題還考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實(shí)力．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）時(shí)，成立，在時(shí)，變形為，取對(duì)數(shù)得，分別參數(shù)：，由（1）可求得的最小值，從而證得結(jié)論成立．【詳解】（1）定義域是，，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）時(shí)，時(shí)，明顯成立，當(dāng)時(shí)，，由（1）上遞減，在上遞增，∴，也是上的最小值，∴，而時(shí)，，∴時(shí)，恒成立，∴.綜上時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就是求出導(dǎo)函數(shù)后，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；第（2）小題不等式的證明，首先對(duì)這種自不待言的情形說(shuō)明，然后在時(shí)，把不等式變形，通過(guò)取對(duì)數(shù)化為證明，而可用第（1）結(jié)論求出最小值，這樣就特別簡(jiǎn)單地完成證明.也符合出題者的意圖.21.已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上隨意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).【答案】(1)；（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由題意，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（?。┰O(shè)PQ的中點(diǎn)為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化簡(jiǎn)得：.再依據(jù)取等號(hào)的條件，可得T的坐標(biāo).【詳解】（1），又.（2）橢圓方程化為.（ⅰ）設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.設(shè)PQ的中點(diǎn)為，則又TF的方程為，則得，所以，即OT過(guò)PQ的中點(diǎn)，即OT平分線段PQ.（ⅱ），又，所以.當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)T的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程的求解，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了最值問(wèn)題的求解方法，屬于中檔題.22.已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線（為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與，為的中點(diǎn)．（1）求的軌跡的參數(shù)方程；（2）將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù)，并推斷的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．【答案】（1）,(為參數(shù),)（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【解析】【詳解】（1）由題意有，，因此，的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．（2）點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，，故的軌跡過(guò)坐標(biāo)