全概率公式及其應(yīng)用論文

第1頁(共7頁)淺談全概率公式及其應(yīng)用作者：王托洛夫斯基文帥酷之健指導(dǎo)教師：Yangjinying摘要：本文分析了全概率公式的直觀意義，介紹了使用全概率公式時(shí)尋找完備事件組的兩種方法，并通過實(shí)例闡述了全概率公式在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵字：全概率公式；完備事件組；應(yīng)用；樣本空間引言：概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計(jì)算來推算較復(fù)雜事件的概率，全概率公式正好起到了這樣的作用。對一個(gè)較復(fù)雜的事件，如果能找到一件伴隨事件發(fā)生的完備事件組,,…，而計(jì)算各個(gè)的概率與條件概率相對又要容易些，這是為了計(jì)算與事件有關(guān)的概率，可能需要是用全概率公式，本文就全概率公式及其應(yīng)用做了詳細(xì)的敘述。全概率公式及直觀意義全概率公式，又稱全概公式，是指它實(shí)質(zhì)上是一種分解式，若注意到則求的問題就轉(zhuǎn)化為…這里，，，…,兩兩互斥，注意到…就應(yīng)有,,,…，兩兩互斥，且于是，，…，就成為一個(gè)完備事件組，這個(gè)完備事件組分割了事件，從而求的問題最后歸結(jié)為找一個(gè)合適的完備事件組的問題，因此當(dāng)事件比較復(fù)雜，直接計(jì)算比較難時(shí)，設(shè)法找一個(gè)完備事件組，，，…，使，然后分別求出，再相加，即可求出全概率公式的直觀意義是：某事件發(fā)生的各種可能原因,，，…，并且這些原因兩兩不能同時(shí)發(fā)生，如果是由原因所引起的，則發(fā)生時(shí)，必同時(shí)發(fā)生，因而與有關(guān),，，…，，且等于其總和全概率的“全”就是總和的含義，當(dāng)然這個(gè)總和要能求出來，需已知概率,，，…，，通俗地說，事件發(fā)生的可能性，就是其諸原因發(fā)生的可能性與發(fā)生的條件下事件發(fā)生的可能性的乘積之和。二、尋找完備事件組的兩種方法方法一：從第一個(gè)試驗(yàn)入手，分解其樣本空間，找出完備事件組。如果所求概率的事件與前后兩個(gè)試驗(yàn)有關(guān)，且這兩個(gè)試驗(yàn)彼此有關(guān)聯(lián)，第一個(gè)試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果對第二個(gè)試驗(yàn)產(chǎn)生影響，而問第二個(gè)試驗(yàn)出現(xiàn)某結(jié)果的概率，這些問題，即可用全概率公式求解。此時(shí)，通常將第一個(gè)試驗(yàn)的樣本空間分解成若干個(gè)互不相容的事件的和，這些事件就是所求的一個(gè)完備事件組。假設(shè)有兩個(gè)同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件一等品?，F(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出兩個(gè)零件，試求：取出的零件均是一等品的概率；解引進(jìn)下列事件：={被挑出的是第箱}，={取出的零件是一等品}有條件知,,由全概率公式，知=方法二：從事件B發(fā)生的兩兩互不相容的諸原因找完備事件組。如果事件B能且只能在“原因”，，，…，下發(fā)生，且，，，…，兩兩互不相容，那么這些“原因”，，，…，就是一個(gè)完備事件組。例2.采購員要購買10個(gè)一包的電器元件。他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如這3個(gè)原件都是好的，他才買下這一包。假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含有1個(gè)次品。求采購員拒絕購買的概率。解：記={取到的是含4個(gè)次品的包}，={取到的是含1個(gè)次品的包}，={采購員拒絕購買}則，構(gòu)成樣本空間的一個(gè)正劃分，且=0.3，=0.7，又由古典概型計(jì)算知從而由全概率公式得到上述例題介紹了全概率公式尋找完備事件組的兩種方法，對于以上這種簡單事件，需先找出完備事件組，然后直接應(yīng)用全概率公式就可求出我們所需的結(jié)果。三、全概率公式的應(yīng)用在全概率公式的應(yīng)用中，主要會有四個(gè)方面的應(yīng)用：賭徒輸光問題、拋擲不均勻硬幣問題、隨機(jī)分流的不變性、保險(xiǎn)公司的索賠額模型。這些應(yīng)用不僅僅是全概率公式的簡單應(yīng)用，還會與其他知識相結(jié)合，例如差分方程，遞推計(jì)算等。這些知識的結(jié)合有效地將全概率公式得到廣泛應(yīng)用。1.賭徒輸光問題例3.設(shè)甲有賭本元，其對手乙有賭本>0元。每賭一次甲以概率贏一元，而乙以概率輸一元。假定不欠不借，賭博一直到甲乙有一人輸光才結(jié)束。因此，兩個(gè)人中的贏者最終有賭資元。求甲輸光的概率。解：一般地，我們以記甲有賭本元而最終輸光的概率，而求此概率的關(guān)鍵是給出下面的事件關(guān)系式，其方法稱為首步分析法，記事件{甲有賭本i元，但最終輸光}={甲第1次賭贏}于是我們有，由上述關(guān)系式及全概率公式，我們得到==（1）這是一個(gè)常系數(shù)二階差分方程，且滿足兩個(gè)邊界條件：為解(1),注意到它等價(jià)于故當(dāng)且時(shí),由得到（2）=令,再利用可解出從而得到，當(dāng)且(即)時(shí)有而當(dāng)時(shí)，還是由(2)式，我們有令,可得．從而有2.拋擲不均勻硬幣問題例4.連續(xù)地拋擲一個(gè)很不均勻的硬幣n次，假定這次拋擲并不相互獨(dú)立:第1次出現(xiàn)正面的概率為,第2次后每次出現(xiàn)與前一次相同的面的概率為.求第n次時(shí)出現(xiàn)正面的概率,并討論時(shí)的情況。解令={第n次出現(xiàn)正面},并記欲求之概率為,。這時(shí)發(fā)生與否與發(fā)生與否是密切相關(guān)的，若發(fā)生了，則發(fā)生的概率就為,所以,。同理，。顯然，,構(gòu)成完備事件組。利用全概率公式，我們有由于，故由遞推計(jì)算可得,則,故（2）若,則,只有當(dāng)時(shí),才存在且等于.（3）對一般有在解決實(shí)際問題時(shí)，如果已知的是多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，條件分布及邊緣分布，則在求某些事件的概率時(shí)仍可以使用全概率公式。3.隨機(jī)分流的不變性例5.(Poisson分布在隨機(jī)選擇下的不變性,也稱為隨機(jī)分流的不變性)假設(shè)某段時(shí)間里來百貨公司的顧客數(shù)服從參數(shù)為的Poisson分布,而在百貨公司里每個(gè)顧客購買電視機(jī)的概率為p,且每個(gè)顧客是否購買電視機(jī)是獨(dú)立的,問在這段時(shí)間內(nèi),百貨公司內(nèi)購買電視機(jī)的人數(shù)為k的概率有多大？解記X為百貨公司售出電視機(jī)的臺數(shù),而N為這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入百貨公司的人數(shù),故由全概率公式知由于在已知有N=n名顧客進(jìn)入百貨公司的條件下,百貨公司售出電視機(jī)的臺數(shù)服從參數(shù)為n和p二項(xiàng)分布,即故即X服從參數(shù)為的Poisson分布。4.保險(xiǎn)公司的索賠額模型例7.保險(xiǎn)公司想對其索賠額建立一個(gè)模型,以此期望其產(chǎn)品獲得好的利潤.根據(jù)歷史數(shù)據(jù),認(rèn)為具有利好風(fēng)險(xiǎn)的投保人,其索賠額的密度函數(shù)為:x>0.而認(rèn)為具有利壞風(fēng)險(xiǎn)的投保人,其索賠額的密度函數(shù)則為:,x>0.其中索賠額以1000元人民幣為一個(gè)單位,現(xiàn)已知指定的投保人具有利壞風(fēng)險(xiǎn)的可能性是30%,問這個(gè)投保人的索賠額超過一個(gè)單位的概率有多大?解設(shè)X表示索賠額,I表示風(fēng)險(xiǎn)的指示變量.則由所給信息可知:設(shè)有利壞風(fēng)險(xiǎn)時(shí),I=1,其概率為30%;設(shè)有利好風(fēng)險(xiǎn)時(shí),I=0,其概率為70%,從而有:那么由混合型全概率公式可得隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為:而我們要求的是索賠額X>1的概率,由密度函數(shù)與概率之間的關(guān)系可得:..此即索賠額大于一個(gè)單位的概率。在這個(gè)問題中關(guān)鍵是要求出索賠額在不同風(fēng)險(xiǎn)下的密度函數(shù),為此我們必須把題設(shè)的信息數(shù)量化,設(shè)一個(gè)指示變量,從而使問題變得更容易求解。三、結(jié)論概率論通過人類的社會實(shí)踐和生產(chǎn)活動發(fā)展起來并被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，在國民經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)和生活中起著重要的作用，在日常生活中，周圍的許多事物都和概率有著千絲萬縷的聯(lián)系，就拿當(dāng)今社會最熱門的金融業(yè)來說，概率論在這門學(xué)科中發(fā)揮著無法替代的重要作用，全概率公式作為概率論中的計(jì)算復(fù)雜事件的重要公式，它在生活中更是有著廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京.高等教育出版社,1983,10[2]張麗.全概率功率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用及推廣[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005（1）[3]茆詩松,程依明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京.高等教育出版社,2004[4]祈紅光.淺談概率統(tǒng)計(jì)在決策優(yōu)化中的應(yīng)用[J].沙洋師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2005,（5）[5]崔文艷.全概率公式的推廣及應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11（1）[6]鄭長波.生活中的概率問題舉例[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2007,25（4）[7]張克軍.關(guān)于條件概率及其應(yīng)用的教學(xué)研究[J].徐州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008.23(3)[8]吳松飛.一個(gè)概率知識在經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用[J].安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(社會科學(xué)版),2006,03[9]白瑞云.我們身邊的概率問題[J].商場現(xiàn)代化,2006,01[10]王淑玲.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用[J].科技信息,2009,21[11]武興亮,定根宏.小概率事件及其應(yīng)用[J].讀寫算(教育教學(xué)研究),2011,13[12]葉裁亮,楊存曲.條件概率的計(jì)算公式[J].商洛師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2002,16(4)[13]桑青松.試論策略型學(xué)習(xí)者問題解決能力的培養(yǎng)[J].課程.教材.教法，2002（9）[14]金晶亮.非線性測量誤差模型的Bayes估計(jì)[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào).自然Discussionontheformulaoftotalprobabilit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