福建省泉州市南安國光中學(xué)2021-2022學(xué)年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．2．設(shè)直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．13．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．164．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實數(shù)（）A． B． C． D．5．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．6．已知是雙曲線的左、右焦點，若點關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．8．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．9．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，點為拋物線上任意一點的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．10．已知函數(shù)，對任意的，，當(dāng)時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個對稱中心是11．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.14．若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，則實數(shù)的最小值為___________．15．已知正方形邊長為，空間中的動點滿足，，則三棱錐體積的最大值是______.16．在四面體中，分別是的中點．則下述結(jié)論：①四面體的體積為；②異面直線所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對邊分別為，且，求的面積.18．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)記為的前項和．若，求．19．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識，高二年級準(zhǔn)備成立一個環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知橢圓：（），與軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點，連接，并延長交直線于，兩點，已知，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo).21．（12分）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，（1）分別求出，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為證明：．22．（10分）的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.2．B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.4．C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準(zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選：C【點睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

推導(dǎo)出，分別取的中點,連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.【點睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.6．B【解析】

先利用對稱得，根據(jù)可得，由幾何性質(zhì)可得，即，從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：為的中點，且，所以，因為，所以，故而由幾何性質(zhì)可得，即，故漸近線方程為，故選B.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7．D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.9．A【解析】

求出拋物線的焦點坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，

過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，綜上：．故選：A．【點睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．10．D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得及，由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù)，故排除D.又，易知當(dāng)時，；又當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，綜上，時，，即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.12．A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．06【解析】

作不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果．【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時，當(dāng)直線過點時，軸上截距最大，即z取最小值，．當(dāng)直線過點時，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于中檔題．14．【解析】

設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)的最小值為．15．【解析】

以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，根據(jù)題中條件得出，進(jìn)而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點，空間中的動點滿足，，所以，整理得，，當(dāng)，時，取最大值，所以，三棱錐的體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．16．①③④．【解析】

補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征，可以補圖成長方體設(shè)其邊長為，，解得補成長，寬，高分別為的長方體，在長方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；③四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設(shè)異面直線與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．【點睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關(guān)鍵在于熟練掌握點線面位置關(guān)系的處理方法，補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補圖方法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結(jié)合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當(dāng)時，由余弦定理得即，解得.此時.當(dāng)時，由余弦定理得.即，解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．18．(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，或.（2）時，，解得；時，，無正整數(shù)解；綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.19．（1）；（2）見解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因為學(xué)生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題20．（1）（2）證明見解析；定點坐標(biāo)為【解析】

（1）由條件直接算出即可（2）由得，，，由可得，同理，然后由推出即可【詳解】（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.（2）由得，.又∴，同理又∴∴∴∴∴∴，此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21．(1)（2）證明見解析【解析】

（1）因為，所以，所以，即，又因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差