北京市西城區(qū)普通中學(xué)2021-2022學(xué)年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．2．向量，，且，則（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．405．給出以下四個(gè)命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．7．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．8．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．11．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．12．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則________.(填“>”或“=”或“<”).14．已知數(shù)列滿足，則________．15．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎(jiǎng).在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測(cè)如下表，其中“√”表示猜測(cè)某人獲獎(jiǎng)，“×”表示猜測(cè)某人未獲獎(jiǎng)，而“○”則表示對(duì)某人是否獲獎(jiǎng)未發(fā)表意見.已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的，那么兩名獲獎(jiǎng)?wù)呤莀______.甲獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)丙獲獎(jiǎng)丁獲獎(jiǎng)甲的猜測(cè)√××√乙的猜測(cè)×○○√丙的猜測(cè)×√×√丁的猜測(cè)○○√×16．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為1．（1）求橢圓的方程；（1）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，是否存在直線使得？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù)（1）若，不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè).若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點(diǎn)，，求直線的斜率.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

由及得到、，進(jìn)一步得到，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.2．D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.3．C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，寫出共軛復(fù)數(shù)，寫出共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析：，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵．4．B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.5．B【解析】

用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.6．D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．7．A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.8．D【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點(diǎn)，曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點(diǎn)滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.9．A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．A【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個(gè)半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積?！驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！军c(diǎn)睛】本題通過三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。11．A【解析】

求出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

注意到，故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知，，故有.又由，故有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.14．【解析】

項(xiàng)和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當(dāng)時(shí)，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當(dāng)時(shí)不滿足上式，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類討論的能力，屬于中檔題.15．乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目分為四種情況，然后對(duì)四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所猜測(cè)的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知，若甲猜測(cè)正確，則乙，丙，丁猜測(cè)錯(cuò)誤，與題意不符，故甲猜測(cè)錯(cuò)誤；若乙猜測(cè)正確，則依題意丙猜測(cè)無法確定正誤，丁猜測(cè)錯(cuò)誤；若丙猜測(cè)正確，則丁猜測(cè)錯(cuò)誤；綜上只有乙，丙猜測(cè)不矛盾，依題意乙，丙猜測(cè)是正確的，從而得出乙，丁獲獎(jiǎng).所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的合情推理題，能否根據(jù)“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.16．【解析】

對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，等價(jià)于函數(shù)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，作出大致圖象：要有兩個(gè)交點(diǎn)，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題恰當(dāng)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（1）不存在，理由見解析【解析】

（1）利用離心率和過點(diǎn)，列出等式，即得解（1）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于k的等式，即可得解.【詳解】（1）由題意，可得解得則，故橢圓的方程為．（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不符合題意．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，，，即．設(shè)，則，，，則，即，整理得，此方程無解，故的方程不存在．綜上所述，不存在直線使得．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長(zhǎng)和中點(diǎn)問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.18．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，，設(shè)面的法向量，則，取，得，同理，得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題．19．（1）（2）【解析】

（1）依題意可得，再用零點(diǎn)分段法分類討論可得；（2）依題意可得對(duì)恒成立，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義將絕對(duì)值去掉，分別求出解集，則兩解集的并集為，得到不等式即可解得；【詳解】解：（1）若，，則，即，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得；綜上，原不等式的解集為；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集為，則解得，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20．（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立；在時(shí)，經(jīng)過分析得出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立，由此得出，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，.令，解得（舍去），.當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）由題意，可知在上恒成立.（i）若，，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，，，.又，在上恒成立.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.（ii）若，構(gòu)造函數(shù)，.，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.恒成立，即，，即.由題意，知在上恒成立.在上恒成立.由（Ⅰ）可知，又，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不合題意，，即.此時(shí)構(gòu)造函數(shù)，.，，，，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點(diǎn)在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.21．（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長(zhǎng)公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐