人教A版必修二高中數(shù)學第二章 2.1.1同步課堂導學案【含詳細解析】

福建數(shù)學網(wǎng)一站式數(shù)學資源服務千人教師QQ群474204436第二章點、直線、平面之間的位置關系2．1空間點、直線、平面之間的位置關系2．1.1平面[學習目標]1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1，公理2，公理3.3.會用符號語言準確表述幾何對象的位置關系．[知識鏈接]1．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有平行、相交、重合．2．點和直線的位置關系有點在直線上和點在直線外．[預習導引]1．平面的概念(1)幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．(2)平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍，如圖①.②如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.(3)平面的表示法圖①的平面可表示為平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.2．點、線、面之間的關系(1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的所有點都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.(2)一些文字語言與數(shù)學符號的對應關系：文字語言表達數(shù)學符號表示文字語言表達數(shù)學符號表示點A在直線l上A∈l點A在直線l外A?l點A在平面α內(nèi)A∈α點A在平面α外A?α直線l在平面α內(nèi)l?α直線l在平面α外l?α直線l，m相交于點Al∩m＝A平面α、β相交于直線lα∩β＝l3.平面的基本性質(zhì)及作用公理內(nèi)容圖形符號作用公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α既可判定直線和點是否在平面內(nèi)，又能說明平面是無限延展的公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據(jù)公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l一是判斷兩個平面相交的依據(jù)；二是證明點共線問題的依據(jù)；三是證明線共點問題的依據(jù)要點一三種語言的轉(zhuǎn)換例1用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.解(1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示如圖①.(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示如圖②.規(guī)律方法1.用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．2．根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．跟蹤演練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.解(1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，如圖②.(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q，如圖③.要點二點線共面問題例2證明：兩兩相交且不過同一點的三條直線在同一平面內(nèi)．證明方法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1、l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2、l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．規(guī)律方法在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．(2)重合法：即先證明一些元素在一個平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個平面內(nèi)，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內(nèi)．跟蹤演練2已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．證明如圖所示．由已知a∥b，所以過a，b有且只有一個平面α.設a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過a，b，l有且只有一個平面．要點三點共線與線共點問題例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D、A、Q三點共線．證明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又∵M∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直線AD，即D、A、Q三點共線．規(guī)律方法點共線與線共點的證明方法：(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．跟蹤演練3如圖所示，已知四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2.求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點．證明∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD.又∵eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2，∴GH∥BD且GH＝eq\f(1,3)BD，∴EF∥GH且EF>GH，∴四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交，設兩腰EG，F(xiàn)H的延長線相交于一點P，∵EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點.1．下列命題中正確的個數(shù)是()①一個平面長4米，寬2米；②2個平面重疊在一起比一個平面厚；③一個平面的面積是25平方米；④將一個平面內(nèi)的一條直線延長，它就會伸出這個平面．A．0B．1C．2D．3答案A解析幾何中的平面是無限延展的，不可進行所有類型的度量，容易判斷所有命題都不對．2．下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()答案D解析畫兩個相交平面時，被遮住的部分用虛線表示．3．若點Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關系可記作()A．Q∈b∈βB．Q∈b?βC．Q?b?βD．Q?b∈β答案B解析∵點Q(元素)在直線b(集合)上，∴Q∈b.又∵直線b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β.4．設平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5．(1)空間任意4點，沒有任何3點共線，它們最多可以確定________個平面．(2)空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定________個平面．答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱錐的4個頂點，它們總共確定4個平面．(2)可以想象四棱錐的5個頂點，它們總共確定7個平面．1.解決立體幾何問題首先應過好三大語言關，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛．2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時要體會三個公理的作用，體會先部分再整體的思想．一、基礎達標1．已知點A，直線a，平面α，以下命題表述正確的個數(shù)是()①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.A．0B．1C．2D．3答案A解析①不正確，如a∩α＝A；②不正確，∵“a∈α”表述錯誤；③不正確，如圖所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正確，“A?α”表述錯誤．2．在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線答案A解析A不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；BCD都是平面的基本性質(zhì)公理．3．已知α、β為平面，A、B、M、N為點，a為直線，下列推理錯誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線?α、β重合答案C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A.故α∩β＝A的寫法錯誤．4．空間四點A、B、C、D共面而不共線，那么這四點中()A．必有三點共線B．必有三點不共線C．至少有三點共線D．不可能有三點共線答案B解析如圖(1)(2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確，如圖(1)中A、B、D不共線．5．設平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.答案∈解析因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.6．平面α∩平面β＝l，點M∈α，N∈α，點P∈β，且P?l，又MN∩l＝R，過M，N，P三點所確定的平面記為γ，則β∩γ＝________.答案直線PR解析如圖，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.7．已知△ABC在平面α外，直線AB∩α＝P，直線AC∩α＝R，直線BC∩α＝Q，如圖所示．求證：P，Q，R三點共線．證明∵直線AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.則由公理3可知，點P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．故P，Q，R三點共線于平面ABC與平面α的交線．二、能力提升8．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論錯誤的是()A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面答案D解析在題圖中，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，∴選項A，B，C均正確，D不正確．9．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關系是________．答案共線解析∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點共線．10．如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________．答案36解析正方體的一條棱長對應著2個“正交線面對”，12條棱長共對應著24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應著1個“正交線面對”，12條面對角線對應著12個“正交線面對”，共有36個．11.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為A1A的中點，求證：(1)E，F(xiàn)，D1，C四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)如圖，分別連接EF，A1B，D1C.∵E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1D1CB為平行四邊形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴EF與CD1確定一個平面，∴E，F(xiàn)，D1，C四點共面．(2)∵EF綊eq\f(1,2)CD1，∴直線D1F和CE必相交．設D1F∩CE＝P，∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.∴P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點．又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．三、探究與創(chuàng)新12.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線．解很明顯，點