人教A版必修二9.2.4 總體離散程度的估計教學導學案(含答案)

人教A版必修二9.2.4總體離散程度的估計教學導學案【基本知識】1.一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標準差數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，標準差為eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2).2.總體方差和標準差(1)總體方差和標準差：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數(shù)為eq\o(Y,\s\up6(－))，則稱S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標準差.(2)總體方差的加權形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.(3)總體方差的加權形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻率為pi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))pi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.3.樣本方差和標準差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標準差.4.標準差的意義標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.*5.分層隨機抽樣的方差設樣本容量為n，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，其中兩層的個體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則這個樣本的方差為s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2].

【課后練習】1.判斷正誤(1)計算分層隨機抽樣的均值與方差時，必須已知各層的權重.()(2)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動變化，則標準差為0.()(3)標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標準差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.()2.下列選項中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()A.平均數(shù) B.中位數(shù)C.方差 D.眾數(shù)3、對于一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2,3，…，n)，如果將它們改變?yōu)閤i＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，則下列結論正確的是()A．平均數(shù)與方差均不變 B．平均數(shù)變，方差保持不變C．平均數(shù)不變，方差變 D．平均數(shù)與方差均發(fā)生變化4、甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目的選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是()A.甲 B.乙C.丙 D.丁5、一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以2，再減去80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.2，方差為4.4，則原來的數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A.40.6,1.1B.48.8,4.4C.81.2,44.4D.78.8,75.66、在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學成績統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均分數(shù)方差甲20eq\o(x,\s\up6(－))甲2乙30eq\o(x,\s\up6(－))乙3其中eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，則兩個班數(shù)學成績的方差為()A.3 B.2C.2.6 D.2.57、甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差8、已知某7個數(shù)平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，s2<2 B.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，sa2>2C.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2<2 D.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2>29如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，樣本標準差分別為SA和SB，則()A.eq\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B，SA＞SB B.eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，SA＞SBC.eq\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B，SA＜SB D.eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，SA＜SB10、已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________.11、若40個數(shù)據(jù)的平方和為56，平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的方差為________12、抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________.13、在一次科技知識競賽中，兩組學生的成績?nèi)缦卤恚悍謹?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請根據(jù)你所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由.

【參考答案】1、(1)√(2)√(3)×2、選C由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度.3、選B根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，知平均數(shù)增加C，方差不變4、選C由題表中數(shù)據(jù)可知，丙的平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明技術穩(wěn)定，且成績好.5、選A根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，知新數(shù)據(jù)平均數(shù)是舊數(shù)據(jù)乘以2，再減去80，結果是1.2，所以原數(shù)據(jù)平均數(shù)為40.6，新數(shù)據(jù)方差是舊數(shù)據(jù)方差的四倍，結果是4.4，所醫(yī)院數(shù)據(jù)方差為1.16、選C由題意可知兩個班的數(shù)學成績平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，則兩個班數(shù)學成績的方差為s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.7、由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5，B錯；甲、乙的成績的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對；甲、乙的成績的極差均為4，D錯．8、選A∵某7個數(shù)的平均數(shù)為4，∴這7個數(shù)的和為4×7＝28，∵加入一個新數(shù)據(jù)4，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(28＋4,8)＝4.又∵這7個數(shù)的方差為2，且加入一個新數(shù)據(jù)4，∴這8個數(shù)方差s2＝eq\f(7×2＋4－42,8)＝eq\f(7,4)<2，故選A9、選B由圖可知A組的6個數(shù)為2.5,10,5,7.5，2.5，10，B組的6個數(shù)為15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\x\to(x)A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝eq\f(37.5,6)，eq\x\to(x)B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)＝eq\f(70,6).顯然eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，又由圖形可知，B組的數(shù)據(jù)分布比A均勻，變化幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標準差較小，所以SA＞SB.10、根據(jù)公式eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2求得方差為0.12511、根據(jù)公式eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2求得方差為0.912、∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(87＋91＋90＋89＋93)＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(89＋90＋91＋88＋92)＝90，∴seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.答案：213、(1)甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些.(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分).seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋