物理學(xué)簡(jiǎn)明教程馬文蔚第1至8章課后習(xí)題答案詳解

1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻/質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為。，速率

為0,/至(/+A/)時(shí)間內(nèi)的位移為Ar,路程為國，位矢大小的變化量

為&?(或稱AIrI)，平均速度為方，平均速率為3.

(1)根據(jù)上述情況，則必有(

(A)IAr|=As=Ar

(B)IArI#AsrAr,當(dāng)A/一0時(shí)有IdrI=dsrdr

(C)IArI聲Ar戶As,當(dāng)A7一0時(shí)有IdrI=dr#ds

(D)IArI#As山，當(dāng)AD時(shí)有IdrI=dr=ds

(2)根據(jù)上述情況，則必有()

(A)\v\=v,\v\=v(B)i0i#0,i萬ir

(C)\v\=v,\v\^v(D)IvI^v,IvI=

題1-1圖

分析與解(1)質(zhì)點(diǎn)在/至a+A。時(shí)間內(nèi)沿曲線從p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

到P'點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示，其中路程以=PP',位移大小IArI=

PP,而Ar=IrI-IrI表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量，三個(gè)量的物

理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等

的可能).但當(dāng)A/-0時(shí)，點(diǎn)P無限趨近尸點(diǎn)，則有IdrI=心,但卻不

等于dr.故選(B).

(2)由于IArIWAs,故生?，竺，即IvI

△t△/

=此畔哼，即山5由此可見應(yīng)選

但由于Idr

(C).

1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處，對(duì)其速度

的大小有四種意見，即

下述判斷正確的是()

(A)只有(1)(2)正確(B)只有(2)正確

(C)只有⑵⑶正確(D)只有⑶(4)正確

分析與解它表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,

dr

在極坐標(biāo)系中叫徑向速率.通常用符號(hào)外表示，這是速度矢量在位

矢方向上的一個(gè)分量；色表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大

dt

小可用公式。=半計(jì)算，在直角坐標(biāo)系中則可由公式

dt

1-3一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有()

(A)切向加速度一定改變，法向加速度也改變

(B)切向加速度可能不變，法向加速度一?定改變

(C)切向加速度可能不變，法向加速度不變

(D)切向加速度一定改變，法向加速度不變

分析與解加速度的切向分量d起改變速度大小的作用，而法

向分量.起改變速度方向的作用.質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速度方

向不斷改變，相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速

度是一定改變的.至于6是否改變，則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定.質(zhì)

點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),d恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),“

?為一不為零的恒量，當(dāng)小改變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)則作-一般的變速率圓周運(yùn)

動(dòng).由此可見，應(yīng)選(B).

1-4質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=-10/+30『和歹=15/-20/2,式中

X）的單位為mJ的單位為s。試求：（1）初速度的大小和方向；（2）

加速度的大小和方向.

分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,

再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向.

解（1）速度的分量式為

v=—=-10+60/

-vd/

u=^=15-40/

ydf

當(dāng)/=0時(shí),Vox=-10m-s,voy=15m-s"，則初速度大小

為

%=+%；=18.0m-s-1

設(shè)％與x軸的夾角為a,則

a=123°4r

(2)加速度的分量式為

%==60m-s-2,a.,==-40m-s~2

“d//d/

則加速度的大小為

2-2

a=yja/+av=72.1m-s

設(shè)a與x軸的夾角為夕，則

tan§=—=——

%3

4=-33。4「（或326。19'）

1-5質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a=4-t2，式中。的單位為nrs"

的單位為s.如果當(dāng)/=3s時(shí)/=9m,v=2m-s",求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

方程.

分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題，即已知加速度求速度和運(yùn)

動(dòng)方程，必須在給定條件下用積分方法解決.由。=出和0=正可

dtd/

得do=ad/和dx=od/.如a=a⑺或。=0(。,則可兩邊直接積分.如

果?；?不是時(shí)間，的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換

等數(shù)學(xué)操作后再做積分.

解由分析知，應(yīng)有

dv-Iadt

'0,J)

.13

得

v=4t--t+vQ

(1)

由[dr=卜d/

X=24

得2/-yy/+U()r+X0

⑵

將f=3s時(shí),x=9m,o=2m-s"代入(1)(2)得0o=-lm-s"加

=0.75m.于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為A-=2t2-—t4+0.75

12

1-6飛機(jī)以100m-s-)的速度沿水平直線飛行，在離地面高

為100m時(shí)，駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處，問：(1)此

時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？

題I-18圖

分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng).忽略空氣阻力的條件下，由運(yùn)

動(dòng)獨(dú)立性原理知，物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直

方向作自由落體運(yùn)動(dòng).到達(dá)地面目標(biāo)時(shí)，兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同

的.因此，分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件，即可求解.

此外，平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速

度.為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度，只需求出該

時(shí)亥『它們與重力力n速度之間的夾角a或夕.由圖可知，在特定時(shí)亥以

物體的切向加速度和水平線之間的夾角a,可由此時(shí)刻的兩速度分

量打、'求出，這樣，也就可將重力加速度g的切向和法向分量求得.

解（1）取如圖所示的坐標(biāo)，物品下落時(shí)在水平和豎直方向的

運(yùn)動(dòng)方程分別為

x—vt,y=1/2g?

飛機(jī)水平飛行速度0=100m-s“，飛機(jī)離地面的高度y=100m,由上述兩式可得目

標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離

x-v=452m

Vg

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律s=卬-;南運(yùn)

動(dòng),比、b都是常量.（1）求/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度。

分析在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐

標(biāo).由給定的運(yùn)動(dòng)方程s=s（。,對(duì)時(shí)間/求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿

曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量而加速度的法向分量為

an—v2/R.這樣，總加速度為a—a1e,+a?en.至于質(zhì)點(diǎn)在/時(shí)間內(nèi)

通過的路程，即為曲線坐標(biāo)的改變量/s=s,-S。.因圓周長(zhǎng)為2兀R,質(zhì)

點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得.

解（1）質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

ds.

。=了=%-初

其加速度的切向分量和法向分量分別為

22

a_d2s__V_(V0-bt)

故加速度的大小為

其方向與切線之間的夾角為

八q”(01i—bf)~

0-arctan—=arctan----------

a,Rb

1-8-升降機(jī)以加速度1.22m-sa上升,當(dāng)上升速度為2.44nrs」時(shí)，有

一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m.計(jì)算：

(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的

下降距離.

分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下，一種處理方法是取地

面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲

的自由落體運(yùn)動(dòng)，列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程為=以⑺和小

=為(/),并考慮它們相遇，即位矢相同這一條件,問題即可解：另一種方法是取

升降機(jī)(或螺絲)為參考系，這時(shí)，螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng)，但是，此

加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度.升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路

程.

解1(1)以地面為參考系，取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)

方程分別為

12

y1=vot+-ar

.12

y2=h+vat--gr

當(dāng)螺絲落至底面時(shí)，有n=為,即

1,,1,2

vol+2at=。+卬-渣，

=0.705s

g+a

(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為

1,

d=h-y2=-vot+—gt=0.716m

解2(1)以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度大小"=g+a,

螺絲落至底面時(shí)，有

0="_；(g+a)/

(2)由于升降機(jī)在f時(shí)間內(nèi)上升的高度為

2

則d=/?—/?'=0.716m

題I-1()圖

1-9一無風(fēng)的下雨天，一列火車以辦=20.0st的速度勻速前進(jìn)，在

車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75。角下降.求雨滴下落的速度

力?(設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))

題1-25圖

分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.設(shè)雨滴為研究對(duì)象，地面為靜止參考

系S,火車為動(dòng)參考系SIv,為S，相對(duì)S的速度為雨滴相對(duì)S的速度,

利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解.解以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)

的速度為環(huán)，雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為。2,旅客看到雨滴下落的速度

。2’為相對(duì)速度，它們之間的關(guān)系為%=%+%(如圖所示)，于是可得

0=5.36m-s-'

tan75°

1-10如圖(a)所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速率為0，下落雨滴的

速度方向偏于豎直方向之前。角，速率為。2’,若車后有一長(zhǎng)方形物體,問車速

S為多大時(shí)，此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？

分析這也是?個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象，地面為靜參

考系s，汽車為動(dòng)參考系S，.如圖(a)所示，要使物體不被淋濕，在車上觀察雨

點(diǎn)下落的方向(即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度。2’的方向)應(yīng)滿足

aNarctang.再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系弘=4-叼，即可求出所需車速

。1?

題1-26圖

解由《=%-乃[圖(b)],有

V,一%sin。

a=arctan—------------

V2COS0

而要使a>arctan—,則

h

q-v2sind>I

02cos。h

/cos，.八

--------+sin0

h

1-11用水平力八把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜

止.當(dāng)尸N逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力R的大小()

(A)不為零，但保持不變

(B)隨FN成正比地增大

(C)開始隨尺增大,達(dá)到某?最大值后，就保持不變

(D)無法確定

分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零與最大值范圍

內(nèi)取值.當(dāng)網(wǎng)增加時(shí)，靜摩擦力可取的最大值成正比增加，但具體大小則取決

于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由題意知，物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與

重力大小相等，方向相反，并保持不變，故選(A).

1-12一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為/?,汽車輪胎與路面間的

摩擦因數(shù)為〃，要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑，汽車在該處的行駛速率()

(A)不得小于(B)必須等于

(C)不得大于J嬴(D)還應(yīng)由汽車的質(zhì)量加決定

分析與解由題意知，汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，為保證汽車

轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑，所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提

供的最大向心力應(yīng)為〃尸『由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為。="Hg.因

此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值，均能保證不側(cè)向打滑.應(yīng)選(C).

1-13一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過程中，則

()

(A)它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變

(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加

(C)它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心

(D)它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加

題2-4圖

分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以

及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力尸N作用，其合外力方向并非指向圓心,

其大小和方向均與物體所在位置有關(guān).重力的切向分量(加geos0)使物體的

速率將會(huì)不斷增加(山機(jī)械能守恒亦可判斷)，則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又

稱法向力)將不斷增大，由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程

FN-mgsinO=m—可判斷，隨。角的不斷增大過程,軌道支持力尸N也將不

R

斷增大，由此可見應(yīng)選(B).

1-14圖(a)示系統(tǒng)置于以a=l/4g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B兩

物體質(zhì)量相同均為孫A所在的桌面是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì)，若

忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計(jì)空氣阻力，則繩中張力為()

(A)5/8mg(B)1/2mg(C)mg(D)2mg

分析與解本題可考慮對(duì)A、B兩物體加上慣性力后，以電梯這個(gè)非慣

性參考系進(jìn)行求解.此時(shí)A、B兩物體受力情況如圖(b)所示，圖中。為A、B兩

物體相對(duì)電梯的加速度,〃)為慣性力.對(duì)A、B兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,

可解得FT=5/8wg.故選(A).

題2-5圖

討論對(duì)于習(xí)題1-14這種類型的物理問題，往往從非慣性參考系(本題

為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確，但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,

故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí)，必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力.如

以地面為慣性參考系求解，則兩物體的加速度嗝和的均應(yīng)對(duì)地而言，本題中

aA和AB的大小與方向均不相同.其中aA應(yīng)斜向上.對(duì)"A、"B、。和

之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解過程較繁.有興趣的讀者不妨自己嘗試一

下.

1-16一質(zhì)量為根的小球最初位于如圖(a)所示的1點(diǎn),然后沿半徑為r

的光滑圓軌道ZDC8下滑.試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用

力.

(a)

題2-18圖

分析該題可山牛頓第二定律求解.在取自然坐標(biāo)的情況下，沿圓弧方

向的加速度就是切向加速度外,與其相對(duì)應(yīng)的外力凡是重力的切向分量

mgsina,而與法向加速度?！跋鄬?duì)應(yīng)的外力是支持力尸N和重力的法向分量

mgcosa.由此，可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程Ft=mdo/d/和F?—

man.由于小球在滑動(dòng)過程中加速度不是恒定的，因此，需應(yīng)用積分求解，為使

運(yùn)算簡(jiǎn)便，可轉(zhuǎn)換積分變量.倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的

機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度，方法比較簡(jiǎn)便.但它不能直接給

出小球與圓弧表面之間的作用力.

解小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力P和圓軌道對(duì)它的支持力尸N.取圖(b)

所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得

….do

Ft=-wgsina=(1)

mv1

Fn=FN-mgcosa=m------(2)

由O=3=&，得由=心，代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

dzd/v

的始末條件，進(jìn)行積分，有

,odo=L(一3詒a)da

得v=J2rgeosa

則小球在點(diǎn)C的角速度為

co=—=J2gcosa/r

r

由式(2)得Fv=m----Fmgeosa=3/wgcosa

由此可得小球?qū)A軌道的作用力為

F\=-FN=-3wgcosa

負(fù)號(hào)表示尸N與en反向.

1-17光滑的水平桌面上放置一半徑為/?的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)

側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng)，其摩擦因數(shù)為〃，開始時(shí)物體的速率為。o,求：（l）t時(shí)刻物體的

速率；（2）當(dāng)物體速率從。。減少到1/2內(nèi)時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程.

題2-19圖

分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的，因而，可先分析

動(dòng)力學(xué)問題.物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓

環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支持力產(chǎn)N和環(huán)與物體之間的摩擦力尸r,而摩擦力大小與正

壓力及'成正比，且Ev與Ev又是作用力與反作用力，這樣，就可通過它們把切

向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和

路程.

解（1）設(shè)物體質(zhì)量為凡取圖中所示的自然坐標(biāo)，按牛頓定律，有

2

FN=叫=R

?do

耳=一加4=一山

由分析中可知，摩擦力的大小Fr=〃￡v,由上述各式可得

v2do

u.—=-----

Rd/

取初始條件/=0時(shí)七=。0,并對(duì)上式進(jìn)行積分，有

f.Rrdu

◎=網(wǎng)—

R+

(2)當(dāng)物體的速率從oo減少到1/200時(shí)，由上式可得所需的時(shí)間為

物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程

s=[od/=[——d/

小bR+v0/jt

s=-\n2

2-1對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下兒種說法：

(1)質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無關(guān)；

(2)質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無關(guān)；

(3)質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無關(guān).

下列對(duì)上述說法判斷正確的是()

(A)只有(1)是正確的(B)(1)、(2)是正確的

(C)(1)、(3)是正確的(D)(2)、(3)是正確的

分析與解在質(zhì)點(diǎn)組中內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，它們是作用力與反作用

力.由于對(duì)內(nèi)力的沖量恒為零，故內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量.但由于

相互有作用力的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移大小以及位移與力的夾角一般不同,故一對(duì)

內(nèi)力所作功之和不一定為零,應(yīng)作具體分析，如一對(duì)彈性內(nèi)力的功的代數(shù)和一

般為零，一對(duì)摩擦內(nèi)力的功代數(shù)和一般不為零，對(duì)于保守內(nèi)力來說，所作功能

使質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，因此保守內(nèi)力即使有可能改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能,

但也不可能改變質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能.綜上所述(1)(3)說法是正確的.故選(C).

2-2有兩個(gè)傾角不同、高度相同、質(zhì)量一樣的斜面放在光滑的水平面

上,斜面是光滑的，有兩個(gè)一樣的物塊分別從這兩個(gè)斜面的頂點(diǎn)山靜止開始滑

下，則()

(A)物塊到達(dá)斜面底端時(shí)的動(dòng)量相等

(B)物塊到達(dá)斜面底端時(shí)動(dòng)能相等

(C)物塊和斜面(以及地球)組成的系統(tǒng),機(jī)械能不守恒

(D)物塊和斜面組成的系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒

分析與解對(duì)題述系統(tǒng)來說，由題意知并無外力和非保守內(nèi)力作功，故系

統(tǒng)機(jī)械能守恒.物體在下滑過程中,一方面通過重力作功將勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,

另一方面通過物體與斜面之間的彈性內(nèi)力作功將一部分能量轉(zhuǎn)化為斜面的

動(dòng)能,其大小取決其中一個(gè)內(nèi)力所作功.由于斜面傾角不同，故物體沿不同傾

角斜面滑至底端時(shí)動(dòng)能大小不等.動(dòng)量自然也就不等(動(dòng)量方向也不同).故

(A)(B)(C)三種說法均不正確.至于說法(D)正確,是因?yàn)樵撓到y(tǒng)動(dòng)量雖不守恒

(下滑前系統(tǒng)動(dòng)量為零，下滑后物體與斜面動(dòng)量的矢量和不可能為零.由此可

知，此時(shí)向上的地面支持力并不等于物體與斜面向下的重力),但在水平方向

上并無外力,故系統(tǒng)在水平方向上分動(dòng)量守恒.

2-3如圖所示，質(zhì)量分別為如和加2的物體力和反置于光滑桌面上“

和3之間連有一輕彈簧.另有質(zhì)量為如和加2的物體c和。分別置于物體

A與B之上，且物體/和C、B和。之間的摩擦因數(shù)均不為零.首先用外力

沿水平方向相向推壓Z和反使彈簧被壓縮,然后撤掉外力，則在4和8彈開的

過程中，對(duì)4B、C、D以及彈簧組成的系統(tǒng)，有()

(A)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒(B)動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒

(C)動(dòng)量不守恒,機(jī)械能不守恒(D)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不一定守恒

CD

HA/WWWW4?

題3-4圖

分析與解山題意知，作用在題述系統(tǒng)上的合外力為零，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒,

但機(jī)械能未必守恒，這取決于在A、B彈開過程中C與A或D與B之間有無

相對(duì)滑動(dòng)，如有則必然會(huì)因摩擦內(nèi)力作功，而使一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，故

選(D).

2-4如圖所示，子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出.以

地面為參考系，下列說法中正確的說法是()

(A)子彈減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動(dòng)能

(B)子彈-木塊系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

(C)子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的功

(D)子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過程中產(chǎn)生的熱

。

題3-5圖

分析與解子彈-木塊系統(tǒng)在子彈射入過程中，作用于系統(tǒng)的合外力為

零，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒,但機(jī)械能并不守恒.這是因?yàn)樽訌椗c木塊作用的一對(duì)內(nèi)

力所作功的代數(shù)和不為零(這是因?yàn)樽訌棇?duì)地位移大于木塊對(duì)地位移所致),

子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服阻力所作功，子彈減少的動(dòng)能中，一部分通過其

反作用力對(duì)木塊作正功而轉(zhuǎn)移為木塊的動(dòng)能，另部分則轉(zhuǎn)化為熱能(大小

就等于這一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和).綜上所述，只有說法(C)的表述是完全正

確的.

2-5質(zhì)量為機(jī)的物體，由水平面上點(diǎn)O以初速為。o拋出Ro與水平面

成仰角a.若不計(jì)空氣阻力，求：(1)物體從發(fā)射點(diǎn)0到最高點(diǎn)的過程中，重力

的沖量；(2)物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中,重力的沖量.

題3-7圖

分析重力是恒力，因此，求其在一段時(shí)間內(nèi)的沖量時(shí)，只需求出時(shí)間間

隔即可.由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間AZ,=幽吧，物體從

g

出發(fā)到落回至同一水平面所需的時(shí)間是到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間的兩倍.這樣，按沖

量的定義即可求得結(jié)果.

另一種解的方法是根據(jù)過程的始、末動(dòng)量，山動(dòng)量定理求出.

解1物體從出發(fā)到達(dá)最高點(diǎn)所需的時(shí)間為

X、一tsina

'g

則物體落回地面的時(shí)間為

△4=2幽=維也

g

于是,在相應(yīng)的過程中重力的沖量分別為

4=[彳出=--zwuosinaj

/2=[4d/=-mg\t2j--2wu0sinaj

解2根據(jù)動(dòng)量定理，物體由發(fā)射點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4、8的過程中，重力的沖

量分別為

mv

4=AyJ-=-mvosmaj

mvmv

I2=Byj-oyJ=-2wr0sinay

2-6高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的.假如-質(zhì)量為51.0kg的人,

在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護(hù)，最終使他被懸掛起

來.已知此時(shí)人離原處的距離為2.0m，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50

s.求安全帶對(duì)人的平均沖力.

分析從人受力的情況來看，可分兩個(gè)階段：在開始下落的過程中，只受

重力作用，人體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過程中，則人

體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用，其合力是一變力，且作用時(shí)間很短.為求

安全帶的沖力，可以從緩沖時(shí)間內(nèi)，人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（動(dòng)量）的改變來分析，即運(yùn)用

動(dòng)量定理來討論.事實(shí)上，動(dòng)量定理也可應(yīng)用于整個(gè)過程.但是，這時(shí)必須分

清重力和安全帶沖力作用的時(shí)間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的

速度均為零.這樣，運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果.

解1以人為研究對(duì)象，按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論.在自由落體運(yùn)動(dòng)

過程中，人跌落至2m處時(shí)的速度為

Vx=y[2gh(1)

在緩沖過程中，人受重力和安全帶沖力的作用,根據(jù)動(dòng)量定理，有

(F+P)A/=mv2-，叫(2)

由式(1)、(2)可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為

戶=磔+傘°)=磔+△屈=1.14xl03N

△t

解2從整個(gè)過程來討論.根據(jù)動(dòng)量定理有

-=哭，2〃/g+.g=1.14x103N

2-7如圖所示,在水平地面上，有一橫截面S=0.20m2的直角彎管，管

中有流速為。=3.0m-s-1的水通過，求彎管所受力的大小和方向.

題3-11圖

分析對(duì)于彎曲部分AB段內(nèi)的水而言，由于流速一定,在時(shí)間A/內(nèi)，從

其一端流入的水量等于從另一端流出的水量.因此，對(duì)這部分水來說,在時(shí)間

A/內(nèi)動(dòng)量的增量也就是流入與流出水的動(dòng)量的增量W=ATM(OB-?A)；此動(dòng)

量的變化是管壁在a時(shí)間內(nèi)對(duì)其作用沖量/的結(jié)果.依據(jù)動(dòng)量定理可求得該

段水受到管壁的沖力長(zhǎng)由牛頓第三定律,自然就得到水流對(duì)管壁的作用力尸

=-尸.

解在M時(shí)間內(nèi)，從管一端流入(或流出)水的質(zhì)量為Am彎曲

部分AB的水的動(dòng)量的增量則為

Ap=Aw(vB-z?A)=p0SA/(0B-^A)

依據(jù)動(dòng)量定理/=M，得到管壁對(duì)這部分水的平均沖力

△t

從而可得水流對(duì)管壁作用力的大小為

戶=-戶=~42pSv2=-2.5xl03N

作用力的方向則沿直角平分線指向彎管外側(cè).

2-8質(zhì)量為”的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為根的物體，此人用與水平面成

a角的速率為向前跳去.當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為”的水

平速率向后拋出.問：由于人拋出物體,他跳躍的距離增加了多少？(假設(shè)

人可視為質(zhì)點(diǎn))

題3-14圖

分析人跳躍距離的增加是由于他在最高點(diǎn)處向后拋出物體所致.在拋

物的過程中，人與物之間相互作用力的沖量，使他們各自的動(dòng)量發(fā)生了變

化.如果把人與物視為一系統(tǒng)，因水平方向不受外力作用，故外力的沖量為零,

系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒.但在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，必須注意系統(tǒng)是相對(duì)

地面(慣性系)而言的，因此，在處理人與物的速度時(shí)，要根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系來

確定.至于，人因跳躍而增加的距離，可根據(jù)人在水平方向速率的增量A。來

計(jì)算.

解取如圖所示坐標(biāo).把人與物視為?系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向

左拋物的過程中,滿足動(dòng)量守恒，故有

(in+/M')%COSa=mv+m(v-u)

式中。為人拋物后相對(duì)地面的水平速率，。-u為拋出物對(duì)地面的水平

速率.得

m

v=vcosa+-------；u

Q川+方

人的水平速率的增量為

△o=0—%cosa=------u

m-\-m

而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/=幽吧

所以,人跳躍后增加的距離Ax==/扇。sinfu

\m+ni）g

2-9一質(zhì)量為0.20kg的球，系在長(zhǎng)為2.00m俯細(xì)繩上,細(xì)繩的另一端

系在天花板上.把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成30。角的位置,然后從靜止放

開.求：（1）在繩索從30。角到0。角的過程中，重力和張力所作的功；（2）物體

分析（1）在計(jì)算功時(shí)，首先應(yīng)明確是什么力作功.小球擺動(dòng)過程中同時(shí)

受到重力和張力作用.重力是保守力,根據(jù)小球下落的距離，它的功很易求得;

至于張力雖是一變力，但是，它的方向始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直，根據(jù)功的矢

量式/=［尸-ds,即能得出結(jié)果來.（2）在計(jì)算功的基礎(chǔ)上,由動(dòng)能定理直

接能求出動(dòng)能和速率.（3）在求最低點(diǎn)的張力時(shí)，可根據(jù)小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的

向心加速度由重力和張力提供來確定.

解（1）如圖所示，重力對(duì)小球所作的功只與始末位置有關(guān)，即

Wp=PNh-/77g/（1—cos。）=0.53J

在小球擺動(dòng)過程中，張力FT的方向總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以，張力的功

%?=J/Vd5

(2)根據(jù)動(dòng)能定理，小球擺動(dòng)過程中,其動(dòng)能的增量是山于重力對(duì)它作功

的結(jié)果.初始時(shí)動(dòng)能為零，因而，在最低位置時(shí)的動(dòng)能為

線=9=0.53J

小球在最低位置的速率為

=2.30m-s-1

(3)當(dāng)小球在最低位置時(shí)，由牛頓定律可得

4=mg+”rriV=2.49N

2-10-質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，系在細(xì)繩的一端，繩的另一端固定在平面

上.此質(zhì)點(diǎn)在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速率是

v0.當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，其速率為。o/2.求：(1)摩擦力作的功；(2)動(dòng)摩擦因

數(shù)；(3)在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？

分析質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中速度的減緩,意味著其動(dòng)能減少；而減少的這

部分動(dòng)能則消耗在運(yùn)動(dòng)中克服摩擦力作功匕由此，可依據(jù)動(dòng)能定理列式解

之.

解(1)摩擦力作功為

][3

=-mv2--mv-=--mv~(1)

2Zo

(2)由于摩擦力是一恒力，且凡=〃/ng,故有

W-Ffscos180°=-Inr/jmg

由式(1)、(2)可得動(dòng)摩擦因數(shù)為

3

（3）由于一周中損失的動(dòng)能為G機(jī)說，則在靜止前可運(yùn)行的圈數(shù)為

O

T制?圈

2-11如圖（a）所示/和8兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分

別為⑸和加2.問在/板上需加多大的壓力,方可在力停止作用后，恰能使“

____A

鵬/

PjA

甘

(a)(b)（C）

題3-23圖

分析運(yùn)用守恒定律求解是解決力學(xué)問題最簡(jiǎn)捷的途徑之一.因?yàn)樗c

過程的細(xì)節(jié)無關(guān),也常常與特定力的細(xì)節(jié)無關(guān).“守恒”則意味著在條件滿足

的前提下，過程中任何時(shí)刻守恒量不變.在具體應(yīng)用時(shí)，必須恰當(dāng)?shù)剡x取研究

對(duì)象（系統(tǒng)）,注意守恒定律成立的條件.該題可用機(jī)械能守恒定律來解決.選

取兩塊板、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后（取作狀態(tài)1）,直

到3板剛被提起（取作狀態(tài)2）,在這一過程中，系統(tǒng)不受外力作用，而內(nèi)力中又

只有保守力（重力和彈力）作功,支持力不作功，因此，滿足機(jī)械能守恒的條

件.只需取狀態(tài)1和狀態(tài)2,運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程，并結(jié)合這兩狀態(tài)下

受力的平衡，便可將所需壓力求出.

解選取如圖（b）所示坐標(biāo),取原點(diǎn)。處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn).作

各狀態(tài)下物體的受力圖.對(duì)/板而言，當(dāng)施以外力尸時(shí)，根據(jù)受力平衡有

R=P<+F（1）

當(dāng)外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得

；@：-mgyt=；+^gy2

式中刃、yi為M、N兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)。的位移.因?yàn)榈?ky1=ky?及

P\=%g,上式可寫為

Fx-F2=2PI⑵

由式⑴、（2）可得

F=P\+F2（3）

當(dāng)4板跳到N點(diǎn)時(shí)￡板剛被提起，此時(shí)彈性力=3，且民=

F'2■由式（3）可得

F—P\+尸2—（/?1+〃?2）g

應(yīng)注意，勢(shì)能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的.為計(jì)算方便起見，通常取彈

簧原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零點(diǎn)，也同時(shí)為重力勢(shì)能的零點(diǎn).

2-12如圖所示，?質(zhì)量為加的木塊靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量為32

的子彈沿水平方向以速率%射入木塊一段距離￡（此時(shí)木塊滑行距離恰為s）

后留在木塊內(nèi)，求：（1）木塊與子彈的共同速度匕此過程中木塊和子彈的

動(dòng)能各變化了多少？（2）子彈與木塊間的摩擦阻力對(duì)木塊和子彈各作了多

少功？（3）證明這一對(duì)摩擦阻力的所作功的代數(shù)和就等于其中一個(gè)摩擦阻

力沿相對(duì)位移工所作的功.（4）證明這一對(duì)摩擦阻力所作功的代數(shù)和就等于

子彈-木塊系統(tǒng)總機(jī)械能的減少量（亦即轉(zhuǎn)化為熱的那部分能量）.

旦

題3-20圖

分析對(duì)子彈-木塊系統(tǒng)來說，滿足動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)動(dòng)能并不守恒，這是

因?yàn)橐粚?duì)摩擦內(nèi)力所做功的代數(shù)和并不為零，其中摩擦阻力對(duì)木塊作正功，

其反作用力對(duì)子彈作負(fù)功，后者功的數(shù)值大于前者，通過這一對(duì)作用力與反

作用力所做功，子彈將?部分動(dòng)能轉(zhuǎn)移給木塊，而另一部分卻轉(zhuǎn)化為物體內(nèi)

能.本題（3）、（4）兩問給出了具有普遍意義的結(jié)論，可幫助讀者以后分

析此類問題.

解（1）子彈-木塊系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，有

mv0/2=（m/2+m）v

解得共同速度

1

"二丁。

171,

對(duì)木塊A￡k2=—mv~-0=一mvl

對(duì)子彈八線2=；(3)/_；(三)片=一|相片

(2)對(duì)木塊和子彈分別運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，則

1,

對(duì)木塊=A￡=-wv

kl1o0

對(duì)子彈=AE.=

W2LKZ2--r9nv1U

(3)設(shè)摩擦阻力大小為耳，在兩者取得共同速度時(shí)，木塊對(duì)地位移為

s,則子彈對(duì)地位移為￡+s,有

對(duì)木塊

Wx=F(s

對(duì)子彈%=_尸。+s)

得W=WX+W2=-F(L

式中/即為子彈對(duì)木塊的相對(duì)位移，號(hào)表示這?對(duì)摩擦阻力(非保守

力)所作功必定會(huì)使系統(tǒng)機(jī)械能減少.

1,

(4)對(duì)木塊W.=Fs=—mv*

1f2

2

對(duì)子彈FF2=-Ff(￡+5)=|(^)y-1(y)vJ

兩式相加，得

兩式相加后實(shí)為子彈-木塊系統(tǒng)作為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理表達(dá)式，左邊為

-對(duì)內(nèi)力所作功，右邊為系統(tǒng)動(dòng)能的變化量.

2-13一質(zhì)量為加的地球衛(wèi)星，沿半徑為3RE的圓軌道運(yùn)動(dòng),RE為地

球的半徑.已知地球的質(zhì)量為mE.求：（1）衛(wèi)星的動(dòng)能；（2）衛(wèi)星的引力勢(shì)

能；（3）衛(wèi)星的機(jī)械能.

分析根據(jù)勢(shì)能和動(dòng)能的定義，只需知道衛(wèi)星的所在位置和繞地球運(yùn)動(dòng)

的速率，其勢(shì)能和動(dòng)能即可算出.由于衛(wèi)星在地球引力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，由

此可算得衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的速率和動(dòng)能.由于衛(wèi)星的引力勢(shì)能是屬于系統(tǒng)

（衛(wèi)星和地球）的，要確定特定位置的勢(shì)能時(shí)，必須規(guī)定勢(shì)能的零點(diǎn)，通常取衛(wèi)星

與地球相距無限遠(yuǎn)時(shí)的勢(shì)能為零.這樣,衛(wèi)星在特定位置的勢(shì)能也就能確定

了.至于衛(wèi)星的機(jī)械能則是動(dòng)能和勢(shì)能的總和.

解（1）衛(wèi)星與地球之間的萬有引力提供衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由

牛頓定律可得

2

廠mmv

G-v-—TZ--m-----

（3&）3%

EK=^mv2也加

則—G

6%

（2）取衛(wèi)星與地球相距無限遠(yuǎn)（r—oo）時(shí)的勢(shì)能為零，則處在軌道上的衛(wèi)

星所具有的勢(shì)能為

（3）衛(wèi)星的機(jī)械能為

E=EK+Ep

6&3RE6RE

2-14如圖（a）所示,天文觀測(cè)臺(tái)有?半徑為尺的半球形屋面，有一-冰塊

從光滑屋面的最高點(diǎn)由靜止沿屋面滑下,若摩擦力略去不計(jì).求此冰塊離開

屋面的位置以及在該位置的速度.

(a)

(b)

題3-27圖

分析取冰塊、屋面和地球?yàn)橄到y(tǒng)，由于屋面對(duì)冰塊的支持力FN始

終與冰塊運(yùn)動(dòng)的方向垂直，故支持力不作功；而重力尸又是保守內(nèi)力，所以，系

統(tǒng)的機(jī)械能守恒.但是，僅有一個(gè)機(jī)械能守恒方程不能解出速度和位置兩個(gè)

物理量；因此，還需設(shè)法根據(jù)冰塊在脫離屋面時(shí)支持力為零這?條件，由牛頓

定律列出冰塊沿徑向的動(dòng)力學(xué)方程.求解上述兩方程即可得出結(jié)果.

解由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有

12

mgR=—nw~+mgRcos0(1)

根據(jù)牛頓定律，冰塊沿徑向的動(dòng)力學(xué)方程為

2

1110

儂cos8Q—門=---(2)

R

冰塊脫離球面時(shí)，支持力人=0,由式(1)、(2)可得冰塊的角位置

2

0=arccos—=48.2°

3

冰塊此時(shí)的速率為

v的方向與重力P方向的夾角為

a=90°-6=41.8°

2-15如圖所示，把質(zhì)量機(jī)=0.20kg的小球放在位置A時(shí)，彈簧被壓縮

A/=7.5x10々巾.然后在彈簧彈性力的作用下，小球從位置/由靜止被釋放,

小球沿軌道488運(yùn)動(dòng).小球與軌道間的摩擦不計(jì).已知是半徑r=

0.15m的半圓弧"8相距為2八求彈簧勁度系數(shù)的最小值.

題3-28圖

分析若取小球、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，小球在被釋放后的運(yùn)動(dòng)過程中，只

有重力和彈力這兩個(gè)保守內(nèi)力作功，軌道對(duì)球的支持力不作功，因此，在運(yùn)動(dòng)

的過程中,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.運(yùn)用守恒定律解題時(shí)，關(guān)鍵在于選好系統(tǒng)的初

態(tài)和終態(tài).為獲取本題所求的結(jié)果，初態(tài)選在壓縮彈簧剛被釋放時(shí)刻，這樣,

可使彈簧的勁度系數(shù)與初態(tài)相聯(lián)系；而終態(tài)則取在小球剛好能通過半圓弧時(shí)

的最高點(diǎn)C處,因?yàn)檫@時(shí)小球的速率正處于--種臨界狀態(tài)，若大于、等于此速

率時(shí)，小球定能沿軌道繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)；小于此速率時(shí)，小球?qū)⒚撾x軌道拋出.該

速率則可根據(jù)重力提供圓弧運(yùn)動(dòng)中所需的向心力，由牛頓定律求出.這樣，再

山系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律即可解出該彈簧勁度系數(shù)的最小值.

解小球要?jiǎng)偤猛ㄟ^最高點(diǎn)C時(shí)，軌道對(duì)小球支持力斤=0,因此，有

mvl

mg=——-(1)

r

取小球開始時(shí)所在位置/為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律，有

—Z:(A/)2=mg(3r)+—mvl(2)

由式⑴、(2)可得

左=蹩=3663

(△/)

2-16如圖所示,質(zhì)量為相、速度為v的鋼球，射向質(zhì)量為力的靶,靶中心

有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為左的彈簧，此靶最初