2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第一章 空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)提升

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1混淆向量的共線、共面與線段的共線、共面致錯(cuò)

1.（2020海南中學(xué)期中）若荏=入梅+口廢（入，u￡R）,則直線AB與平面CDE的

位置關(guān)系為.

2.（2020四川自貢期末）如圖，在正方體ABCD-ABCD中,M,N分別是AB,AD的中

點(diǎn),判斷直線MN與平面BBDD的位置關(guān)系,并說明理由.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略定義、定理中的特殊條件致錯(cuò)

3.（2020湖南長(zhǎng)郡中學(xué)檢測(cè)）下列命題中正確的是（）

A.若4與b共線，卜與C共線則4與C共線

B.向量43忑共面,即它們所在的直線共面

C.若4〃則存在唯一的實(shí)數(shù)人，使4db

D.零向量是模為0,方向任意的向量

易錯(cuò)點(diǎn)3忽略向量共線的情況致錯(cuò)

4.（2020河南許昌期末）若向量4=（2,-1,2）,公（-4,2,m）,且4與C的夾角為鈍

角,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

5.(2020上海復(fù)旦附中期末)已知點(diǎn)A(1,2,1),B(3,3,2),C(入+1,4,3),若荏,AC

的夾角為銳角,則人的取值范圍為.

易錯(cuò)點(diǎn)4對(duì)空間向量的夾角的概念理解不清致錯(cuò)

6.（2021江蘇常州中學(xué)期中）如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,ZACD=90°,

沿著它的對(duì)角線AC將4ACD折起，使AB與CD成60°角,則此時(shí)B,D兩點(diǎn)間的距

離為.

BCR

易錯(cuò)點(diǎn)5混淆空間角與向量所成角致錯(cuò)

7.（2020山東泰安期末）如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是正方

形，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為a的正三角形,且平面PDCL底面ABCD,E為PC的中點(diǎn).

（1）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；

⑵求直線AP與平面ABCD所成角的正弦值.

8.（2020河南鄭州外國(guó)語學(xué)校期末）在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰

梯形,AB〃CD,ZDAB=60°,FC,平面ABCD,AE±BD,CB=CD=CF.

⑴求證:BD,平面AED;

（2）求二面角F-BD-C的余弦值.

思想方法練

一、函數(shù)與方程思想在空間向量與立體幾何中的應(yīng)用

1.（2021北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校期末）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD

是邊長(zhǎng)為2的正方形,PBJ_BC,PD±CD,且PA=2,E為PD的中點(diǎn).

⑴求證:PA平面ABCD;

⑵求直線PC與平面ACE所成角的正弦值；

⑶在線段BC上是否存在點(diǎn)F,使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為等?若存在,確定點(diǎn)

F的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

2.（2021江蘇連云港月考）如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAL平面

ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,ZABC-1200.

（1）求證:平面PAC±平面PBD;

⑵若M為PB的中點(diǎn),N為線段PC上一動(dòng)點(diǎn),求直線MN與平面PAC所成角的正弦

值的取值范圍.

p

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在空間向量與立體幾何中的應(yīng)用

3.(2021湖北鄂州期末)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1BED中,E,F,M,N分

別是棱AB,AD,AB,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別在棱DDbBB1上移動(dòng),且

DP=BQ=入(0<X<2).

⑴當(dāng)人=1時(shí)，證明:直線BG〃平面EFPQ;

(2)是否存在入，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出入

的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

答案與分層梯度式解析

第一章空間向量與立體幾何

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

1.答案ABu平面CDE或AB〃平面CDE

解析由近二人而+口次(入，口￡R)及共面向量定理可知向量荏與向量而,無共面,

則直線AB可能在平面CDE內(nèi),也可能與平面CDE平行.

易錯(cuò)警示本題容易因混淆了向量共面和直線共面而錯(cuò)答為ABc平面CDE,向量近

與向量方,次共面,直線AB可能在平面CDE內(nèi),也可能與平面CDE平行.

2.解析MN〃平面BBDD.理由如下:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,如圖,建立空間直角坐

標(biāo)系，

則B(1,1,0),Di(0,0,1),D(0,0,0),Ng,o,i),

.,.而DB=(1,1,0),西二(0,0,1).

設(shè)平可BBDD的一個(gè)法向量為八=(x,y,z),

則口腎=°。即IL

令x=l,則y=-l,z=0,

.,?^=(1,-1,0)是平面BBDD的一個(gè)法向量.

,：MN?八=0,MN。平面BBDD,

.\MN〃平面BBxDiD.

易錯(cuò)警示本題容易因忽視MN。平面BBDD,而直接由麗?八=0,得MN〃平面BBDD,

造成步驟不完整,實(shí)際上,當(dāng)麗?八=0時(shí),MN〃平面BBDD或MNc平面BBDD.

3.P由于零向量與任意向量共線，所以當(dāng)匕為零向量時(shí),4與C的關(guān)系不確定,

故A錯(cuò);當(dāng)向量G心c共面時(shí),它們所在的直線不一定共面,故B錯(cuò);在共線向量

定理中,當(dāng)b不是零向量時(shí),才存在唯一的實(shí)數(shù)入，使4二人伍否則人可能不存

在，故C錯(cuò);D顯然正確.

易錯(cuò)警示本題容易忽略零向量的特殊性和共線向量定理中的限制條件而誤認(rèn)為

A,C正確.

4.答案(-8,-4)U(-4,5)

解析與卜的夾角為鈍角，

a?^=-8-2+2m<0,解得m<5,

又由a//b,得m=-4,

???實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-8,-4)U(-4,5).

易錯(cuò)警示本題容易忽略兩向量方向相反的情形,只由a?fe=-8-2+2m<0,解得m<5.

5.答案(-2,4)U(4,+8)

解析易知荏=(2,1,1),就=(入，2,2).

'-AB,標(biāo)的夾角為銳角，..?貓?AC=2入+2+2>0,解得人>-2,

又由施〃就得人=4,

???人的取值范圍為(-2,4)U(4,+8),

6.答案應(yīng)或2

解析由題意得NACD=NBAC=90°,所以就,CD=O,AC?BX=O.

因?yàn)檎燮鸷驛B與CD成60°角，所以<方,方>=60°或<詞，而>=120°.

又說二瓶+就+而，

所以

\BD\2=\JA\2+\AC\2+\CD\2+2B1?AC+2BA?~CD+2AC?而=3+2X1X1XCOS<BA,~CD>,

所以當(dāng)〈方,方>=60°時(shí)，|說12=4,此時(shí)B,D兩點(diǎn)間的距離為2;

當(dāng)〈盛,方>=120。時(shí)，|說|之二2,此時(shí)B,D兩點(diǎn)間的距離為段.

7.解析取DC的中點(diǎn)0,連接PO,

APDC為正三角形，/.POXDC.

又,/平面PDC±平面ABCD,平面PDCn平面ABCD=DC,PO±平面ABCD.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則P（OAya）,A（a，4,O）,C（O,^,O）,D（O,—冽.

⑴設(shè)異面直線PA與DE所成的角為。.

??,E為PC的中點(diǎn),.,.￡（（）5,先）,

.".旗=（o,|a,fa）,方=3％等）,.,.兩,旗=|aX（-§+faX（與a）=-

赳2,IPA=V2a,IDE=ya,Z.COS<R4,DE>=^g-=-^-=-^."：COS。=1COS<PA,DE>\,

???異面直線PA與DE所成角的余弦值為當(dāng)

⑵設(shè)直線AP與平面ABCD所成的角為a,

易知平面ABCD的一個(gè)法向量八=（0,0,^-a）,

Vsina=|COS<PX,ia>|

???直線AP與平面ABCD所成角的正弦值為當(dāng)

易錯(cuò)警示當(dāng)兩條異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),這個(gè)角就是這兩條

異面直線所成的角;當(dāng)兩條異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角是這兩

條異面直線所成的角.求解直線和平面所成的角。時(shí)，要注意直線的方向向量八

與平面的法向量4的夾角和所求角。之間的關(guān)系,線面角的正弦值等于兩向量

夾角的余弦值的絕對(duì)值.它們的關(guān)系是sin9=|cos〈八M>I.

8.解析（1）證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,AB〃CD,NDAB=60°,

所以NADC=NBCD=120°.

又CB=CD,所以NCDB=30。，

而以NADB=90。，即ADLBD.

又AE±BD,且AEAAD=A,AE,ADc平面AED,

所以BD,平面AED.

⑵連接AC.易得AC±BC.又FC_L平面ABCD,所以CA,CB,CF兩兩垂直.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)CB=1,

則C(0,0,0),B(0,l,0),D俘，一刊,F(0,0,1),

所以前=俘,-|,0),BF=(0,-1,1).

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為(x,y,z),

取z=l,則hA=(V3,1,1).

易知潦=(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量,

則COS<^,CF>=^g=^4

易知二面角F-BD-C為銳二面角，

所以二面角F-BD-C的余弦值為g.

易錯(cuò)警示應(yīng)用向量法求出的兩個(gè)法向量的夾角的大小與二面角的大小可能相等

也可能互補(bǔ),一般結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是鈍二面角還是銳二面角.

思想方法練

1.解析(1)證明：???四邊形ABCD為正方形，.?.BC，AB,CD_LAD,

VPBXBC,BC±AB,PBAAB=B,PB,ABc平面PAB,.\BC，平面PAB.

VPAc平面PAB,...PALBC,

同理PAXCD,VBCACD=C,BC,CDc平面ABCD,，PA，平面ABCD.

⑵以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),

.,.AC=(2,2,O),AE=(O,1,1),PC=(2,2,-2),

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為(x,y,z),

則4?￡=2x+2y=。,取y=i,則想=(f1,T),

(m?AE=y+z=0,

???3〈”元>舔濡二益￡,

???直線PC與平面ACE所成角的正弦值為今

(3)存在.設(shè)點(diǎn)F(2,t,0)(0WtW2),則族=(2,t,0),AP=(0,0,2),

設(shè)平啜AF的一個(gè)法向量為八=(a,b,c),

則卜?畫=2a+tb=o取a=t,則聯(lián)(t,-2,0),

???點(diǎn)E到平面PAF的距離Vt>0,

因此當(dāng)F為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E到平面PAF的距離為爭(zhēng)

思想方法空間向量中應(yīng)用函數(shù)與方程思想主要涉及與空間向量運(yùn)算以及空間角

相關(guān)的取值范圍問題,一般有兩種解決途徑：

(1)充分挖掘題設(shè)中的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求字母為元的不等式(組)求解；(2)充

分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系構(gòu)造函數(shù)或方程求解.

2.解析(1)證明:取AC的中點(diǎn)0,連接BO,D0,因?yàn)锳B=BC,所以B0XAC.因?yàn)?/p>

AD=CD,所以D0XAC,

所以B,0,D三點(diǎn)共線，所以BDXAC.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,BDc平面ABCD,

所以BDXPA.

又因?yàn)镻AAAC=A,PA,ACu平面PAC,

所以BD,平面PAC.

因?yàn)锽Dc平面PBD,所以平面PAC，平面PBD.

⑵以0為坐標(biāo)原點(diǎn),0C,0D所在直線分別為x軸、y軸,過點(diǎn)。且平行于PA的直

線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(8,0,0),P(-百,0,2),B(0,-l,0).

因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)所以M(一表|,1).

設(shè)麗=A.PC(O<入Wl),

則N(2W入-a0,2-2人),

所以加=卜體考弓1-2人).

由⑴知BDL平面PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為八=(0,1,0).

設(shè)直線MN與平面PAC所成的角為。,

則sin0=1cos〈麗,心二盤泮]=_______1_,__0__W__入W1,

2,6孔。入+2216(磋注

將直線和平面所成的角的正弦值用含參的式子表示,利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值,

體現(xiàn)了函數(shù)思想.

故當(dāng)人胃時(shí),Sin。取得最大值，為9，當(dāng)人=1時(shí),sin9取得最小值，為學(xué)

所以?Wsin。W第即直線MN與平面PAC所成角的正弦值的取值范圍為憐％

3.解析(1)證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,D?所在直線分別為x軸、y軸、z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(2,2,0),G(0,2,2),F(1,0,0),當(dāng)人=1

時(shí),P(o,0,1).

.,.西=(-2,0,2),FP=(~1,0,1),.,.BCI=2FP,/.BC1//FP.

?.?BCQ平面EFPQ,FPc平面EFPQ,.\BCi〃平面EFPQ.

(2)由⑴知E⑵1,0),F(l,0,0),P(0,0,人)，N(l,