1-有限單元法簡介課案

有限元法基礎

FiniteElementMethod桂林電子科技大學機電工程學院InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationIMEA學習目的及方法InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation目的

了解FEM數(shù)學力學基礎；把握FEM求解具體問題的基本過程；應用FEM，特別是運用已有的通用或?qū)Ｓ密浖蠼鈱嶋H工程技術問題；方法

注重深入理解FEM思想的建立，數(shù)學力學基礎;

運用通用或?qū)Ｓ糜邢拊绦蜻M行工程問題分析；2024/8/17有限單元法簡介2一、數(shù)值模擬方法概述二、有限單元法簡介三、有限單元法分析步驟四、利用有限元軟件進行工程分析五、結(jié)后語一、數(shù)值模擬方法概述

工程技術領域中的許多力學問題和場問題，如固體力學中的位移場、應力場分析；電磁學中的電磁分析、振動特性分析；熱力學中的溫度場分析；流體力學中的流場分析等，都可以歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。雖然人們能夠得到它們的基本方程和邊界條件，但是能夠用解析法求解的只是少數(shù)性質(zhì)比較簡單和邊界比較規(guī)則的問題，實際結(jié)構(gòu)的形狀和所受到的載荷往往比較復雜，按解析法求解是非常困難的。2024/8/17有限單元法簡介4一、數(shù)值模擬方法概述

解決這類復雜問題主要有兩種方法：1、引入簡化假設，使其達到能用解析法求解的狀態(tài)，然后求其近似解（未必可行，容易導致不正確的解答）2、保留問題的復雜性，利用數(shù)值模擬方法求得問題的近似解（較多采用）數(shù)值模擬技術（即CAE技術，Computer-aidedEngineering）是人們在現(xiàn)代數(shù)學、力學理論的基礎上，借助于計算機技術來獲得滿足工程要求的數(shù)值近似解，是現(xiàn)代工程仿真學發(fā)展的重要推動力之一。2024/8/17有限單元法簡介5一、數(shù)值模擬方法概述

目前在工程技術領域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有：

1、有限單元法FEM（FiniteElementMethod）

2、邊界元法BEM（BoundaryElementMethod）

3、有限差分法FDM（FiniteDifferenceMethod）

4、離散單元法DEM（DiscreteElementMethod）其中有限單元法是最具實用性和應用最廣泛的。2024/8/17有限單元法簡介6一、數(shù)值模擬方法概述

數(shù)值模擬結(jié)合計算機技術形成的應用軟件在工程中得到廣泛的應用，國際上著名的有限元通用軟件有：ANSYS,ABAQUS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC,ADINA,FLAC等它們大多采用FORTRAN語言編寫，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且?guī)в袕姶蟮那疤幚砗秃筇幚沓绦?。大多?shù)有限元通用軟件擁有良好的用戶界面、使用方便，功能強大。2024/8/17有限單元法簡介7[FEM求解工程問題思路]

工程中的問題本構(gòu)關系線性的、邊界規(guī)則的問題數(shù)值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規(guī)則的問題解析法圖1工程問題的求解思路

FEM猶如萬能鑰匙，是解決工程問題的主流數(shù)值分析方法只能解決極少的方程求解，而且解答復雜。工程問題的求解基本過程InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation二、有限單元法簡介2024/8/17有限單元法簡介81.有限元法定義

是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成線性代數(shù)方程組求解。分析指導思想

化整為零，裁彎取直，以簡馭繁，變難為易二、有限單元法簡介2024/8/17有限單元法簡介92024/8/17有限單元法簡介10是在當今工程分析中獲得最廣泛應用的數(shù)值計算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技術界的高度重視。伴隨著計算機科學和技術的快速發(fā)展，現(xiàn)已成為：計算機輔助設計(CAD)——

Computer

Aided

Design計算機輔助制造(CAM)——

Computer

Aided

Manufacture的重要組成部分.有限單元法(或稱有限元法，F(xiàn)EM)——

Finite

Element

Method2.發(fā)展簡史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機機翼，借助有限元法概念研究機翼的強度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀60年代，我國數(shù)學家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都可用FEM求解20世紀60年代以后，由于數(shù)學界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴大了應用二、有限單元法簡介2024/8/17有限單元法簡介113.發(fā)展方向新型單元的研究有限元的數(shù)學理論向新領域擴展應用大型通用程序的編制和設計

ANSYS,NASTRAN,ABAQUS開發(fā)微機用版本設計自動化及優(yōu)化設計（CAD,CAE,CAM）二、有限單元法簡介2024/8/17有限單元法簡介124.有限元法的分類

以方程中未知數(shù)代表的意義分類

有限元位移法：未知數(shù)為位移有限元力法：未知數(shù)為力有限元混合法：未知數(shù)為力和位移

以推導方法分類

直接法變分法加權余數(shù)法二、有限單元法簡介2024/8/17有限單元法簡介13有限單元法的常用術語：二、有限單元法簡介真實系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。定義2024/8/17有限單元法簡介14節(jié)點和單元節(jié)點:

空間中的坐標位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。單元:

一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。載荷載荷2024/8/17有限單元法簡介15自由度（DOFs－degreeoffreedoms）自由度(DOFs)

用于描述一個物理場的響應特性。結(jié)構(gòu)DOFs

結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

物理場 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ2024/8/17有限單元法簡介16節(jié)點和單元節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ2024/8/17有限單元法簡介17二、有限單元法簡介有限單元法的基本思想：1、將一個連續(xù)域離散化為有限個單元，并通過有限個節(jié)點相連接的等效集合體。由于單元能按照不同的聯(lián)結(jié)方式進行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。2、有限元法利用在每一個單元內(nèi)假設的的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在單元的各個節(jié)點的數(shù)值和其插值函數(shù)來表達。3、一個問題的有限元分析中，未知場函數(shù)在各個節(jié)點上的數(shù)值就成為新的未知量，從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。4、一經(jīng)求解出這些未知量，就可以通過插值函數(shù)計算出各個單元內(nèi)場函數(shù)的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。顯然，隨著單元數(shù)目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加以及插值函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷改進，如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后將收斂于精確解。2024/8/17有限單元法簡介18三、有限單元法分析步驟有限元法分析問題的基本步驟：1、結(jié)構(gòu)的離散化

離散化就是將要分析的結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體，并在單元的指定位置設置節(jié)點，使相鄰單元的有關參數(shù)具有一定的連續(xù)性，構(gòu)成單元的集合體代替原來的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散化時，劃分的單元大小和數(shù)目應根據(jù)計算精度的要求和計算機的容量來決定

選取坐標（右手法則）選擇合適的單元，離散結(jié)構(gòu)物為有限個單元，并對單元、節(jié)點進行編號2024/8/17有限單元法簡介19三、有限單元法分析步驟2、選擇位移插值函數(shù)

為了能用節(jié)點位移表示單元體的位移、應變和應力，在分析連續(xù)體問題時，必須對單元中位移的分布做出一定的假設，一般假定位移是坐標的某種簡單函數(shù)。選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法中的關鍵。

{f}—單元內(nèi)任意點的位移列矩陣

[N]—單元形函數(shù)矩陣

—單元節(jié)點位移的列矩陣2024/8/17有限單元法簡介20三、有限單元法分析步驟3、分析單元的力學特性

利用幾何方程、本構(gòu)方程和變分原理得到單元的剛度矩陣和載荷矩陣

{R}e=[K]e

{δ}e{R}e

—單元節(jié)點力

[K]e

—單元剛度矩陣2024/8/17有限單元法簡介21三、有限單元法分析步驟4、集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程

先將各個單元剛度矩陣集合成整體剛度矩陣[K]，然后將各單元的等效節(jié)點力列陣集合成總的載荷列陣[K]=Σ[K]e

5、由平衡方程求解未知節(jié)點位移{δ}

按照問題的邊界條件修改總的平衡方程，并進行求解。2024/8/17有限單元法簡介22三、有限單元法分析步驟6、單元應變和應力的計算

根據(jù)已知結(jié)點的位移利用彈性力學方程和位移插值函數(shù)算出單元的應變和應力。2024/8/17有限單元法簡介232024/8/17有限單元法簡介24

有限元法的要點在工程或物理問題的數(shù)學模型:基本變量;基本方程;求解域和邊界條件等確定以后，有限元法作為對其進行分析的數(shù)值計算方法的要點可歸納如下：2024/8/17有限單元法簡介25(1)將一個表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個子域(單元)，并通過它們邊界上的節(jié)點相互聯(lián)結(jié)成為組合體。下圖表示將一個二維多連通求解域離散為若干個單元的組合體。圖(a)和(b)分別表示采用四邊形和三角形單元離散的圖形。各個單元通過它們的角節(jié)點相互聯(lián)結(jié)。(2)用每個單元內(nèi)所假設的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場變量。每個單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)(或其導數(shù))在單元各個節(jié)點上的數(shù)值和與其對應的插值函數(shù)來表達(此表達式通常表示為矩陣形式)。由于在聯(lián)結(jié)相鄰單元的節(jié)點上，場函數(shù)應具有相同的數(shù)值，因而將它們用作數(shù)值求解的基本未知量。

轉(zhuǎn)換為求解原來待求場函數(shù)的無窮多自由度問題求解場函數(shù)節(jié)點值的有限自由度問題(3)通過和原問題數(shù)學模型(基本方程、邊界條件)等效的變分原理或加權余量法，建立求解基本未知量(場函數(shù)的節(jié)點值)的代數(shù)方程組或常微分方程組。此方程組稱為有限元求解方程，并表示成規(guī)范化的矩陣形式。接著用數(shù)值方法求解此方程，從而得到問題的解答。四、

有限元法分類

線彈性有限元法非線性有限元法線彈性有限元一般包括:

線彈性靜力分析線彈性動力分析學習這些內(nèi)容問題需具備：材料力學、彈性力學、結(jié)構(gòu)力學、數(shù)值方法、矩陣代數(shù)、算法語言、振動力學、彈性動力學等方面的知識。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法，也有助于降低有限元分析的時間。線彈性有限元法研究對象:理想彈性體分析基礎:小變形假設材料的應力與應變呈線性關系,滿足廣義胡克定律應變與位移也是線性關系線彈性有限元問題歸結(jié)為求解線性方程組問題，只需較少的計算時間。

非線性有限元問題與線彈性有限元問題有很大不同，主要表現(xiàn)在如下三個方面：

(1)非線性問題的方程是非線性的，因此一般需要迭代求解；

(2)非線性問題不能采用疊加原理；

(3)非線性問題不總有一致解，有時甚至沒有解。以上三方面的因素使非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復雜、費用更高和更具有不可預知性。非線性有限元法以結(jié)構(gòu)上彈性力學為例：1.材料非線性問題材料的應力與應變是非線性關系；但應變與位移卻很微小，此時應變與位移呈線性關系；材料的應力與應變之間的非線性關系要基于試驗數(shù)據(jù)，有時非線性材料特性可用數(shù)學模型進行模擬，盡管這些模型總是有它們的局限在工程實際中較為重要的材料非線性性。問題有：非線性彈性(包括分段線彈性)；彈塑性；粘塑性及蠕變等。有限元法非線性問題可以分為如下三類：當物體的位移較大時，應變與位移的關系是非線性關系，這意味著結(jié)構(gòu)本身會產(chǎn)生大位移或大轉(zhuǎn)動，而單元中的應變卻可大可小。研究這類問題時一般都假定材料的應力與應變呈線性關系。這類問題包括：大位移大應變問題

如：橡膠部件成形過程大位移小應變問題

如：如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題

2．幾何非線性問題

在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時遇到一些接觸問題，如：齒輪傳動；沖壓成型；軋制成型；橡膠減振器；緊配合裝配等當一個結(jié)構(gòu)與另一個結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。實際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。3．非線性邊界(邊界條件)五、利用有限元軟件進行工程分析

所有的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個有邏輯順序的模塊。在進行實際工程分析時，也該按照以上三個模塊來進行。進入求解器進行求解（設定分析步驟，輸出變量）前處理（建模、材料特性、單元選擇及網(wǎng)格劃分）進入后處理（變形圖、等值線圖，列表顯示等等后處理）2024/8/17有限單元法簡介34四、利用有限元軟件進行工程分析利用有限元軟件進行工程問題的分析，一般應按下列步驟進行：（一）、制訂分析方案需考慮以下幾個方面：important2024/8/17有限單元法簡介351、分析領域

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁2024/8/17有限單元法簡介362、分析目標力？位移？溫度？還是其他？2024/8/17有限單元法簡介373、線性/非線性分析“我的物理系統(tǒng)是在線性還是非線性狀態(tài)下工作？線性求解能滿足我的需要嗎？如果不能，必須考慮哪種非線性特性？”許多情況和物理現(xiàn)象都要求進行非線性計算。(a)訂書釘t0t1t2t3Fu

(b)木制書架b1b2

(c)氣動帶FuFu2024/8/17有限單元法簡介384、靜力/動力分析靜力求解能否滿足你的分析要求？如果不能，應當進行哪種動力分析？動力分析的所有載荷都是隨時間變化的，但在許多情況下動力影響可以忽略不計。一般情況下，激勵頻率低于結(jié)構(gòu)最小固有頻率的1/3時靜力求解就足夠了。慣性力是動力問題不同于靜力問題的關鍵之處。2024/8/17有限單元法簡介395、分析細節(jié)的考慮在建立分析模型之前必須制訂好建模方案：必須考慮哪些細節(jié)問題？對稱/反對稱/軸對稱？模型中存在應力奇異？選用那種類型的單元？線單元殼單元X－Y平面單元平面應力或應變單元軸對稱單元諧單元實體單元專用單元線性單元/高階單元/P單元四邊形單元/三角形單元，塊單元/四面體單元2024/8/17有限單元法簡介406、充分利用結(jié)構(gòu)的對稱性PPPPP2024/8/17有限單元法簡介417、網(wǎng)格密度相鄰單元的尺寸盡可能接近應力變化大處單元應密集一些。結(jié)點的多少與疏密要考慮計算機的容量和計算精度結(jié)點所連接的單元個數(shù)盡可能一致宜不宜2024/8/17有限單元法簡介428、單位制注意：ANSYS和ABAQUS大型有限元軟件中，沒有固定的單位制，大家在使用的過程中，可以自己選用前后一致的一套單位制，則最后所得結(jié)果的單位即為即為所選單位制對應的單位。建議：盡量采用國際單位制2024/8/17有限單元法簡介439、材料特性材料特性是有限元分析必須提供的數(shù)據(jù)，其準確與否直接影響到計算的精度；必要的時候需通過試驗提供；一個復雜分析中可能包含很多種性質(zhì)截然不同的材料，建模的時候應以足夠的關鍵字以識別；很多有限元軟件中，都提供