2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專題16 圓錐曲線中的探索性和綜合性問題（原卷）

專題16圓錐曲線中的探索性和綜合性問題1．在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?77a,0,B77a,0(a>0)(1)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)P0,a的直線與（1）的軌跡相交于E?F(3)若G?a,0,H2a,0,θ為C點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)λ(λ>0)，使得2．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)F、E所在的直線為x軸，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)Q1,0且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)Tt,0，使得直線TM，3．已知橢圓C：x24+y2b2=10<b<2，設(shè)過點(diǎn)A1,0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交直線(1)若AM≥1，求b(2)若b=1，記直線EM，EN，EP的斜率分別為k1，k2，k3，問是否存在k1，k2，k3的某種排列ki1，ki2，ki34．橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)Mx0,y0是橢圓x2m2+y2n2=1m>n>0上任一點(diǎn)，則該橢圓在點(diǎn)M處的切線方程為x0x（i）求證：PF（ii）在橢圓C上是否存在點(diǎn)N，使得△PF1Q5．如圖所示，由半橢圓C1:x24+y2b2=1y≤0和兩個(gè)半圓C2:x+12+y2=1y≥0(1)求C1(2)若過點(diǎn)F1,F2作兩條平行線l1,l2分別與C16．已知拋物線H:x2=2py（p(1)若直線l:y=kx?2pk+2p與H只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k；(2)貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：|AD||DE|7．已知直線l與拋物線C1:y2=2x交于兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2(1)若直線l過點(diǎn)M1,0，且1BM?(2)①證明：1y②設(shè)△AOB，△COD的面積分別為S1，S2，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若AC=28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，直線(1)求線段AB(2)若a=1，過點(diǎn)D作斜率為2x0y0的直線l'?與直線l1:2x?y=0交于點(diǎn)P，與直線9．如圖，過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C．當(dāng)AB平行于x(1)求p的值；(2)過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的43倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率為12時(shí)直線10．某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB、EF之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，AB=2千米，O為AB的中點(diǎn)，OD為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，交OD于G．(1)若OE=3千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長半軸長的最大值；(2)若橢圓的離心率為32，當(dāng)線段OG長為何值時(shí)，游樂區(qū)域△OMN11．法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，則稱圓心在原點(diǎn)O，半徑是a2(1)若點(diǎn)A為橢圓C的“伴隨圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求AB?(2)在橢圓C的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷12．如圖，過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C，當(dāng)AB平行于x(1)求p的值；(2)過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的43倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD13．已知橢圓方程為C1:x2a2+(1)求該橢圓C1(2)若橢圓C1的頂點(diǎn)恰好是雙曲線C2焦點(diǎn)，橢圓C1的焦點(diǎn)恰好是雙曲線C2頂點(diǎn)，設(shè)橢圓C1的焦點(diǎn)F1,F2，雙曲線C2的焦點(diǎn)F114．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，直線l與圓C1:x2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)△OAB的面積取最大值時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．15．在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A1(?3(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)已知點(diǎn)F1(?1,0),F2(1,0)，過點(diǎn)P作軌跡E的切線其斜率記為k(k≠0)，當(dāng)直線P16．已知雙曲線Γ:x2?y23=1,F為雙曲線Γ的右焦點(diǎn)，過F作直線l1交雙曲線Γ于A,B兩點(diǎn)，過F點(diǎn)且與直線l1垂直的直線l2(1)若直線OP的斜率為32，求AB(2)設(shè)直線AB,AP,AM,AN的斜率分別為k1,k2,k3,k4，且k117．在xOy平面上．設(shè)橢圓Γ：x2m2+y2=1(m>1)，梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在(1)若AB為Γ的長軸，梯形ABCD的高為12，且C在AB上的射影為Γ的焦點(diǎn)，求m(2)設(shè)m=2，直線CD經(jīng)過點(diǎn)P0,2，求(3)設(shè)m=2，AB=2CD，AD與BC的延長線相交于點(diǎn)M，當(dāng)k18．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)F1與右焦點(diǎn)F2都在x軸上，離心率為3，過點(diǎn)F2的動(dòng)直線l與雙曲線C交于點(diǎn)A、B(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值時(shí)∠AF1B的正切值；（關(guān)于求λ的最值．某學(xué)習(xí)小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設(shè)AF2|AB|為μ，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值；(3)若點(diǎn)A在雙曲線C的左支上（點(diǎn)A不是該雙曲線的頂點(diǎn)，且λ=1，求證：△AF1B是等腰三角形．且AB19．某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如下圖所示，并鋪設(shè)了部分人行通道．為了簡(jiǎn)單起見，現(xiàn)作如下假設(shè)：假設(shè)1：綠地是由線段AB，BC，CD，DE和弧EA圍成的，其中EA是以O(shè)點(diǎn)為圓心，圓心角為2π假設(shè)2：線段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圓弧EA暫時(shí)未修路；假設(shè)3：路的寬度在這里暫時(shí)不考慮；假設(shè)4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點(diǎn)表示．圖1-圖3中的相關(guān)邊、角滿足以下條件：直線BA與DE的交點(diǎn)是O，AB//CD，∠ABC=π2小區(qū)物業(yè)根據(jù)居民需求，決定在綠地修建一個(gè)休息亭．根據(jù)不同的設(shè)計(jì)方案解決相應(yīng)問題，結(jié)果精確到米．(1)假設(shè)休息亭建在弧EA的中點(diǎn)，記為Q，沿EA和線段QC修路，如圖2所示．求QC的長；(2)假設(shè)休息亭建在弧EA上的某個(gè)位置，記為P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿EP、線段PM和線段PN修路，如圖3所示．求修建的總路長EP+PM+PN(3)請(qǐng)你對(duì)（1）和（2）涉及到的兩種設(shè)計(jì)方案做個(gè)簡(jiǎn)明扼要的評(píng)價(jià)．20．從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線C:x2=2pyp>1，從點(diǎn)4,9發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓M:x2+y?32=4，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為21．如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子，讓細(xì)繩緊貼住三角板的直角邊，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，這時(shí)筆尖在平面上留下軌跡C.已知細(xì)繩長度為3cm，經(jīng)測(cè)量，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P處時(shí)，∠FAP=30°,∠AFP=90°.設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)D0,?3且斜率為k的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)，k的取值范圍為0,2，探究：是否存在λ，使得DM=λDN22．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2?y(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實(shí)軸長為2，過點(diǎn)F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支不同的A，B兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)且滿足QA=QB23．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1?F(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)G1,0的動(dòng)直線n與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，直線l的方程為x=4.過點(diǎn)M作MP⊥l于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ⊥l于點(diǎn)Q.記△GPQ,△GPM,△GQN的面積分別為S，S1，S2.問是否存在實(shí)數(shù)λ，使得λ24．在數(shù)學(xué)中常有“數(shù)形結(jié)合”的思想，即找到代數(shù)式的幾何意義，比如：y=x?12+4x2?32+x2+4x(1)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：x1(2)當(dāng)a≥1時(shí)，證明：a425．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長．某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓．若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為23(1)以點(diǎn)F、E所在的直線為x軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為kk≠0，△DMN的面積為S，當(dāng)26．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，R'分別是線段OF，CF上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足OR4+FR(1)證明：點(diǎn)P始終在某一橢圓上，并求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)S，T為該橢圓上兩點(diǎn)，T關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為Q，設(shè)M23,32，且直線MS27．?dāng)?shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對(duì)世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn).在雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P3,1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，不過點(diǎn)P且斜率為13的直線與雙曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，直線PM與QN交于點(diǎn)Dx28．如圖，F(xiàn)1(?c,0)、F2(c,0)為雙曲線C1:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，拋物線(1)求雙曲線C1與拋物線C(2)過F2作不垂直于x軸的直線l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四點(diǎn)，設(shè)M為AD中點(diǎn)，N為BC29．①離心率為22；②經(jīng)過點(diǎn)M?3,已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程；(2)過P的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓交于點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，過F1與直線l垂直的直線交橢圓于點(diǎn)A，B，記PQ中點(diǎn)為Mx1,y1，記AB的中點(diǎn)為Nx30．人造