2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)綜合測試含解析新人教B版必修第四冊

PAGEPAGE1必修第四冊綜合測試時間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)z滿意2＋3i＝zi(其中i是虛數(shù)單位)，則z的虛部為(B)A．2B．－2C．3D．－3解析：2＋3i＝zi，∴z＝eq\f(2＋3i,i)＝3－2i，虛部為－2，故選B.2．在△ABC中，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,4)，則B＝(C)A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D.eq\f(π,6)解析：因為eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(\r(2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(3),sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，又因為b>a，所以B>A，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，故選C.3．設(shè)m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是(D)A．若m⊥α，n∥α，則m⊥nB．若n⊥α，n∥m，則m⊥αC．若m⊥α，m∥β，則α⊥βD．若α⊥β，m∥α，則m⊥β解析：逐一考查所給的選項：由線面垂直的性質(zhì)定理推論可知：若m⊥α，n∥α，則m⊥n，選項A正確；由線面垂直的性質(zhì)定理推論可知：若n⊥α，n∥m，則m⊥α，選項B正確；由線面垂直的性質(zhì)定理推論可知：若m⊥α，m∥β，則平面β內(nèi)存在直線l，滿意l∥m，則l⊥α，然后利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，選項C正確；在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，取平面α，β分別為平面ABCD，ADD1A1，直線m為棱B1C1.滿意α⊥β，m∥α，但是不滿意m⊥β，選項D錯誤．故選D.4．復(fù)數(shù)z＝eq\f(－2,1＋\r(3)i)(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(B)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：z＝eq\f(－2,1＋\r(3)i)＝eq\f(－21－\r(3)i,1＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(－2＋2\r(3)i,1－3i2)＝eq\f(－2＋2\r(3)i,4)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，它在其次象限，故選B.5．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且eq\f(sinA－sinB,sinC)≥eq\f(c－b,a＋b)，則(D)A．A的最大值為eq\f(π,6) B．A的最小值為eq\f(π,6)C．A的最大值為eq\f(π,3) D．A的最小值為eq\f(π,3)解析：由正弦定理得eq\f(a－b,c)≥eq\f(c－b,a＋b)，化簡得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≤eq\f(1,2)，由余弦定理得cosA≤eq\f(1,2)，故eq\f(π,3)≤A<π，故選D.6．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，全部棱長均為eq\r(3)，P是底面ABC中心，則PA1與平面ABC所成角大小是(B)A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：連接AP，因為側(cè)棱與底面垂直，所以∠A1PA即為PA1與平面ABC所成的角，因為P是底面A1B1C1中心，所以AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝1，在Rt△APA1中，tan∠APA1＝eq\f(AA1,AP)＝eq\r(3)，∠APA1＝eq\f(π,3)，所以PA1與平面ABC所成角大小為eq\f(π,3).故選B.7．設(shè)點P是一個正四面體內(nèi)的隨意一點，則點P到正四面體的各個面的距離之和是一個定值，這個定值等于該四面體的(C)A．棱長 B．斜高C．高 D．兩對棱間的距離解析：設(shè)正四面體的棱長為a，∵P是正四面體內(nèi)的一點，∴正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和，設(shè)它到四個面的距離分別為m，n，p，q，棱長為a的正四面體的四個面的面積都是S＝eq\f(1,2)×a×a×sin60°＝eq\f(\r(3),4)a2.又頂點究竟面的投影在底面的中心，此點究竟面三個頂點的距離都是高的eq\f(2,3)，又高為a×sin60°＝eq\f(\r(3),2)a，故底面中心究竟面頂點的距離都是eq\f(\r(3),3)a.由此知頂點究竟面的距離是eq\r(a2－\f(\r(3),3)a2)＝eq\f(\r(6),3)a.此正四面體的體積是eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3.∴eq\f(\r(2),12)a3＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(m＋n＋p＋q)，解得m＋n＋p＋q＝eq\f(\r(6),3)a.∴P到各個面的距離之和是一個定值，這個定值等于四面體的高．故選C.8．已知a，b，c分別是銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且b＝2,4－c2＝(a－eq\r(3)c)a，則sinA－2cosC的取值范圍是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))C．(0，eq\r(3)) D．(－1,0)解析：由題意得：b2－c2＝a2－eq\r(3)ac，即cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2).∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq\f(π,6).sinA－2cosC＝sinA－2cos(π－A－B)＝sinA＋2cos(A＋B)＝sinA＋2cosAcosB－2sinAsinB＝sinA＋eq\r(3)cosA－sinA＝eq\r(3)cosA.∵△ABC為銳角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<C＝\f(5π,6)－A<\f(π,2)))，解得：eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2).∴cosA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴eq\r(3)cosA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，即sinA－2cosC的取值范圍為(0，eq\f(\r(3),2))，故選A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．已知復(fù)數(shù)z滿意i2k＋1z＝2＋i，(k∈Z)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于(BD)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：∵i2k＋1z＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)，∵i1＝i5＝…＝i，i3＝i7＝…＝－i.當(dāng)k為奇數(shù)時，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)＝eq\f(2＋i,－i)＝eq\f(2＋ii,－i×i)＝－1＋2i，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(－1,2)位于其次象限；當(dāng)k為偶數(shù)時，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)＝eq\f(2＋i,i)＝eq\f(2＋ii,i×i)＝1－2i，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(1，－2)位于第四象限，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于其次象限或第四象限．故選BD.10．下列所給的四個命題中，是真命題的為(ABD)A．兩個共軛復(fù)數(shù)的模相等B．z∈R?z＝eq\x\to(z)C．|z1|＝|z2|?z1＝±z2D．|z|2＝z·eq\x\to(z)解析：對于A，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，其共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi，|z|＝|eq\x\to(z)|＝eq\r(a2＋b2)兩個共軛復(fù)數(shù)的模相等，故A正確；對于B，z∈R?z＝eq\x\to(z)，故B正確；對于C，例如z1＝1＋i，z2＝eq\r(2)，滿意|z1|＝|z2|但不滿意z1＝±z2，故C錯誤．對于D，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，其共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi，此時，|z|2＝z·eq\x\to(z)＝a2＋b2，故D正確，故選ABD.11．如圖，在透亮塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，下列四個說法成立的是(ACD)A．水的部分始終呈棱柱狀B．水面四邊形EFGH的面積不變更C．棱A1D1始終與水面EFGH平行D．當(dāng)E∈AA1時，AE＋BF是定值解析：A中水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可推斷A正確；B中水面四邊形EFGH的面積不變更；EF是可以變更的，而EH不變的，所以面積是變更的，B是不正確的；C中棱A1D1始終與水面EFGH平行；由直線與平面平行的推斷定理，可知A1D1∥EH，所以結(jié)論正確；D中當(dāng)E∈AA1時，AE＋BF是定值，水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，所以正確．故選ACD.12．如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于點P.則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．PD⊥EFB．平面PDE⊥平面PDFC．二面角P-EF-D的余弦值為eq\f(1,3)D．點P在平面DEF上的投影是△DEF的外心解析：對于A選項，作出圖形(如圖)，取EF中點H，連接PH，DH，又原圖知△BEF和△DEF為等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正確；依據(jù)折起前后，可知PE，PF，PD三線兩兩垂直，于是可證平面PDE⊥平面PDF，故B正確；依據(jù)A選項可知∠PHD為二面角P-EF-D的平面角，設(shè)正方形邊長為2，因此PE＝PF＝1，PH＝eq\f(\r(2),2)，DH＝2eq\r(2)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)，PD＝AD＝2，由余弦定理得：cos∠PHD＝eq\f(PH2＋HD2－PD2,2PH·HD)＝eq\f(1,3)，故C正確；由于PE＝PF≠PD，故點P在平面DEF上的投影不是△DEF的外心，即D錯誤．故選ABC.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)eq\a\vs4\al(三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.)13．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinB－asinA＝eq\f(1,2)csinC,cosA＝eq\f(1,4)，則eq\f(b,c)的值為3.解析：由正弦定理可得，b2－a2＝eq\f(1,2)c2，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,4)，消去a2，得eq\f(\f(3,2)c2,2bc)＝eq\f(3c,4b)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(b,c)＝3.14．將若干水倒入底面半徑為2cm的圓柱器皿中(底面水平放置)，量得水面的高度為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒置的圓錐形器皿中，則水面的高度是6cm.解析：由題意得水的體積為：24π，∵軸截面為正三角形，∴設(shè)倒置圓錐形器皿中水面高度為eq\r(3)a，底面半徑為a，∴eq\f(1,3)×πa2×eq\r(3)a＝24π，∴a3＝24eq\r(3)，∴3eq\r(3)a3＝216，∴eq\r(3)a＝6.15．已知三棱錐A-BCD中，F(xiàn)，G分別是AC，AD的中點，E在線段AB上，且AE＝2EB，平面EFG將該三棱錐截成一個四面體和一個五面體，分別記該四面體和五面體的體積為V1，V2，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,5)；若分別記該四面體和五面體的表面積為S1，S2，則S2>2S1(填“>”“<”或“＝”)．解析：如圖，設(shè)三棱錐A-BCD的體積為V，因為F，G分別是AC，AD的中點，E在線段AB上，且AE＝2EB，所以S△AGF＝eq\f(1,4)S△ACD，設(shè)B到面ACD的距離為h，所以E到面ACD的距離為eq\f(2h,3)，所以V1＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×V＝eq\f(V,6)，V2＝eq\f(5V,6)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,5).因為S△AEG＝eq\f(1,3)S△ABC，所以2S△AEG＝S四邊形BCGE，同理2S△AEF＝S四邊形BDFE,2S△AGF＝eq\f(2,3)S四邊形CDFG<S四邊形CDFG，2S△EFG<S△EFG＋S△BCD，所以S2>2S1.16．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，若△ABC的面積為3eq\r(3)，則BC邊的長度為eq\r(13)或eq\r(37).解析：由題意，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，且面積為3eq\r(3)，所以eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×3×4sinA＝3eq\r(3)，解得sinA＝eq\f(\r(3),2).又因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)或A＝eq\f(2π,3).當(dāng)A＝eq\f(π,3)時，cosA＝eq\f(1,2)，由余弦定理，可得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·ACcosA)＝eq\r(32＋42－2×3×4×\f(1,2))＝eq\r(13)；當(dāng)A＝eq\f(2π,3)時，cosA＝－eq\f(1,2)，由余弦定理，可得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·ACcosA)＝eq\r(32＋42－2×3×4×－\f(1,2))＝eq\r(37).綜上，BC邊的長度為eq\r(13)或eq\r(37).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．(10分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(2m2－7m＋3)＋(m2－m－6)i，問當(dāng)實數(shù)m取何值時：(1)z是純虛數(shù)；(2)z對應(yīng)的點在復(fù)平面的第四象限．解：(1)因為復(fù)數(shù)z＝(2m2－7m＋3)＋(m2－m－6)i是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－7m＋3＝0，,m2－m－6≠0))?m＝eq\f(1,2).(2)因為z對應(yīng)的點在復(fù)平面的第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－7m＋3>0,m2－m－6<0))?－2<m<eq\f(1,2).18．(12分)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2asinB＝eq\r(3)b，(1)求角A的大??；(2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面積．解：(1)由2asinB＝eq\r(3)b，利用正弦定理得：2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，∵sinB≠0，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，又A為銳角，則A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即64＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝100－3bc，∴bc＝12，又sinA＝eq\f(\r(3),2)，則S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(3).19．(12分)已知z為復(fù)數(shù)，z＋2i和eq\f(z,2－i)均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)由題意，設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)．因為z＋2i和eq\f(z,2－i)均為實數(shù)，可得z＋2i＝x＋(y＋2)i∈R，所以y＋2＝0，即y＝－2.eq\f(z,2－i)＝eq\f(x＋yi,2－i)＝eq\f(x＋yi2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2x－y＋x＋2yi,5)∈R，即x＋2y＝0，所以x＝4，所以復(fù)數(shù)z＝4－2i.(2)由(1)知復(fù)數(shù)z＝4－2i.因為復(fù)數(shù)(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i對應(yīng)的點在復(fù)平面位于第一象限，所以16－(a－2)2>0且8(a－2)>0，解得2<a<6.即實數(shù)a的取值范圍是(2,6)．20．(12分)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱BB1⊥底面ABC，BB1＝4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，點M，N分別為AB，BC上的動點，且AM＝BN.(1)求證：無論M在何處，總有B1C⊥C1M；(2)求三棱錐B-MNB1體積的最大值．解：(1)證明：要證明無論M在何處，總有B1C⊥C1M，只需證明B1C⊥平面AC1B即可，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩B1B＝B，∴AB⊥平面BCC1B，∴B1C⊥AB，由題知四邊形BCC1B1為正方形，∴B1C⊥BC1，又AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面AC1B，原命題得證．(2)由三棱錐B-MNB1的體積為：V三棱錐B-MNB1＝V三棱錐B1-BMN＝eq\f(1,3)×4×eq\f(1,2)BM·BN＝eq\f(2,3)BM·BN≤eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BM＋BN,2)))2＝eq\f(8,3)，當(dāng)BM＝BN＝2時取等號，所以三棱錐B-MNB1體積的最大值為eq\f(8,3).21．(12分)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意3b＝3acosC＋eq\r(3)asinC，(1)求A的大??；(2)若a＝eq\r(3)，求b2＋c2的取值范圍．解：(1)由題意，在銳角△ABC中，滿意3b＝3acosC＋eq\r(3)asinC，依據(jù)正弦定理，可得3sinB＝3sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC，解得tanA＝eq\r(3)，又因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理，可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，則b＝2sinB，c＝2sinC，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(2－cos2B－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝4－cos2B＋eq\r(3)sin2B＝2sineq