第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》

（第五版）教學(xué)課件

信息科學(xué)與工程學(xué)院·基礎(chǔ)電子教研室《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》第五版第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容提要本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學(xué)方法。首先介紹邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、常用公式和基本定理，然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。重點(diǎn)掌握卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。本章的內(nèi)容2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.1概述二值邏輯：只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系。邏輯運(yùn)算：二進(jìn)制數(shù)碼“0”和“1”表示不同的邏輯狀態(tài)，并按某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算。三種基本邏輯運(yùn)算：“與”、“或”、“非”數(shù)字電路是一種開(kāi)關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學(xué)工具----布爾代數(shù)來(lái)描述。數(shù)字電路的特點(diǎn)及描述工具在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒(méi)有意義，這里的0和1只表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開(kāi)關(guān)的開(kāi)合等。1、“與”邏輯A、B條件都具備時(shí)，事件Y才發(fā)生。YAB一、三種基本運(yùn)算-----與(AND)、或(OR)、非(NOT)ABY斷斷斷通通斷通通滅滅滅亮2.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算ABY斷斷斷通通斷通通滅滅滅亮邏輯代數(shù)的描述方法ABY真值表用0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)、1表示開(kāi)關(guān)閉合用0表示燈滅、1表示燈亮000010100111邏輯代數(shù)的描述方法邏輯式邏輯符號(hào)真值表ABY000010100111Y=A?B或AB0?0=00?1=01?0=01?1=1有0出0，全1出1。2、“或”邏輯A、B只有一個(gè)條件具備時(shí)，事件Y才發(fā)生。ABY斷斷斷通通斷通通滅亮亮亮AYB邏輯代數(shù)的描述方法邏輯式邏輯符號(hào)真值表ABY000011101111Y=A+B0+0=00+1=11+0=11+1=1有1出1，全0出0。3、“非”邏輯AYRAY0110邏輯式真值表A條件具備時(shí)，事件

Y不發(fā)生；A不具備時(shí)，事件Y才發(fā)生。注：上式也可寫成有1出0，有0出1二、幾種常用的邏輯運(yùn)算“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯運(yùn)算，任何其它的邏輯運(yùn)算都以它們?yōu)榛A(chǔ)表示。邏輯符號(hào)①與非邏輯（NAND）AB

Y與非：條件A、B都具備，則Y不發(fā)生。001101011110AB

Y②或非邏輯（NOR）001101011000條件A、B任一具備，則Y不發(fā)生。③與或非邏輯（AND-NOR）ABCDY00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101011110111011100000當(dāng)A，B不同時(shí)輸出Y為1；而A，B相同時(shí)輸出Y為0，即“相異為1，相同為0”。ABY001101010110④異或邏輯（EXCLUSIVEOR）ABY當(dāng)A，B相同時(shí)輸出Y為1；當(dāng)A，B不同時(shí)輸出Y為0，即“相異為0，相同為1”。001101011001⑤同或邏輯（EXCLUSIVENOR）與或非Y=A?BY=A+BY=AB?異或同或2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式見(jiàn)下表2.3.1邏輯代數(shù)的基本公式19200AB0011011AB摩根定理00011110110010101110可以用列真值表的方法證明：11100100

AB【例1】用列真值表的方法證明：0110100110010110110010101920此外，(A的個(gè)數(shù)為偶數(shù))(A的個(gè)數(shù)為奇數(shù))2.3.2邏輯代數(shù)的常用公式（1）A+AB=A證明：利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：被吸收A+A?B=A?(1+B)=A

?1=A在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若其中一項(xiàng)以另一項(xiàng)為因子，則該項(xiàng)是多余的，可以刪去。證明：被吸收兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果一項(xiàng)取反后是另一項(xiàng)的因子，則此因子是多余的，可以消去?！部衫没竟剑篈+BC=(A+B)(A+C)證明※變量A和包含A的和相乘時(shí)，其結(jié)果等于A，即可以將和消掉。當(dāng)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若它們分別包含B和兩個(gè)因子而其他因子相同，則兩項(xiàng)定能合并，且可將B和消去。證明：1吸收若兩個(gè)乘積中分別包含A和兩個(gè)因子，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)的其余因子組成第三個(gè)乘積項(xiàng)時(shí)，則第三個(gè)乘積項(xiàng)能消去。2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理

在任何一個(gè)包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式成立。例如，已知

(反演律)，若用B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即

2.4.2反演定理注意以下兩條規(guī)則：①需遵守“先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。②不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“?”換成“+”，“+”換成“?”，0換成1，1換成0,原變量換成反變量，反變量換成原變量,則得到結(jié)果就是反函數(shù)。【例】Y=(A+B)C【例】Y=A(B+C)+CD注意：加括號(hào)的目的是保證優(yōu)先級(jí)【例】2.4.3對(duì)偶定理對(duì)于任何一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中的“?”換成“+”，“+”換成“?”，0換成1，1換成0，則得到的一個(gè)新邏輯式Y(jié)D，這就是Y的對(duì)偶式?！纠繉?duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。小結(jié)基本要求：熟練掌握邏輯代數(shù)的一些常用公式，要求會(huì)靈活運(yùn)用；2.掌握真值表法證明函數(shù)式的方法；3.了解邏輯代數(shù)的3個(gè)定理，會(huì)用定理求反函數(shù)及對(duì)偶式。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1邏輯函數(shù)任何一件具體的因果關(guān)系都可以用一個(gè)邏輯函數(shù)來(lái)描述。

以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入、輸出間的關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。BACYY=F(A,B,C)例如，右圖是一個(gè)舉重裁判電路，若以1表示開(kāi)關(guān)閉合，0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)；以1表示燈亮，0表示燈暗，則指示燈Y是開(kāi)關(guān)A，B，C的二值邏輯函數(shù)，即2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法一、邏輯真值表ABCY00000101001110010111011100000111真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。優(yōu)缺點(diǎn)直觀明廖。輸入確定后，可從真值表直接查到對(duì)應(yīng)輸出，集成電路（IC）手冊(cè)常用它描述器件的邏輯功能。能方便得將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。不適用于變量較多的情況。請(qǐng)注意

n個(gè)變量可以有2n個(gè)組合，一般按二進(jìn)制數(shù)的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。BACY二、邏輯函數(shù)式把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。Y=A·（B+C）優(yōu)缺點(diǎn)書寫簡(jiǎn)潔、方便；便于用邏輯圖實(shí)現(xiàn)。不如真值表直觀。便于利用公式定理進(jìn)行運(yùn)算、變換；三、邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來(lái)?！纠縔=A·（B+C）更接近于工程實(shí)際，與實(shí)際使用的電路器件有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來(lái)畫成時(shí)間波形。四、波形圖ABCY邏輯函數(shù)的表示方法⑴邏輯真值表：將輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值找出來(lái)，列成表格。⑵邏輯函數(shù)式：把輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與，或，非等運(yùn)算的組合式。⑶邏輯圖：將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示出來(lái)。(4)波形圖:將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來(lái)畫成時(shí)間波形。五、各種表示方法間的互相轉(zhuǎn)換(1)真值表-----邏輯函數(shù)式一般分為下面三步：首先，找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的輸入變量取值組合；其次，每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫如反變量；最后，將這些乘積項(xiàng)相加，即得到Y(jié)的邏輯函數(shù)式。1、真值表與邏輯函數(shù)式互相轉(zhuǎn)換ABCY00000101001110010111011100100101【例】寫出下列真值表對(duì)應(yīng)的函數(shù)式。第一步，找出使輸出Y=1的各組合。第二步，各組合寫成乘積項(xiàng)形式。第三步，各乘積項(xiàng)相加。（2）邏輯式-----真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表。ABCY000001010011100101110111010001000100100100101111【例】已知邏輯函數(shù)求它對(duì)應(yīng)的真值表。（1）邏輯式-----邏輯圖用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào)?！纠恳阎壿嫼瘮?shù)為試畫出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。ABBC解：2.邏輯式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換（2）邏輯圖-----邏輯式從輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式。【例】寫出右圖的邏輯函數(shù)式。先寫出符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式子分析電路設(shè)計(jì)電路數(shù)字電路→邏輯圖→邏輯函數(shù)式→真值表→分析邏輯功能。實(shí)際問(wèn)題→真值表→邏輯函數(shù)式→邏輯圖→設(shè)計(jì)完成數(shù)字電路。小結(jié)基本要求：

1.掌握基本公式和常用公式

2.了解邏輯函數(shù)三種描述方法的特點(diǎn)，掌握他們之間的轉(zhuǎn)換方法作業(yè)【題2.1】（5）、（6）【題2.3】（a）【題2.7】（a）2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式一、最小項(xiàng)n個(gè)變量的最小項(xiàng)有多少個(gè)？在n個(gè)變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。例如：3變量A、B、C的最小項(xiàng)包括？思考：2n個(gè)。三變量（A、B、C）最小項(xiàng)的編號(hào)表：001111110011010101234567m2m3m4m5m6m700000011m0m1①在輸入變量的任何取值下有一個(gè)最小項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。②全體最小項(xiàng)和為1。③任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。④具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。①在輸入變量的任何取值下有一個(gè)最小項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。②全體最小項(xiàng)和為1。③任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。④具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。相鄰相鄰二、最大項(xiàng)n個(gè)變量的最大項(xiàng)有多少個(gè)？在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。例如：3變量A、B、C的最大項(xiàng)包括？思考：2n個(gè)。三變量（A、B、C）最大項(xiàng)的編號(hào)表：0000M0001111110011010101234567M2M3M4M5M6M70011M1相鄰①在輸入變量的任何取值下，必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且只有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。②全體最大項(xiàng)之積為0。③任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1。④只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系：

如果在一個(gè)與或表達(dá)式中，所有與項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則稱這種表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式、標(biāo)準(zhǔn)積之和式。三、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1.邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式——標(biāo)準(zhǔn)與或式例如：可以把任何一個(gè)邏利用基本公式輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式?！纠?】較常用【例2】2.邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式——標(biāo)準(zhǔn)或與式

如果已知邏輯函數(shù)Y=∑mi時(shí)，定能將Y化成編號(hào)i以外的那些最大項(xiàng)的乘積?！纠?】將化成最大項(xiàng)之積的形式。

【例2】將化成最大項(xiàng)之積形式【例3】將下面的邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和形式?！揪毩?xí)題】分析電路實(shí)現(xiàn)的邏輯功能。ABY【練習(xí)題】求最小項(xiàng)和最大項(xiàng)。小結(jié)基本要求：1.掌握最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的概念；2.掌握邏輯函數(shù)兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的求法。作業(yè)【題2.7】（a）【題2.10】（1）（3）【題2.11】（1）（3）2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換（1）與或式：（2）與非-與非式：取兩次反用摩根定理變換常用一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，而函數(shù)表達(dá)式卻有很多，常用的有與或、與非－與非、或非－或非、與或菲等，它們之間可相互轉(zhuǎn)換。

（3）與或非式：用摩根定理變換（4）或非-或非式：用摩根定理變換最簡(jiǎn)××式： 如最簡(jiǎn)與或式，指包含的乘積項(xiàng)最少，且每個(gè)乘積項(xiàng)里的因子也不能再少。

最簡(jiǎn)××式變換成其它形式的邏輯式時(shí)，結(jié)果不一定最簡(jiǎn)。公式法化簡(jiǎn)的原理是反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項(xiàng)和多余因子，來(lái)得到最簡(jiǎn)函數(shù)形式。2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.1公式化簡(jiǎn)法邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.并項(xiàng)法利用公式將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子?！纠?】【例2】2.吸收法

利用公式A+AB=A消去多余的乘積項(xiàng)。

【例3】【例4】利用公式消去多余的乘積項(xiàng)。3.消項(xiàng)法【例5】【例6】利用公式消去多余的因子。4.消因子法【例7】【例8】5.配項(xiàng)法【例9】利用公式和先配項(xiàng)或添加多余項(xiàng)，然后再逐步化簡(jiǎn)。【例10】反變量吸收提出AB=1提出A【例11】反演配項(xiàng)被吸收被吸收【例12】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 解法1： 解法2：

可見(jiàn)，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不一定唯一?！纠?3】公式法化簡(jiǎn)優(yōu)點(diǎn)是：不受變量數(shù)目的限制。缺點(diǎn)是：沒(méi)有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡(jiǎn)一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。【練習(xí)題】化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與或式。小結(jié)基本要求：1.掌握邏輯函數(shù)常用幾種最簡(jiǎn)形式的轉(zhuǎn)換；2.掌握公式法化簡(jiǎn)的技巧，會(huì)用公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。作業(yè)【題2.15】（3）（4）（5）（6）2.6.2卡諾圖化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.表示最小項(xiàng)的卡諾圖將n變量的全部最小項(xiàng)（2n）用小方塊表示，并且使邏輯相鄰的最小項(xiàng)幾何位置也相鄰，所得到的方格圖即為n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。0001111001ABC三變量ABC的卡諾圖：m1m0m2m3m4m5m6m7000111100001ABCDm1m0m2m3m4m5m6m7m13m12m14m15m8m9m10m111110四變量ABCD的卡諾圖：五變量ABCDE的卡諾圖：

②卡諾圖中任何幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)，在邏輯上都是相鄰的。①

n變量的卡諾圖有2n個(gè)方格，對(duì)應(yīng)表示2n個(gè)最小項(xiàng)。每當(dāng)變量數(shù)增加一個(gè)，卡諾圖的方格數(shù)就擴(kuò)大一倍。③5變量卡諾圖相鄰項(xiàng)不直觀，因此它只適于表示5變量以下的邏輯函數(shù)。所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著；二是相對(duì)，即任意一行或一列的兩頭。所謂邏輯相鄰，是指除了一個(gè)變量不同外其余變量都相同的兩個(gè)與項(xiàng)。注意！0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m7二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)最小項(xiàng)和的形式卡諾圖【例】0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m711110000用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，首先將函數(shù)式化成最小項(xiàng)和的形式；在函數(shù)式中包含的最小項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)的位置添1，其余位置添0。

只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說(shuō)，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項(xiàng)之積。0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m73、最大項(xiàng)的卡諾圖表示法注意:

在卡諾圖中最大項(xiàng)的編號(hào)與最小項(xiàng)編號(hào)是一致的，但對(duì)應(yīng)輸入變量的取值是相反的。M0M1M3M2M4M5M7M6……【例2】

0001111001ABC00011111二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，消去不同的因子。在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項(xiàng)均可以合并。

1、合并最小項(xiàng)的規(guī)則ABC0001111001ABC0001111001AB?兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰且組成矩形框，可以合并成一項(xiàng)，消去一個(gè)不同的因子。ABCD0001111000011110ABDADABCD0001111000011110不是矩形四個(gè)最小項(xiàng)相鄰且組成矩形框，可以合并成一項(xiàng)，消去兩個(gè)不同的因子。ABCD0001111000011110？思考：八個(gè)最小項(xiàng)相鄰且組成矩形框，情況怎樣？八個(gè)最小項(xiàng)相鄰且組成矩形框，可以合并成一項(xiàng)，消去三個(gè)不同的因子。2、卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟（1）將函數(shù)化成最小項(xiàng)和的形式（2）填卡諾圖；（3）合并最小項(xiàng)；（4）將各乘積項(xiàng)相加，即得到最簡(jiǎn)與或式。（1）圈成的矩形框越大越好；（3）每個(gè)矩形框至少包含一個(gè)新項(xiàng)；（4）必須圈完所有為1的最小項(xiàng)；（5）注意“相接”、“相對(duì)”都相鄰；（6）圈圈時(shí)先圈大圈，后圈小圈；（2）各最小項(xiàng)可以重復(fù)使用；（7）盡可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不唯一，結(jié)果可能也不唯一。10000011ABC0001111001【例3】第一步，將函數(shù)化成最小項(xiàng)和的形式。BCAB第二步，填卡諾圖第三步，合并最小項(xiàng)第四步，各乘積項(xiàng)相加00111111ABC0001111001【例4】化簡(jiǎn)10111101ABC0001111001【例4】化簡(jiǎn)ABC0001111001【例4】化簡(jiǎn)00111111【例5】化簡(jiǎn)Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A【例6】【例6】1111111111ABCD0001111000011110000000【例7】ABCD00