高中數(shù)學(xué)選修2-3課件2：3-1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

§3.1回歸分析的思想及其初步應(yīng)用（2）高中數(shù)學(xué)選修2-3·精品課件第三章統(tǒng)計(jì)案例復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e,其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.

3、

4.相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差.例2.一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目.（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325非線性回歸問題

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y.假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a,由計(jì)算得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73,相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464,當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93.所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化.050100150200250300350036912151821242730333639方案1：一元線性模型問題探究.

93>66?模型不好？問題1：選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a

？

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2：如何求a、b？方案2:二次函數(shù)模型問題探究問題3：函數(shù)y=bx2+a?y=bt+a方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化.t方案2解答

變換

y=bx+a

問題2：非線性關(guān)系線性關(guān)系問題1：如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫方案3:指數(shù)函數(shù)模型對數(shù)

變換

y=bx+a

問題2：非線性關(guān)系線性關(guān)系問題1：如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫方案3:指數(shù)函數(shù)模型對數(shù)方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325

計(jì)算得：z關(guān)于x的線性回歸方程為相關(guān)指數(shù)R2=0.98當(dāng)x=28oC

時(shí)，y≈44

，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化.xz計(jì)算得：z關(guān)于x的線性回歸方程為相關(guān)指數(shù)R2=0.98當(dāng)x=28oC

時(shí)，y≈44

，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化.xz

產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型最好的模型是哪個(gè)?模型比較函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98回歸分析則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：由計(jì)算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（2）回歸分析則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：由計(jì)算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（2）

例3.下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值．

解：(1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1、c2為待定的參數(shù)．

(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)當(dāng)x＝40時(shí)，y＝e0.272x－3.849≈1131.

鞏固練習(xí)天數(shù)x/天

1

2

34

56繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)

6

12

25

49

95190

（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）描述解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系；（3）計(jì)算殘差、相關(guān)指數(shù)R2.為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：解：（1）散點(diǎn)圖如圖所示

x123456Z1.792.483.223.894.555.25由計(jì)數(shù)器算得，則有（3）6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190即解釋變量天數(shù)對預(yù)報(bào)變量繁殖細(xì)菌得個(gè)數(shù)解釋了99.99%.解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)報(bào)變量為y；(2)畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；(3)變量置換：通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；(4)分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)等來判斷擬合效果；(5)寫出非線性回歸方程．課堂小結(jié)

x123456Z1.792.483.223.894.555.25由計(jì)數(shù)器算得，則有鞏固練習(xí)天數(shù)x/天

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56繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)

6

12

25

49

95190

（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）描述解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系；（3）計(jì)算殘差、相關(guān)指數(shù)R2.為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化.t方案2解答問題1：選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a

？

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2：如何求a、b？方案2:二次函數(shù)模型問題探究問題3：函數(shù)y=bx2+a?y=bt+a復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e,其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.

3、

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y.假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a,由計(jì)算得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73,相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464,當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93.所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化.050100150200250300350036912151821242730333639方案1：一元線性模型問題探究.

93>66?模型不好？作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化.t方案2解答問題1：選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a

？

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2：如何求a、b？方案2:二次函數(shù)模型問題探究問題3：函數(shù)y=bx2+a?y=bt+a例2.一