§10-3-單自由度體系的強迫振動(簡諧)解析

§10-1動力計算的特點和動力自由度§10-2單自由度體系的自由振動§10-3單自由度體系的強迫振動§10-4阻尼對振動的影響§10-5兩個自由度體系的自由振動§10-7兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動§10-11近似法求自振頻率第10章結構的動力計算▲結構的剛、柔度系數(shù)復習

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§10-3單自由度體系的強迫振動一、列振動微分方程mEIl/2l/2δEI1FP(t)I(t)1.剛度法2.柔度法動平衡方程：位移方程：即：即：（動荷載即干擾力F(t)）動荷載慣性力二、簡諧荷載mtFyyqwsin2=+&&1.振動方程2.微分方程通解（數(shù)學步驟略）

齊次通解

特解由初始條件：得得伴生自由振動部分，因阻尼，會很快消逝純受迫振動（瞬態(tài)）（穩(wěn)態(tài)）3.純受迫振動——

F

作為靜力引起的靜位移——放大系數(shù)若干擾力作用在質量運動方向上，則位移、動力放大系數(shù)相同。

（這里是位移放大）只有干擾力與質量運動方向共線，才有相同的位移、動力放大系數(shù)β●結構的最大動荷載動位移●結構的最大應力位移（自重引起）4.穩(wěn)態(tài)的重要特性——慣性力與干擾力兩者同步、同頻、同達幅值。證明：與干擾力相比較即證（1）θ<ω5.討論當(θ/ω)→0時,β→1(荷載變化很慢，可當作靜荷載處理)

當0

<(θ/ω)<

1時,β>1，（β隨θ的增大而增大）（2）θ→ω

振幅會無限增大。稱為“共振”。通常把0.75<(θ/ω)<1.25稱為共振區(qū)。（3）θ>ω（β隨θ的增大而減小，當θ很大時，荷載變化很快，結構來不及反應。）m1mPsinθt解：6.例題[例1]在懸臂梁上有一電動機，干擾力P

sinθt，P

=4.9kg，n=1200轉/分。I

=78cm4、E

=2.1×106kg/cm2。電動機質量123kg。求：振幅、最大彎矩。1）求放大系數(shù)（柔度法）統(tǒng)一量綱N.m

4）最大動彎矩2）動力荷載幅值所引起的靜位移3）振幅(最大動力位移)5）最大彎矩m1mPsinθt[例2]已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,P=20kN,

θ=80s-1,求梁中點的位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求yDmax

，

MDmax

（柔度法）[例3]求剛架的振幅、柱中剪力和彎矩幅值。

EIEIlmPsinθt16EI/l2解：（單位彎矩圖）（剛度法）振幅:剪力:彎矩:[例4]列出體系的振動方程，求點1的位移放大系數(shù)和點0的彎矩放大系數(shù)，并加以比較。mFsinθt解：（柔度法）1

2

1）求1

2

11

2

12）列振動方程整理得：其中：0

(注意:干擾力不作用于質點）慣性力動荷載3）求位移放大系數(shù)解振動方程得：位移放大系數(shù)：4）求彎矩放大系數(shù)加速度：靜力F作用于2點時：0點最大動彎矩：位移放大與內力放大系數(shù)不相同。[例5]一簡支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中點有電動機重量Q=35kN，轉速n=500r/min。由于具有偏心，轉動時產生離心力P=10kN,P

的豎向分量為Psinθt。忽略梁的質量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。（梁長l=4m）解：1）求自振頻率和荷載頻率

2）求動力系數(shù)β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.35對于本例，采用較小的截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經濟效益。325149.2ω與θ接近,動力系數(shù)大,需調整設計.必須