2.4-隨即變量的相互性與條件分布

16八月20241§2.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布

——將事件獨(dú)立性推廣到r.v.設(shè)r.v.(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為則稱r.v.X

和Y相互獨(dú)立

兩個(gè)r.v.的相互獨(dú)立性§3.3定義對(duì)一切i,j=1,2,如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積,即16八月20242例：設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布列為解:

為判斷X與Y是否相互獨(dú)立，只需看邊緣分布列是否等于聯(lián)合分布列的乘積.為此先求出邊緣分布列因?yàn)镻{X=0}·P{Y=1}≠P{X=0,Y=1},所以X與Y不獨(dú)立.16八月20243

例：已知隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且分布律為求α，β。

解：由于隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，可知即得16八月20244

例：已知隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且分布律為求α，β。類似地，即得續(xù)解。。。16八月20245設(shè)二維離散型r.v.(X,Y)的分布對(duì)任意一個(gè)固定的則稱為在X=xi

的條件下,Y的條件分布律二維離散r.v.的條件分布律

16八月20246則稱為在Y=yj

的條件下X的條件分布律類似乘法公式對(duì)任意一個(gè)固定的16八月20247例1

設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為XY1237/1819/7225/72試求（1）已知事件發(fā)生時(shí)X的條件概率函數(shù)；（2）已知事件發(fā)生時(shí)Y的條件概率函數(shù)；16八月20248解按條件概率函數(shù)的定義，得到（1）所求的X的條件概率函數(shù)為123（2）所求的Y的條件概率函數(shù)為12316八月20249例：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p,射擊到擊中目標(biāo)兩次為止.以X表示首次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，Y表示射擊的總次數(shù)，試求X,Y的聯(lián)合分布律與條件分布律.

解：由題意，Y=n表示前n-1次恰有一次擊中目標(biāo)，且第n次擊中目標(biāo).各次射擊是獨(dú)立的，因此對(duì)m<n,P(X=m,Y=n)=p2qn-2,q=1-p.n=2,3,…；m=1,2,…,n-1

P(X=m)=(m=1,2,…)==16八月202410

解：由題意，Y=n表示前n-1次恰有一次擊中目標(biāo)，且第n次擊中目標(biāo).各次射擊是獨(dú)立的，因此對(duì)m<n,P(X=m,Y=n)=p2qn-2,q=1-p.n=2,3,…；m=1,2,…,n-1

P(X=m)=(m=1,2,…)P(Y=n)=(n=2,3,…)P(X=m|Y=n)=,m=1,2,…,n-1;==16八月202411

解：由題意，Y=n表示前n-1次恰有一次擊中目標(biāo)，且第n次擊中目標(biāo).各次射擊是獨(dú)立的，因此對(duì)m<n,P(X=m,Y=n)=p2qn-2,q=1-p.n=2,3,…；m=1,2,…,n-1

P(X=m)=(m=1,2,…)P(Y=n)=