余弦定理、正弦定理的應用同步練習 高一下學期數(shù)學蘇教版（2019）必修第二冊

11.3余弦定理、正弦定理的應用——2023-2024學年高一數(shù)學蘇教版（2019）必修第二冊一、單選題1．蘇州雙塔又稱羅漢院雙塔，位于江蘇省蘇州市鳳凰街定慧寺巷的雙塔院內，二塔“外貌”幾乎完全一樣（高度相等，二塔根據位置稱為東塔和西塔）.某測繪小組為了測量蘇州雙塔的實際高度，選取了與塔底，（為東塔塔底，為西塔塔底）在同一水平面內的測量基點，并測得米.在點測得東塔頂?shù)难鼋菫?，在點測得西塔頂?shù)难鼋菫?，且，則蘇州雙塔的高度為（）A．30米 B．33米 C．36米 D．44米2．在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．3．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離分別為3km，5km，燈塔A在觀察站C的北偏東方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東方向上，則燈塔A與B的距離為（）A．6km B． C．7km D．4．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，則∠A為（）A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°5．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂在西偏北（即）的方向上，行駛后到達B處，測得此山頂在北偏東（即）的方向上，仰角，則此山的高度（）A． B． C． D．6．某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為（如圖所示），則旗桿的高度為（）A． B． C． D．7．東寺塔與西寺塔為昆明市城中古景，兩塔一西一東，已有1100多年歷史.東寺塔基座為正方形，塔身有13級.如圖，在A點測得塔底在北偏東的點D處，塔頂C的仰角為.在A的正東方向且距D點的B點測得塔底在北偏西，則塔的高度CD約為（）（參考數(shù)據：）A． B． C． D．8．若△ABC的邊角滿足，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形二、多選題9．如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：，則根據下列各組中的測量數(shù)據可計算出塔的高度的是（）A． B．C． D．10．內角對邊分別是，已知，則可以是（）A．45° B．60° C．120° D．135°11．已知中角，的對邊分別為，，則可作為“”的充要條件的是（）A． B．C． D．三、填空題12．一艘船自西向東勻速航行，上午9時到達一座燈塔的南偏西75°距燈塔32海里的M處，下午1時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這艘船的航行速度為海里/時．13．一艘海警船從港口A出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東方向直線航行，30分鐘到達B處，這時候接到從C處發(fā)出的一求救信號，已知C在B的北偏東，港口A的東偏南處，那么B，C兩點的距離是海里．14．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東方向，相距12公里的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10公里的速度沿南偏東方向前進，若偵察艇以每小時14公里的速度，沿北偏東方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內攔截住，則紅方偵察艇所需的時間為小時，角的正弦值為．四、解答題15．三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為、b、c，（1）求角B的大?。?）若角A為75o，b=2，求與c的值.16．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的大??；（2）若，求的周長的最大值．17．在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.18．在中，，.（1）若，求的值；（2）若的面積為，求c的值.19．位于某港口的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時，海輪位于港口北偏東且與該港口相距海里的處，并正以海里/時的速度沿正西方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛，經過小時與海輪相遇.（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度應為多少？（2）若經過小時小艇與海輪相遇，則小艇的航行速度應為多少？（3）假設小艇的最高航行速度只能達到海里/時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與海輪相遇，并求出其相遇時間.

答案1．【答案】B2．【答案】B【解析】在中，因為，由正弦定理，可得，因為，即，所以，所以，則.故答案為：B.

【點評】由正弦定理和題設條件求得，得到，進而求得，再結合兩角和的余弦公式，即可求解.3．【答案】C【解析】由題意作出示意圖如下：由題意可得，由余弦定理可知：，所以．故答案為：C.【點評】根據題意作出示意圖，然后利用余弦定理可求解的長度即為燈塔A與B的距離.4．【答案】C【解析】解：∵a＝2，b＝2，∠B＝45°，∴根據正弦定理得：sinA==，又a＞b，∴A＞B，∴45°＜A＜180°，則A為60°或120°．故答案為：C．【點評】先利用正弦定理求出sinA，再已知a＞b即可確定角A的大小.5．【答案】C【解析】易得.由正弦定理得.故.故答案為：C【點評】根據正弦定理先求得，再求出即可.6．【答案】B【解析】如圖，在△中，，，所以．根據正弦定理得，，，在Rt△中，．故答案為B.

【點評】結合題干的條件，找到三角形，由正弦定理求解.7．【答案】C【解析】解：如圖：已知，，，BD=50，

在中，

由正弦定理可得，

在中，

故答案為：C

【點評】利用正弦定理先求出，再利用正切函數(shù)的定義求出CD即可.8．【答案】D【解析】解答：利用正弦定理化為角的關系可得，所以，即，即，所以，結合角的范圍知或，即或，即或，可知△ABC為等腰或直角三角形.分析：利用正弦定理化為角的關系，把角化邊，由代入已知式子可得．9．【答案】A,C,D【解析】解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.A.在中，已知，可以解這個三角形得到，再利用、解直角得到的值；B.在中，已知無法解出此三角形，在中，已知無法解出此三角形，也無法通過其它三角形求出它的其它幾何元素，所以它不能計算出塔的高度；C.在中，已知，可以解得到，再利用、解直角得到的值；D.如圖，過點作，連接.由于，所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故答案為：ACD

【點評】解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.基于這一原則，結合選項中的條件，通過推理，正確選項是ACD。10．【答案】A,D【解析】解：由正弦定理，得

因為a<b，

所以A<B，且0°<B<180°，

所以B=45°或B=135°，

故選：AD

【點評】由正弦定理求得sinB，再結合大邊對大角即可求解.11．【答案】A,B【解析】解：在中，，

當時，根據正弦定理可知，

當時根據正弦定理可知，所以是的充要條件，

所以A選項正確，

根據余弦函數(shù)在上單調遞減，

當時，所以，所以，

當時，所以，所以，

所以是的充要條件，

所以B選項正確，

當時，所以，

取特殊值，，

所以，，

所以，所以C、D選項錯誤，

故答案為：AB.

【點評】首先根據題意，可知，結合正弦定理的性質和余弦函數(shù)的單調性，可知AB選項正確，再通過對，取特殊值法，驗證CD選項錯誤.12．【答案】【解析】設燈塔為,由題意可知,,,∴.由正弦定理,得,即,解得.∵船由M行駛到N的時間為4小時,∴船的速度為（海里/時）.故答案為：【點評】設燈塔為,根據所給信息構造,再分析邊角關系利用正弦定理求解即可.13．【答案】【解析】由已知可得，從而得，由正弦定理可得，故答案為.【點評】首先根據題意畫出基本圖像得出，從而得知，根據正弦定理得出BC的值。14．【答案】2；【解析】解：首先根據題意作圖，如下：根據題意可知，海里，，

設分鐘后攔截，

因為，

所以，

所以，

所以紅方偵察艇所需的2小時才能攔截，

所以海里，海里，

所以

故答案為：；.

【點評】首先根據題意作圖，再根據題目所給線段長度，結合余弦定理，求得紅方偵察艇所需最短攔截時間，再次利用余弦定理，求出的余弦值.15．【答案】（1）解：由正弦定理可知：整理為，由余弦定理可得，因為

故B=45°。（2）解：故【解析】【點評】（1）由正弦定理整理已知的代數(shù)式得到，再利用余弦定理即可得出結果。(2)首先求出C的大小，然后利用正弦定理求出a和c的值即可。16．【答案】（1）解：因為，所以，所以，所以，且，所以，所以；（2）解：因為，所以，所以，所以，所以，所以，取等號時，所以的周長的最大值為.【解析】【點評】(1)根據正弦定理，結合和角的正弦公式求解即可；

(2)根據余弦定理，結合基本不等式求解即可.17．【答案】（1）解：因為，由正弦定理可得，所以，故，.（2）解：由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.【解析】【點評】（1）利用正弦定理邊化角得到，計算可得結果；（2）由三角形面積公式結合余弦定理，即可求得，由三角形的面積公式可得結果.18．【答案】（1）解：在中，因為，即所以.（2）解：因為.所以，解得.又因為.所以,所以.【解析】【點評】（1）利用正弦定理即可解出；（2）根據面積公式計算b，再利用余弦定理解出c．19．【答案】（1）解：如圖所示，，，，時，即小艇往正北方向航行時航行的距離最小為海里，海輪航行的距離為海里，故航行時間為小時，所以小艇的航行速度海里/時；（2）解：如圖所示，設小艇與海輪在點處相遇，經過小時后海輪航行的里程為海里，即，則在中，由余弦定理得，所以小艇航行的里程海里，故小艇的航速海里/時；（3）解：如圖所示，因為，且小艇的最高航速為海里/時，，，故小艇與海輪不可能于，及之間的任意位置相遇，設在點相遇，，則，，，整理得，從而，所以，，故時，即，相遇時間最短，為小時，綜上當小艇的航行方向為北偏西，航速為海里/時，小艇能以最短時間小時和海輪相遇.【解析】【點評】（1）利用已知條件結合余弦函數(shù)的定義和速度等于路程除以時間的求解公式，進而得出小艇的航行速度。

（2）設小艇與海輪在點處相遇，經過小時后海輪航行的里程為海里，即，在中，由余