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文檔簡介
2024-2025學年福建省莆田市第一中學高三教學質量監(jiān)測(二)數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設集合,,則集合A. B. C. D.2.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.3.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個4.做拋擲一枚骰子的試驗,當出現(xiàn)1點或2點時,就說這次試驗成功,假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.15.關于函數(shù)有下述四個結論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④6.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為、、元).甲、乙租車費用為元的概率分別是、,甲、乙租車費用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()A. B. C. D.7.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.8.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.49.已知、分別是雙曲線的左、右焦點,過作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點、,過點作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù)滿足,設,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.設全集,集合,,則集合()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個算法流程圖,若輸出的實數(shù)的值為,則輸入的實數(shù)的值為______________.14.設是定義在上的函數(shù),且,對任意,若經(jīng)過點的一次函數(shù)與軸的交點為,且互不相等,則稱為關于函數(shù)的平均數(shù),記為.當_________時,為的幾何平均數(shù).(只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)15.已知,,,的夾角為30°,,則_________.16.已知二項式ax-1x6的展開式中的常數(shù)項為-160三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調性;(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點,,且,證明.18.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.19.(12分)自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來,武漢醫(yī)護人員和醫(yī)療、生活物資嚴重缺乏,全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時,湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件,包括醫(yī)用防護服2.6萬套N95口軍47.9萬個,醫(yī)用一次性口罩172.87萬個,護目鏡3.93萬個等.中某運輸隊接到給武漢運送物資的任務,該運輸隊有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運輸隊每天至少運送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù):A型卡車16次,B型卡車12次;每輛卡車每天往返的成本:A型卡車240元,B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛,運輸隊所花的成本最低?20.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.21.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當時,.22.(10分)在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求和的極坐標方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點,與交于另一點,若,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.2.C【解析】
根據(jù)題意,知當時,,由對稱軸的性質可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應用,考查計算能力.3.B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結果.【詳解】由題可知:,當時,當時,當時,當時,所以集合則所以的子集共有故選:B本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎題.4.C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.本題考查了二項分布求數(shù)學期望,意在考查學生的計算能力和應用能力.5.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析,由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調遞增函數(shù),所以②錯誤.當時,,且存在,使.所以當時,;由于為偶函數(shù),所以時,所以的最大值為,所以③錯誤.依題意,,當時,,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個零點.由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述,正確的結論序號為①④.故選:C本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調性、最值和零點,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.6.B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為.故選:B.本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎.7.D【解析】
先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離,再加上側面三角形的高,即可求解.【詳解】設四個支點所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質可得,又由到底面的距離即為側面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.本題主要考查了空間幾何體的結構特征,以及球的性質的綜合應用,著重考查了數(shù)形結合思想,以及推理與計算能力,屬于基礎題.8.C【解析】
根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.本題考查中位數(shù)的計算,屬基礎題.9.B【解析】
設點位于第二象限,可求得點的坐標,再由直線與直線垂直,轉化為兩直線斜率之積為可得出的值,進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限,由于軸,則點的橫坐標為,縱坐標為,即點,由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.本題考查雙曲線離心率的計算,解答的關鍵就是得出、、的等量關系,考查計算能力,屬于中等題.10.C【解析】
利用誘導公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.本題考查誘導公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意三角函數(shù)的符號.11.B【解析】
結合函數(shù)的對應性,利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結合函數(shù)的對應性是解決本題的關鍵,屬于基礎題.12.C【解析】∵集合,,∴點睛:本題是道易錯題,看清所問問題求并集而不是交集.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)程序框圖得到程序功能,結合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】解:程序的功能是計算,若輸出的實數(shù)的值為,則當時,由得,當時,由,此時無解.故答案為:.本題主要考查程序框圖的識別和判斷,理解程序功能是解決本題的關鍵,屬于基礎題.14.【解析】
由定義可知三點共線,即,通過整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.本題考查了兩點的斜率公式,考查了推理能力,考查了運算能力.本題關鍵是分析出三點共線.15.1【解析】
由求出,代入,進行數(shù)量積的運算即得.【詳解】,存在實數(shù),使得.不共線,.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎題.16.2【解析】
在二項展開式的通項公式中,令x的冪指數(shù)等于0,求出r的值,即可求得常數(shù)項,再根據(jù)常數(shù)項等于-160求得實數(shù)a的值.【詳解】∵二項式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常數(shù)項為-C63故答案為:2.本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)若,則在定義域內遞增;若,則在上單調遞增,在上單調遞減(2)證明見解析【解析】
(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉化為函數(shù)的最值問題來處理.【詳解】由已知,,若,則在定義域內遞增;若,則在上單調遞增,在上單調遞減.(2)由題意,對求導可得從而,是的兩個變號零點,因此下證:,即證令,即證:,對求導可得,,,因為故,所以在上單調遞減,而,從而所以在單調遞增,所以,即于是本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及證明不等式,考查學生邏輯推理能力、轉化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.18.(1)(2)32【解析】
利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個正數(shù)的基本不等式,構造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當且僅當,等號成立,即,,時,等號成立,∴的最大值為32.本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式的靈活運用;其中利用構造出和為定值即為定值是求解本題的關鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯點;屬于中檔題.19.每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運輸隊所花成本最低【解析】
設每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,由題意列出約束條件,作出可行域,求出使目標函數(shù)取最小值的整數(shù)解,即可得解.【詳解】設每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,運輸隊所花成本為元,由題意可知,,整理得,目標函數(shù),如圖所示,為不等式組表示的可行域,由圖可知,當直線經(jīng)過點時,最小,解方程組,解得,,然而,故點不是最優(yōu)解.因此在可行域的整點中,點使得取最小值,即,故每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運輸隊所花成本最低.本題考查了線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)整數(shù)解問題,考查了數(shù)形結合的思想,解題關鍵在于列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標函數(shù),同時注意整點的選取,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因為,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因為且,即,解得,因為,所以,所以,所以,所以本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關系的應用,考查運算能力.21.(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證
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