2022年江西省南昌市第八中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標(biāo)原點為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知，，，則()A． B． C． D．4．中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．5．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．6．已知實數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．87．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．8．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．409．等比數(shù)列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．11．定義域為R的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時，.若函數(shù)至少有三個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）14．若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后所得的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為________________.15．在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中．現(xiàn)從中隨機(jī)取出的種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是_____．16．直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．18．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設(shè)直線與平面相交于點，若，求的值．19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為平行四邊形，側(cè)面為正方形，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.20．（12分）記數(shù)列的前項和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求.21．（12分）已知．（1）若的解集為，求的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.2．B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因為，所以.因為所以.在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題3．B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.4．B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．5．D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.6．D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).8．D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=409．A【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得出．【詳解】設(shè)與的等比中項是．

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．

∴與的等比中項

故選A．【點睛】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎(chǔ)題．10．A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.11．B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時，，令，則的圖像和的圖像至少有個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個零點，則的圖像和的圖像至少有個交點，，若，的圖像和的圖像只有1個交點，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個交點，則有，即，.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.12．C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．14．【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對稱性，求得的最小值.【詳解】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，可得的圖象.根據(jù)圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，可得，，，即時，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

求解占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.【詳解】解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率．故答案為：．【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

根據(jù)切線的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進(jìn)而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【點睛】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進(jìn)行化簡求解等.屬于中檔題.18．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解；（3）設(shè),,則,求得,,即可求得點的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因為在棱上,可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時,取最大值.（3）設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，交與，連接，由，得出結(jié)論；（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可.【詳解】（1）連接，交與，連接，在中，，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，，為平面與平面的交線，故平面，故，又，所以平面，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，得，平面的法向量為，由，故二面角的大小為.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20．（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡后再裂項，然后求其前項和.【詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當(dāng)時，，又，②由①②可得：，即，時，.所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【點睛】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.21．（1）；（2）【解析】

（1）利用兩邊平方法解含有絕對值的不等式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值；（2）利用絕對值不等式求出的最小值，把不等式化為只含有的不等式，求出不等式解集即可．【詳解】（1）不等式，即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個實數(shù)根即，解得（2）因