新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié) 概率（含解析）

第十章概率知識(shí)點(diǎn)一：有限樣本空間與隨機(jī)事件1．隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．2.有限樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用ω表示，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，用Ω表示，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}為有限樣本空間．3.樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，稱Ω為必然事件，稱?為不可能事件．知識(shí)點(diǎn)二．事件的關(guān)系與運(yùn)算事件關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω知識(shí)點(diǎn)三．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任意事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1；P(?)＝0；性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)；性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．知識(shí)點(diǎn)四：古典概型1.基本事件：試驗(yàn)結(jié)果中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱為基本事件.基本事件的特點(diǎn)：(1)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.(2)因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果是有限個(gè)，所以基本事件也只有有限個(gè).(3)任意兩個(gè)基本事件都是互斥的，一次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，即產(chǎn)生一個(gè)基本事件.(4)基本事件是試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式來表示.2.古典概型的定義：(1)有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；我們把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.3.計(jì)算古典概型的概率的基本步驟為：(1)計(jì)算所求事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(2)計(jì)算基本事件的總數(shù)n；(3)應(yīng)用公式SKIPIF1<0計(jì)算概率.4.古典概型的概率公式：P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．要點(diǎn)四：隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生知識(shí)點(diǎn)五.隨機(jī)數(shù)的概念隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.它可以幫助我們模擬隨機(jī)試驗(yàn)，特別是一些成本高、時(shí)間長(zhǎng)的試驗(yàn)，用隨機(jī)模擬的方法可以起到降低成本，縮短時(shí)間的作用.2.隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法：一般用試驗(yàn)的方法，如把數(shù)字標(biāo)在小球上，攪拌均勻，用統(tǒng)計(jì)中的抽簽法等抽樣方法，可以產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù).在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中可以應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生某個(gè)范圍的偽隨機(jī)數(shù)，當(dāng)作隨機(jī)數(shù)來應(yīng)用.3.隨機(jī)模擬法(蒙特卡羅法)：用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法，具體步驟如下：(1)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；(2)統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；(3)計(jì)算頻率SKIPIF1<0作為所求概率的近似值.類型一隨機(jī)事件的概率例1．某射手在相同條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下：(1)問該射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少?(2)假設(shè)該射手射擊了300次，估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是多少?【思路點(diǎn)撥】弄清頻率和概率的含義及它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【解析】(1)由表可知概率約為0.9；(2)估計(jì)擊中靶心的次數(shù)為300×0.9＝270(次)．【總結(jié)升華】本題中利用概率知識(shí)估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是一種非?？茖W(xué)的決策方法．類型二互斥事件與對(duì)立事件例2.某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4m的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量SKIPIF1<0(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)SKIPIF1<0之間的關(guān)系如下表所示:SKIPIF1<01234SKIPIF1<051484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1m．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量:SKIPIF1<051484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．分析:根據(jù)題意找出產(chǎn)量SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的“相近”作物株數(shù)的頻數(shù)，并利用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算平均年收獲量；至少為48kg的概率是指SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種概率的和，利用互斥事件的概率公式求解．解:(1)所種作物的總株數(shù)為SKIPIF1<0．其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，．‘相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下:SKIPIF1<051484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為SKIPIF1<0(2)由(1)，知SKIPIF1<0．故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為SKIPIF1<0解后反思:求至少為48kg的概率時(shí)，可利用互斤事件的概率公式求解，也可先求出年收獲量少于48kg的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解．例3黃種人群中各種血型的人所占的比例如下:血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若小明因病需要輸血，問:(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少?解:(1)記“血型為A型、B型、AB型、O型”分別為事件SKIPIF1<0．由已知，得SKIPIF1<0．因?yàn)锽型、O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”為事件SKIPIF1<0．根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有SKIPIF1<0．故任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是SKIPIF1<0．(2)方法1:由于A型、AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件SKIPIF1<0．根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有SKIPIF1<0．故任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是SKIPIF1<0．方法2:由(1)，知不能輸血給B型血的人的概率為SKIPIF1<0．故任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是SKIPIF1<0．解后反思:帶有“不”“不大于”“至少”等字眼的問題通?？梢杂脤?duì)立事件的概率公式計(jì)算概率．類型三古典概型及其應(yīng)用例4甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為______解析:甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，白)，(白，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，紅)，共9種．因?yàn)橥挠?紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種，所以所求概率SKIPIF1<0答案:SKIPIF1<0解后反思:列舉時(shí)要按照一定的順序，做到不重不漏．例5海關(guān)對(duì)同時(shí)從SKIPIF1<0三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè)．地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自SKIPIF1<0各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解:(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是SKIPIF1<0所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2．(2)設(shè)6件來自SKIPIF1<0三個(gè)地區(qū)的樣品分別為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．則從這6件樣品中抽取的2件商品構(gòu)成的所有基本事件為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0共15個(gè)．每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有:SKIPIF1<0，共4個(gè)，所以SKIPIF1<0即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為SKIPIF1<0．解后反思:在SKIPIF1<0中，關(guān)鍵是確定SKIPIF1<0的值，現(xiàn)階段主要是通過列舉法來解決，這種方法常采用兩種途徑，一是將事件的所有情況一一列舉出來；二是利用“樹狀圖”或“圖表”將所有情況一一標(biāo)出．例6甲、乙、丙3個(gè)盒中分別裝有大小相等、形狀相同的卡片若干張．甲盒中裝有2張卡片，分別寫有字母SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；乙盒中裝有3張卡片，分別寫有字母SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；丙盒中裝有2張卡片，分別寫有字母SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．現(xiàn)要從3個(gè)盒中各隨機(jī)取出1張卡片，求:(1)取出的3張卡片中恰好有1張、2張、3張寫有元音字母的概率各是多少?(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率．解:根據(jù)題意可以畫出如圖所示的樹狀圖．由樹狀圖可以得到，所有可能出現(xiàn)的基本事件有12個(gè)，它們出現(xiàn)的可能性相等．(1)只有1個(gè)元音字母的結(jié)果有5個(gè)，所以SKIPIF1<0；有2個(gè)元音字母的結(jié)果有4個(gè)，所以SKIPIF1<0；有3個(gè)元音字母的結(jié)果有1個(gè)，所以SKIPI