新人教A版必修二 平面向量的應(yīng)用教案

平面向量的應(yīng)用

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

平面向量的應(yīng)用B1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平少考

面幾何問(wèn)題。

2.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)

題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.

知識(shí)提要

平面向量的應(yīng)用

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科

中具有廣泛的應(yīng)用.

精選例題

平面向量的應(yīng)用

1.如圖所示，繩子的點(diǎn)。處拴著一個(gè)重物，保持繩。4與豎直方向的夾角不變，改變繩。8與水平

的夾角。，并保持物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，則繩子0B所受的拉力變化情況可用函數(shù)0=八。）來(lái)描

述，則函數(shù)/'（。）的最小值為.

【答案】=G-sincp

【分析】因?yàn)橹亓?、繩子。4的拉力方向不變，其中重力大小也不變，所以三個(gè)力形成的受

力三角形如圖所示，

顯然，繩子。B所受的拉力岫隨著繩子0B與水平的夾角。的增大先減小后增大.

當(dāng)且僅當(dāng)。8與繩子。4垂直時(shí)，即。=9時(shí)拉力TB最小，最小值為/'(<?)=G-sin<jo.

2。平面上有兩個(gè)向量瓦=(1,0)瓦=(0,1),今有動(dòng)點(diǎn)P從京-1,2)開(kāi)始沿著與向量江+區(qū)相同

的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為I部+/I.另一點(diǎn)Q從4(-2,-1)出發(fā)，沿著與向量3可+

2歲相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為I3可*+2行］.設(shè)P,Q在t=0秒時(shí)分別在Po，Qo處,

則當(dāng)PQ1PoQo時(shí)，t=.

【答案】2

【分析】因?yàn)椤?(-1,2)，Qo(-2,-1),

所以PoQo=(—1,-3).

又因?yàn)榭?孩=(1,1),

所以I%+其|=/.

因?yàn)?瓦+2/=(3,2),

所以I3q+2五|=舊.

所以芝時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)P的位置為(-l+t,2+t),點(diǎn)Q的位置為(-2+3t,—l+2t).

所以PQ=(—1+2t,—3+t).

因?yàn)镻Q1P0Q0,

所以(一1)?(-1+2t)+(-3)-(-3+t)=0.

所以t=2.

3.在梯形48CD中，荏=2反瓦|=6,P為梯形4BCD所在平面上一點(diǎn)，且滿足Q+而+

4DP=0,DA-CB=\DA\\DP|,Q為邊4D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|PQI的最小值為.

【答案】學(xué)

【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)“，由而+而+49=6得麗=29，P為線段DM上靠近點(diǎn)

。的三等分點(diǎn)，由題意知，DA-CB=DA-DM=\DA\-\DM\cosZ.ADM=\DA\\DP\,所以

cos乙4DM=i,則sin4WM=竽,所以IPQI的最小值為2sinNADM=竽

4.已知向量江表示響東航行3千米”工表示“向南航行3千米”，則2+方表示.

【答案】向東南航行3近千米

5。若］=（2,1）是直線1的一個(gè)方向向量，則I的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值

表示）.

【答案】arctan|

6.自50m高處以水平速度10m/s平拋出一物體，不考慮空氣阻力，則該物體2s時(shí)的速度的大

小為，與豎直向下的方向成角為仇則tan。=（重力加速度g=10m/s?）.

【答案】10遍m/s；1

7。在水流速度為4千米/小時(shí)的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8千米/小時(shí)的速度航行,

則船實(shí)際航行的速度的大小為.

【答案】4遙km/h

【分析】如圖用火表示水流速度,％表示與水流垂直的方向的速度，則%+%表示船實(shí)際航

行速度，______

因?yàn)?%1=4,|%|=8,所以解直角三角形1%）+Vil=V42+82=4V5.

8.把函數(shù)y=lg(2x)的圖象按向量益平移，得到函數(shù)y=lg(x-l)的圖象，則,=.

【答案】(l,-lg2)

9。直線的方向向量和法向量

(1)直線y=kx+b的方向向量為,法向量為.

(2)直線4x+By+C=0的方向向量為,法向量為.

【答案】⑴(1的,(fc,-l)；(2)(8,-4),(4B)

10o某人用繩拉車沿宜線方向前進(jìn)100m,若繩與行進(jìn)方向的夾角為30。，人的拉力為20N,則

人對(duì)車所做的功為J.

【答案】1000V3

【分析】IV=100X20Xcos30°=1000>/3(J).

Il0一個(gè)30。的斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動(dòng),應(yīng)沿斜面方向

給球N的力；若表示球的重力的向量為心球?qū)π泵娴膲毫椴?，則球的重力沿斜面方

向的分力，=，保持球在斜面上靜止不動(dòng)的推力尸=.

【答案】4.9;p-a)；co-p

12o某重量為P的物體用繩子縛著，某人手拉著繩子在水平面上勻速行走，若物體與地面間的

滑動(dòng)摩擦系數(shù)那么繩子與地面成角時(shí)，拉力最小.

f

【答案】300

13o夾角為120。的兩個(gè)力7和三作用于同一點(diǎn)，且周=同=m(jn>0),則方和不的合力『的

大小為，f與7的夾角為.

【答案】m;60°

14o已知一物體在共點(diǎn)力瓦=(2,2),瓦=(3,1)的作用下產(chǎn)生位移6=&|),則共點(diǎn)力對(duì)物體

所做的功為.

【答案】7

【分析】對(duì)于合力戶=(5,3),其所做的功為W=F.§=l+l=7.

15.如圖，在直角梯形4BCD中,4B_L40,4。=DC=1,AB=3,動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊

界)，設(shè)族=戊而+夕而(a,/?6R),則a+。的取值范圍是.

【答案】［1曰

【分析】

解法1如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)8(3,0),0(0,1).設(shè)點(diǎn)P(x,y),則加=。而+0前=

(3a/)=(x,y),所以產(chǎn)：滬則a+"：+y.又4BCD(含邊界)所表示的區(qū)域是

y<L

X+3y-3>0,由線性規(guī)劃知識(shí)可得14a+0=g+y4，在線段BD上取得最小值，在點(diǎn)C處

.X+2y—340,

取得最大值.

解法2建立如圖所示直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)P做EFIIAB,分別交BD,BC于點(diǎn)E,F.

當(dāng)點(diǎn)P在EF上向右滑動(dòng)時(shí)，夕不變，a變大,故a+0的最小值只能在邊界BD取到，最大值只能

在邊界BC取到.

設(shè)喬=1BC(O<A<1).

因?yàn)锽(3,0),C(l,l),4(0,0),￡?(0,1).所以冠=(一2,1).

故前=而一祠=4前=A(-2,l).

所以方=A(-2,l)+(3,0)=(3-2A.A).

又而=aAB+0而，故(3-24")=a(3,0)+又0,1).

所以3a=3—24,P—A.

所以a+夕=廿+4=1+-G[1+-,1+1].

L33L33J

即a+6€[1.1]

16.已知作用在A點(diǎn)的三個(gè)力方=(3,4),￡=(2,-5),1=(3,1)且4(1,1),則合力，=萬(wàn)+方+

萬(wàn)的終點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(9,1)

【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得.

17o如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠

岸過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是(寫出正確的所有序號(hào)).

①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變??；③船的浮力不斷變小；④船的浮力保持不

【答案】①?

【分析】設(shè)水的阻力為,，繩的拉力為員區(qū)與水平方向夾角為o(o<o<2).

則問(wèn)cosO=|1|,所以問(wèn)=3.因?yàn)椤Ｔ龃?，cos。減小,所以間增大.因?yàn)橥瑂in町曾大，所以

船的浮力減小.

18o過(guò)P(l,2),以元=(3,4)為法向量的點(diǎn)法向式直線方程為.

【答案】3(x-1)+4(y-2)=0

19.將圓。/+丫2+2*-43/=0按向量d=(1,—2)平移后，得到圓(7,則圓。的半徑

為,其圓心坐標(biāo)為.

【答案】V5；(0,0)

20o在靜水中劃船的速度是每分鐘40m,水流的速度是每分鐘20m,如果船從岸邊出發(fā)，徑直

沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船行進(jìn)的方向應(yīng)該指向何處.

【答案】船航行的方向是與河岸垂直方向成30。夾角,指向河的上游

【分析】如圖.

D

21.在水流速度為10km/h的河中，如果要使船以10百km/h的速度與河岸成直角地橫渡，求

船行駛速度的大小與方向.

【解】_m,雪示我方曳，而表示垂直于對(duì)里里渡的方向，而表示船行駛速度的方

向，由麗=擊+65,及次=荏且4。8。=90。.知|方|=20,乙4OC=120。，即船行駛速

度為20km/h,方向與水流方向成120。角.

22o今有一小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游1=80m處河流有一瀑布，若

河水流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s,如圖，為了使小船能安全渡

河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？

P

【解】如圖，由題設(shè)可知,船的實(shí)際速度劃+〃水，其方向?yàn)榕R界方向討.

則最小劃速IU劃1=1。水I-sin。，

.八d603

所以e=37。.

所以最小劃速應(yīng)為I。劃1=5xsin。=5x|=3m/s,與水速成37。.

23.如下圖所示，己知在矩形4BCD中，|AD1=473,設(shè)而=之近=九BD=c,試求I&+

b+c|的大小.

【解】曰+3+d=同+配+麗=前+前,延長(zhǎng)8￡^定,使溪=灰,連接。￡,由于在=

近=而，所以四邊形ZBCD是平行四邊形，所以前=麗，所以而+而=說(shuō)+麗=掘,即

\a+b+c\=\BE\=2\BC\=2\AD\=8代.

24.設(shè)P,Q分別是梯形48CD的對(duì)角線4c與BD的中點(diǎn),

(1)試用向量證明：PQIIAB,

【解】證明：設(shè)沆=4近(4>0),

因?yàn)椋?/p>

PQ=AQ-AP=AB+~BQ-AP=AB+^(BD-AC)

=AB+^[{AD-AB)-(AD-DC)]

=AB+^(CD-AB)

=1(CD+AB)

=1(-A+1)^

所以所II而，又P,Q,A,B四邊不共線，

所以PQ\\AB.

(2)若4B=3C。，求PQ:4B的值.

【解】因?yàn)?B=3CD,所以；I=：,又因?yàn)樗?"一4+1）前，

所以所=］四，所以PQ：4B=1:3.

25.用同樣長(zhǎng)的兩根繩子掛一個(gè)物體（如圖），如果繩子的最大拉力為人物體受到的重力為

G.分析繩子受到的拉力瓦的大小與兩繩之間的夾角9的關(guān)系.

【解】由題意得耳+號(hào)+G=0,則不=一（瓦+瓦），

所以滔=（K+^）2-

IG|2=|豆口+|豆—2?豆|.|.|cosd=2|瓦『+2|瓦『cos3,

所以I屬1=@j2(l+cos。)

2(l+cos0)

26.在加速行駛的火車上固定一斜面，斜面傾角是。（如圖）.有一物體置于斜面上，如果火車

加速度小于某一值的,物體就會(huì)下滑，設(shè)物體和斜面間的摩擦系數(shù)是〃，試推導(dǎo)a0的表達(dá)式.

【解】如圖，以過(guò)物體重心與斜面平行的直線為X軸,與斜面垂直的直線為y軸建立直角坐

標(biāo)系，

設(shè)物體的質(zhì)量為血，則

W—mg!?cos—6)+ysin—6)]=mg(—tsind—/cos?),

N=Njff=N島

F—ma0[?cos(—0)4-7sin(—0)]=maQ(i-cos6-J-sin。),

%-IV+A/+/+F=0,

???t(-mgsin。+N〃+maocos0')+j(—mgcosd+N—maosin^)=0,即

mgsinJ+N〃+maQcos0=0,........①

-mgcosO+N—maosind=0........(2)

從①②中消去N得mg(-sin。+〃cos。)4-mao(cos0+/zsin。)=0,

sinO-^cosf)

cos0+gsin0§

27。在水流速度為4gkm/h的河中，如果要船以12km/h的實(shí)際航速與河岸垂直行駛，求船航

行速度的大小和方向.

【解】如圖，設(shè)荏表示水流速度,則前表示船航行的實(shí)際速度，作4。=BC,AD||BC,則

而即表示船航行的速度.

因?yàn)閨同|=4百，|前|=12,4cAB=90。,

所以tanNACB=—=—,

123

即乙4cB=30。，/.CAD=30".

所以畫=8百，2LBAD=120".

即船航行的速度大小為8百km/h,方向與水流方向所成角為120。.

28。已知：0為原點(diǎn),4(a,0),B(0,a),a為正數(shù)，點(diǎn)P在線段4B上，且麗=t^(04t(1)，則

耐?加的最大值是多少？

【解】設(shè)P(x,y),則萬(wàn)=(x-a,y),方=(一a,a),由於=t而可得｛；""解得

ex=a-at,

ty=at.

所以O(shè)P=(a—a￡,at),又04=(a,0),

所以市?OP=a2—a2t,

因?yàn)镼>0,可得一a?<0,又04t41,

所以當(dāng)t=0時(shí)，6??赤=a2-a2t有最大值a2.

29.已知兩恒力耳=(3,4),月=(6,—5),作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)4(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)8(7,0).

(1)求可再分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；

【解】AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),

名=耳?亞=(3,4)?(-13,-15)=3x(-13)+4X(-15)=-99J,

W2=F^-AB=(6,-5)-(-13,-15)=6x(-13)+(-5)x(-15)=-3J.

所以力耳，,對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為-99J和-3J.

(2)求耳，弓的合力內(nèi)寸質(zhì)點(diǎn)所做的功.

W=片.存=(耳+瓦).荏

=[(3,4)+(6,-5)]-(-13,-15)

【解】=(9,-1)?(-13,-15)

=9x(-13)+(-1)x(-15)

=-117+15=-102J.

所以合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為-102J.

3()o已知力P與水平方向的夾角為30。(斜向上)，大小為50N,一個(gè)質(zhì)量為8kg的木塊受力片的

作用在動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20m?問(wèn)力戶和摩擦力，所做的功分別為多

少?(9=10m/s2)

【解】如圖所示，設(shè)木塊的位移為6,則*?#=]即|cos3(r=50x20x曰=500V5j.

將力區(qū)分解，它在豎直方向上的力耳的大小為|同=|F|sin300=50x|=25N.

所以摩擦力廣的大小為歷=|/z(G一瓦)|=(80-25)X0.02=1.1N.

因此，f-s=|/||s|cosl80°=1.1x20x(-1)=-22J.

31.雨滴在空中以4m/s的速度豎直下落，人打著傘以3m/s的速度向東急行，如果希望讓雨滴

垂直打向傘的截面而少淋雨，傘柄應(yīng)指向什么方向？

【解】因人的行走，雨對(duì)人有向西3m/s的速度正，雨實(shí)際又有豎直向下4m/s的速度0,

雨同時(shí)參與這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，雨對(duì)人的合速度Iv1=扁2+?弓/=5(m/s).

tana=粵=三，所以a々37°.

可見(jiàn)，傘柄應(yīng)向前傾斜,與豎直方向成37。角.

32.已知一個(gè)與水平方向夾角為30。的力武后的大小為50N,拉著一個(gè)重80N的木塊在摩擦系數(shù)

〃=0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20m,求戶與摩擦力,做功分別為多少.

【解】設(shè)木塊位移為祗則力P所做的功為

斤?6=50x20xcos300=500V3(J),

產(chǎn)在鉛直方向的分解力大小為50xsin30。=25(N),故，的大小為

(80-25)x0.02=l.l(N),

所以了所做的功是廣=1.1x20xcosl800=一22(J).

33。求寵=(1-s)(4,0)+s(0,2),y=(1-t)(3,2)+eR)這兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).

【解】設(shè)d的坐標(biāo)為交點(diǎn)坐標(biāo)，則五=(1-s)(4,0)+s(0,2)=(1-t)-(3,2)+t-(0,-l),

化簡(jiǎn)得

a=(4-4s,2s)=(3-3t,2-3t),

所以4-4s=3-3t且2s=2-3t.解得s=$t=%所以益=(2,1).

34o如圖所示,兩根繩子把重1kg的物體“吊在水平桿子4B上=150-/BCW=120°,

求4和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì)，g=10N/kg).

【解】設(shè)48所受的力分別為方，7，

10N的重力用，表示，則方+石=，，以重力的作用點(diǎn)C為五，通尸的始點(diǎn)，作如圖,

使方=方，CF=72'CG=f>則"CG=180°—150°=30°,zFCG=180°-120°=60°.

所以同=|CG|-cos300=10xy=58，|CF|=|CG|-cos600=10x|=5.

所以在4處受力為N,在B處受力為5N.

35.如圖，ABC。是正方形,BEIIAC,AC=CE,EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F.求證:4F=

AE.

【解】以正方形ABC。的CD所在直線為x軸，以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊

長(zhǎng)為1,則4(一1,1),5(0,1).

若E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則成=(x,y-l),4C=(1,-1).

因?yàn)楹蜪I前，所以“(一1)一l-(y—1)=0.……①

又因?yàn)閨國(guó)=|河，所以/+y2=2.……②

解①②得E點(diǎn)的坐標(biāo)為(：'3,12'B-

如果F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x',1),由存=(x',1)和方=(萼，等)共線得

詈X，_手=0,解得于=_（2+8）.

即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（一2,1）.

因?yàn)?=（一1-遮,0）,荏=（字，孝）

國(guó)二j（等+后

所以I萬(wàn)I=1+8=I族I，即力F=4E.

36o設(shè)炮彈被以初速度/和仰角a拋出（空氣阻力忽略不計(jì)）.當(dāng)初速度%的大小一定時(shí)，發(fā)

射角a多大時(shí)，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn)？

【解】將刀分解為水平方向和豎直方向兩個(gè)分速度可和正，則I西I=|詬|cosa,|石|=

I/Isina,由物理學(xué)知識(shí)可知，

炮彈在水平方向飛行的距離s=|司?t=|詬Icosa-t（t是飛行時(shí)間）……①

炮彈在垂直方向的位移是0=IvJI-t-：gt2（g是重力加速度）……②

由②得t=亞詈，……③

代入①得S—2同“sinacosa_詬.sin2a

由于I/I一定，所d當(dāng)a=45。1）/,s有最大值.

故發(fā)射角a=45。時(shí)，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn).

37.如圖所示，已知平面上三點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（一2,1）￡（-1,3）,C（3,4）,求點(diǎn)。的坐標(biāo)，使得這

四個(gè)點(diǎn)為構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).

【解LG）””為對(duì)角線作平行四邊形48C%,設(shè)頂點(diǎn)5的坐標(biāo)為

AB-（1,2）,=（3—X],4-y。

由荏=呢，得（1,2）=（3-尢1，4—%），

（1=3-x1（

"U=4一％,

.11=2,

"lYi=2.

???頂點(diǎn)。1的坐標(biāo)為（2,2）.

（吆以BC為對(duì)角線作平行四邊形力。。2以設(shè)頂點(diǎn)。2（到/2）?

???AC=（5,3）,

BD?=（X2+1,丫2-3）,

由前=麗,得（5,3）=（x2+l,y2-3）,

.,5=%2+1，.產(chǎn)2=4,

(3=y2-3,'?(為-6?

頂點(diǎn)。2的坐標(biāo)為(4,6).

(iii)以為對(duì)角線作平行四邊形Q4CB,設(shè)頂點(diǎn)。3(必，%)，由前=型，可解得。3(-6,0).

綜上所述，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)或(4,6)或(一6,0).

38.如圖所示，在細(xì)繩。處用水平力用緩慢拉起所受重力為3的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為

e,繩子所受到的拉力為瓦.

⑴求同，同隨角。的變化而變化的情況;

由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得-6=及+可,|%=瞿，同=同tan。,

當(dāng)。從0°趨向于90。時(shí)，同，間都逐漸增大.

(2)當(dāng)|國(guó)42|磯時(shí)，求角0的取值范圍.

【解】由同=忌，同42|認(rèn)得cos。

又因?yàn)?°<0<90°,所以0。4。460。.

39.證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.

【解】如圖，設(shè)定=不，而=窗點(diǎn)D,E分別為BC/C的中點(diǎn)，則而=n+而=3+

汐EB=EC+CB=^+a.

A

■.A,G,。共線,B,G,E共線，

.,.可設(shè)南=AAD,EG=〃由，則E=AAD=+^a)=Xb+^Xa^EG=〃麗=

〃(討+&)=泗+面.

■■AE+EG=AG,即轉(zhuǎn)+@4+同=方+/窗

???(〃-翔日+G4-%+3另=0-

va,不不平行，

〃一;=0,A=-,_,_

,,=；'=E=-AD,B[JJG=2GD.命題得證.

一從一AH—=013

12d2

40o敘述并證明余弦定理.

【解】敘述：

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積

的兩倍.或：在△ABC中，a,b,c為A,B,C的對(duì)邊，有

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=c2+a2—2cacosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

證法一：

如圖，

BC

a2=\BC\Z=(AC-ABy(AC-AB)

=AC2-2前?宿+荏2

=AC2-2\AC\?\AB\cosA+AB2

=b2-2bccosA+c2,

即

a2=b2+c2—2bccosA.

同理可證

b2=c24-a2—2cacosB,

c2=a2+b2—2abcosC.

證法二：

已知△ABC中B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,以力為原點(diǎn)/B所在直線為工軸建立直角坐標(biāo)系,

則C(bcos4bsinA),B(c,0),所以

a2=|BC|2=(<bcosA—c)2+(力sin/)?

=b2cos2A—2bccosA+c?+b2sin2A

=b2+c2-IbccosA,

即

Q2=62+。2-2bccosA.

同理可證

b2=c24-a2-2cacosB,

c2=a24-b2-2abcosC.

課后練習(xí)

lo-一艘船從4點(diǎn)出發(fā)以2V5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h,

則船實(shí)際航行的速度的大小和方向是.

2.在長(zhǎng)江南岸渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地

渡過(guò)長(zhǎng)江，則航向?yàn)?

3。把函數(shù)y=/+4x+7的圖像按向量蒼經(jīng)過(guò)一次平移以后得到y(tǒng)=/的圖像，則平移向量巨

是（用坐標(biāo)表示）.

4。用兩條成120。角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示，已知燈具的重力為10N,則每根

繩子的拉力大小是.

5.三個(gè)力F2,F3的大小相等，且它們的合力為0,則力尸2與尸3的夾角為.

6.一個(gè)重20N的物體從傾斜角30。，斜面長(zhǎng)1m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做的功

是.

7.函數(shù)y=2cos(2x-=)-1的圖象是由函數(shù)y=g(x)的圖象按G=仁,1)平移得到的，則g(x)

的解析式為.

8。已知點(diǎn)G是△ABC的重心，WJG1+GB+GC=.

9。在四邊形4BCD中，AB=DC=(1,1),贏+翁=四贏，則四邊形ABCD的面積

是.

10。如圖，在直角梯形A8CD中，ABIICD,AB1BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P為

線段AD(含端點(diǎn))上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)萬(wàn)=x而，麗?玩=y，對(duì)于函數(shù)y=/Q),給出以下三個(gè)

結(jié)論：

①當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)八%)的值域?yàn)椋?,4］；

②Vae(0,+8),都有f(1)=1成立；

③Vae(0,+8),函數(shù)/'(%)的最大值都等于4.

B

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

11.已知河水的流速為2m/s,一只小船想要以10m/s的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，則小船

在靜水中的速度的大小應(yīng)為m/s.

⑵一質(zhì)點(diǎn)受到平面上三個(gè)力耳，K瓦的作用而處于平衡狀態(tài).已知瓦，瓦成60。角，且

|同=2N,匠|=4N,則|同=.

13。向量方法在幾何中的應(yīng)用

(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：aIIb(b*0)

<=><=>.

(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件:非零向量落

b,a1ft<=>

(3)求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cos。==.

(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：I&I

14.如圖，用兩條成120。角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具的重力大小為10N,則每根

繩子的拉力大小是.

O

15。把一個(gè)函數(shù)的圖象C按向量,=&一2)平移后得函數(shù)圖象Q,又將G按向量石=(*,1)

平移后得函數(shù)圖象C2：y=sin(2x-2)+2,則原函數(shù)圖象C的解析式為.

16.把曲線G：?—?=1按向量a=(1,2)平移后得到曲線C2，曲線C2有一條準(zhǔn)線方程為x=5,

則k的值為,離心率e為.

17.如圖，在一點(diǎn)。上作用著兩個(gè)力，它們的大小分別等于5和3,夾角為30。,此時(shí)它們合力的大

小為.

0

18。某運(yùn)動(dòng)員在風(fēng)向?yàn)闁|偏北60。，風(fēng)速為2m/s的情況下正在以10m/s的速度向東跑步.若

風(fēng)停止，在運(yùn)動(dòng)員用力不變的情況下，求該運(yùn)動(dòng)員跑步速度的大小和方向.

19.某人騎車以每小時(shí)akm的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為2a時(shí)，感到

風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)速和方向.

20。已知點(diǎn)4(1,0),6(-1,2),C(0,-2),求以4B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)。的

坐標(biāo).

21.一架飛機(jī)從4點(diǎn)向西北飛行200km到達(dá)B點(diǎn)，再?gòu)腂點(diǎn)向東飛行100&km到達(dá)C點(diǎn)，再?gòu)腃點(diǎn)

向東偏南30。飛行50魚(yú)km到達(dá)D點(diǎn)，求飛機(jī)從D點(diǎn)飛回4點(diǎn)的位移.

22?如圖所示，4BCD是菱形,4C和BD是它的兩條對(duì)角線，求證：AC1BD.

23。若某人在靜水中游泳的速度為4gkm/h,水的流速為4km/h.

(1)如果他徑直游向河對(duì)岸，他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少？

(2)他必須朝哪個(gè)方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)?實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？

24.已知三點(diǎn)力(一1,-1),B(2,3),C(3,-1),求證:△ABC是銳角三角形.

25。試尋找△ABC應(yīng)滿足什么條件，能使角4的平分線與從角B引的中線相互垂直.

26。求過(guò)原點(diǎn)。(0,0),且平行于向量&=(一1,一3)的直線方程.

27.某人在靜水中游泳,速度為4百km/h.

(1)如果他徑直游向河對(duì)岸，水流的速度為4km/h,他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)?速度大小為多少？

(2)他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？

28。已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線［交C與4,B兩點(diǎn),圓M是以線段48為直徑的圓.

(1)(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

(2)(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,—2),求直線I與圓M的方程.

29o一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m「一艘船從4處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度

|司=10km/h,水流速度區(qū)|=2km/h,要使船行駛的時(shí)間最短，那么船行駛的距離與合速

度的比值必須最小，分三種情況討論：

(I)當(dāng)船逆流行駛，與水流成鈍角時(shí)：

(2)當(dāng)船順流行駛，與水流成銳角時(shí)；

(3)當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水流成直角時(shí).

計(jì)算以上三種情況，是否當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，即與水流成直角時(shí)，所用時(shí)間最短.

30o兩個(gè)力耳=1+了，月=4,一57作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從4(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0)

(其中n分別是x軸、y軸正方向上的單位向量).求：

⑴瓦瓦分別對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功；

(2)瓦耳的合力正對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功.

31o如圖，己知點(diǎn)4(4,0),B(4,4),C(2,6),求4c與。B的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

32.水平電線AB對(duì)豎直電桿8。的拉力為300N,斜拉索BC的拉力為600N,此時(shí)電桿恰好不偏

斜，求斜拉索與地面所成角8的大小以及由此引起的電桿對(duì)地面的壓力(電桿自重不計(jì)).

33.有一小船位于d=60m寬的河邊P處，從此處起，在下游I=80m處，河流變成了“飛流直下

三千尺"的瀑布，若河流水流速度方向由上游指向下游(與河岸平行)，水速為5m/s,如圖所

示，為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少?當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？

34。已知點(diǎn)4(3,-2),S(-l,0),C(-3,10),0(2,3),求直線4c和BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

35。一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進(jìn)60m,若牽繩與行進(jìn)方向夾角為人的拉力為50