2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.3.1二項(xiàng)式定理素養(yǎng)檢測含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE六二項(xiàng)式定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)對于QUOTE,以下推斷正確的有 ()A.存在n∈N*,綻開式中有常數(shù)項(xiàng)B.對隨意n∈N*,綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C.對隨意n∈N*,綻開式中沒有x的一次項(xiàng)D.存在n∈N*,綻開式中有x的一次項(xiàng)【解析】選AD.設(shè)QUOTE綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1,則Tr+1=QUOTE=QUOTEx4r-n,不妨令n=4,則r=1時(shí),綻開式中有常數(shù)項(xiàng),故A正確,B錯(cuò)誤;令n=3,則r=1時(shí),綻開式中有x的一次項(xiàng),故C錯(cuò)誤,D正確.2.QUOTE綻開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為 ()A.15 B.-60 C.60 D.-15【解析】選C.QUOTE的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTE=QUOTE26-rQUOTEx6-2r,所以QUOTE綻開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為QUOTE26-4(-1)4=15×4=60.3.設(shè)QUOTE=a0+a1QUOTE+a2(2x-1)2+…+a10QUOTE,則a1+a2+…+a10= ()A.2 B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.令x=1,則原式化為2=a0+a1+a2+…+a10,令x=QUOTE,得a0=QUOTE,所以a1+a2+…+a10=2-QUOTE=QUOTE.4.已知QUOTE+2QUOTE+22QUOTE+23QUOTE+…+2nQUOTE=729,則QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE= ()A.63 B.64 C.31 D.32【解析】選A.依據(jù)二項(xiàng)式定理綻開式的逆運(yùn)算可知QUOTE+2QUOTE+22QUOTE+23QUOTE+…+2nQUOTE=QUOTE,所以3n=729=36,所以n=6,則QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=26-QUOTE=26-1=63.5.已知QUOTE的綻開式中含QUOTE的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.6 D.-6【解析】選D.通項(xiàng)為Tk+1=QUOTE(QUOTE)5-kQUOTE=(-a)kQUOTE,由QUOTE=QUOTE,得k=1,即-aQUOTE=30,所以a=-6.6.QUOTE的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為14,則正整數(shù)n的值為 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選B.QUOTE綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTE=QUOTExr-n,故其常數(shù)項(xiàng)為Tn+1=QUOTE=QUOTE,包含x-1的項(xiàng)為Tn-1+1=QUOTEx-1=QUOTEnx-1,所以QUOTE綻開式的常數(shù)項(xiàng)為QUOTE3n+QUOTE=14.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有3n-1=14,解得n=5;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有-3n+1=14,解得n=-QUOTE(舍).故正整數(shù)n的值為5.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(2024·全國Ⅲ卷)QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

【解析】因?yàn)門r+1=QUOTEx2(6-r)2rx-r=2rQUOTEx12-3r,由12-3r=0,得r=4,所以QUOTE的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是:QUOTE·24=QUOTE·16=15×16=240,故常數(shù)項(xiàng)為240.答案:2408.已知742020+a能夠被15整除,其中a∈(0,15),則a=.

【解析】由題可知,因?yàn)?42020=QUOTE=QUOTE752020QUOTE+QUOTE752019QUOTE+…+QUOTE751QUOTE+QUOTE750QUOTE=QUOTE752020-QUOTE752019+…-QUOTE751+1,所以742020+a=QUOTE752020-QUOTE752019+…-QUOTE751+1+a,而75能被15整除,要使742020+a能夠被15整除,只需1+a能被15整除即可,所以1+a=15,解得a=14.答案:14三、解答題(每小題10分,共20分)9.設(shè)QUOTE=a0+a1x+a2x2+…+a5x5.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+a4+a5的值.【解析】(1)QUOTE的綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=QUOTE,r=0,1,2,3,4,5,所以a2=QUOTE=40.(2)當(dāng)x=0時(shí),a0=1,當(dāng)x=1時(shí),QUOTE=a0+a1+a2+a3+a4+a5,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.10.QUOTE的綻開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求:(1)n;(2)綻開式中全部的有理項(xiàng).【解析】(1)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=QUOTE=(-1)rQUOTE.依題意得,QUOTE=4(-1)2QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得n=6.(2)由(1)得Tr+1=(-1)rQUOTE·QUOTE,當(dāng)r=0,3,6時(shí)為有理項(xiàng),故有理項(xiàng)有T1=QUOTE,T4=-QUOTEx2,T7=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.8011被9除的余數(shù)為 ()A.-1 B.1 C.8 D.-8【解析】選C.8011=QUOTE=QUOTE·8111+QUOTE·8110·QUOTE+QUOTE·819·QUOTE+…+QUOTE·811·QUOTE+QUOTE·QUOTE=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+QUOTE·811-QUOTE=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+11×81-1=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+81-1=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+80=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+72+8,8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+72可以被9整除,所以8011被9除的余數(shù)為8.2.(多選題)QUOTE的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則其中說法正確的是 ()A.a=1B.綻開式中含x6項(xiàng)的系數(shù)是-32C.綻開式中含x-1項(xiàng)D.綻開式中常數(shù)項(xiàng)為40【解析】選AD.因?yàn)镼UOTE的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,令x=1得,1+a=2,所以a=1,故A正確.此時(shí)QUOTE=x+QUOTEQUOTE,x2x-QUOTE5綻開式中的通項(xiàng)為xQUOTE=QUOTE25-rQUOTEx6-2r,QUOTE綻開式中的通項(xiàng)為QUOTE=QUOTE25-rQUOTEx4-2r,令6-2r=6或4-2r=6,解得r=0,所以含x6項(xiàng)的系數(shù)是32,故B錯(cuò)誤.令6-2r=-1或4-2r=-1,都無解,故綻開式中不含x-1項(xiàng),故C錯(cuò)誤.令6-2r=0或4-2r=0,解得r=3或r=2,所以綻開式中常數(shù)項(xiàng)為40.3.(2024·全國Ⅰ卷)QUOTE(x+y)5的綻開式中x3y3的系數(shù)為 ()A.5 B.10 C.15 D.20【解析】選C.(x+y)5綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTEx5-ryr(r∈N且r≤5),所以QUOTE與(x+y)5綻開式的乘積可表示為:xTr+1=xQUOTEx5-ryr=QUOTEx6-ryr或QUOTETr+1=QUOTEx5-ryr=QUOTEx4-ryr+2,在xTr+1=QUOTEx6-ryr中,令r=3,可得:xT4=QUOTEx3y3,該項(xiàng)中x3y3的系數(shù)為10,在QUOTETr+1=QUOTEx4-ryr+2中,令r=1,可得:QUOTET2=QUOTEx3y3,該項(xiàng)中x3y3的系數(shù)為5,所以x3y3的系數(shù)為10+5=15.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·北京高考)在(QUOTE-2)5的綻開式中,x2的系數(shù)為 ()A.-5 B.5 C.-10 D.10【解析】選C.通項(xiàng)為Tk+1=QUOTE(QUOTE)5-k(-2)k=QUOTE(-2)k,由QUOTE-QUOTE=2得k=1,所以所求系數(shù)為QUOTE(-2)1=-10.4.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若(1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,an+1=Sn·Sn+1,則S2021= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.2021 D.-2021【解析】選A.令x=QUOTE,得QUOTE=b0+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=0,又因?yàn)閎0=1,所以a1=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=-1.由an+1=SnSn+1=Sn+1-Sn,得QUOTE=QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE-QUOTE=-1,所以數(shù)列QUOTE是首項(xiàng)為QUOTE=-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以QUOTE=-1+(n-1)·(-1)=-n,所以Sn=-QUOTE,所以S2021=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知(1+x+x2)QUOTE的綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng),n∈N*,且2≤n≤8,則n=.

【解析】因?yàn)镼UOTE的通項(xiàng)Tr+1=QUOTExn-rQUOTE=QUOTExn-4r,當(dāng)n-4r=0,-1,-2時(shí),不符合題意,因?yàn)?≤n≤8,所以n不能等于4,8,3,7,2,6,所以n=5.答案:56.已知QUOTE的綻開式中x3的系數(shù)為QUOTE,則常數(shù)a的值為.

【解析】Tr+1=QUOTEa9-r·(-1)r·QUOTE,令QUOTEr-9=3,得r=8.依題意,得QUOTE(-1)8×2-4·a9-8=QUOTE,解得a=4.答案:47.設(shè)a∈Z,且0<a<13,若532019+a能被13整除,則a=.

【解析】因?yàn)?3=52+1=4×13+1,所以532019+a=QUOTE+a=522019+QUOTE·522018+…+QUOTE·52+1+a,由于522019+QUOTE·522018+…+QUOTE·52能被13整除,則a+1也能被13整除,因?yàn)?<a<13,所以1<a+1<14且a∈Z,所以a+1=13,解得a=12.答案:128.(2024·天津高考)在QUOTE的綻開式中,x2的系數(shù)是.

【解析】因?yàn)镼UOTE的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=QUOTEx5-rQUOTE=QUOTE·2r·x5-3r(r=0,1,2,3,4,5),令5-3r=2,解得r=1.所以x2的系數(shù)為QUOTE×2=10.答案:10三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知QUOTE綻開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22.(1)求n的值;(2)求綻開式中的常數(shù)項(xiàng).【解析】(1)因?yàn)镼UOTE綻開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=1+n+QUOTE=22,解得n=6或n=-7(舍去).所以n的值為6.(2)由通項(xiàng)公式Tk+1=QUOTE=QUOTE26-kQUOTE,令6-QUOTE=0,可得k=4,所以綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為T4+1=QUOTE26-4x0=60.10.已知在QUOTE的綻開式中,第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求:(1)n的值;(2)綻開式中x5的系數(shù);(3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù).【解析】二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)為Tk+1=QUOTE·QUOTE=(-1)kQUOTE.(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),即當(dāng)k=