2024-2025學年高中數學模塊綜合測評B課后鞏固提升含解析北師大版選修2-2

PAGE1-模塊綜合測評(B)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.若復數z滿意z+2i=(i為虛數單位),則等于()A.2-i B.2+iC.2-3i D.2+3i解析因為z+2i==2-i,所以z=2-3i,=2+3i.故選D.答案D2.若函數f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函數,則m的取值范圍是()A.(3,+∞) B.C. D.(-∞,0)解析由于函數f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函數,則f'(x)=3x2+2x+m≥0在R上恒成立,所以(3x2+2x+m)min≥0,當x=-時,(3x2+2x+m)min=3×+2×+m≥0,得m≥.故選B.答案B3.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表達式為()A.f(x)= B.f(x)=C.f(x)= D.f(x)=解析由f(1)=1得f(2)=,f(3)=,f(4)=,…,猜想f(x)=.答案B4.用數學歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4解析由題知n的最小值為3,所以第一步驗證n=3是否成立.答案C5.如圖所示,在一個邊長為1的正方形AOBC內,曲線y=x2和曲線y=圍成一個葉形圖(陰影部分),向正方形AOBC內隨機投一點(該點落在正方形AOBC內任何一點是等可能的),則所投的點落在葉形圖內部的概率是()A. B. C. D.解析依題意知,題中的正方形區(qū)域的面積為12=1,陰影區(qū)域的面積等于-x2)dx=,因此所求概率為P=.答案D6.已知f(x)=x2+sin,f'(x)為f(x)的導函數,則f'(x)的圖像是()解析f(x)=x2+cosx,∴f'(x)=x-sinx,令g(x)=f'(x),則g(x)為奇函數,解除B,D;由g'(x)=-cosx知g(x)在y軸右側先遞減,解除C.故選A.答案A7.在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+b是曲線y=alnx的切線,則當a>0時,實數b的最小值是()A.-2 B.-1 C.0 D.1解析設切點坐標為(x0,alnx0),因為y'=,所以切線斜率為=1,則x0=a.又點(a,alna)在直線y=x+b上,所以alna=a+b,所以b=alna-a(a>0),將b視為關于a的函數,求導得b'=lna,令lna=0得a=1,易知b=alna-a在(0,1)上是削減的,在(1,+∞)上是增加的,所以當a=1時,bmin=-1.答案B8.設f(x)=x3+ax2+5x+6在區(qū)間[1,3]上為單調函數,則實數a的取值范圍是()A.[-,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,-3]∪[-,+∞)D.[-]解析∵f'(x)=x2+2ax+5,若f(x)在[1,3]上為單調函數且單調遞增,則x∈[1,3]時,x2+2ax+5≥0恒成立,即2a≥-,而x∈[1,3]時,x+≥2,∴-≤-2,∴2a≥-2,a≥-,若f(x)在[1,3]上單調遞減,則x∈[1,3]時,x2+2ax+5≤0恒成立,即2a≤-,而x∈[1,3]時,記h(x)=x+,hmax=h(1)=6,∴-≥-6,∴2a≤-6,a≤-3,∴a的取值范圍是(-∞,-3]∪[-,+∞).答案C9.給出下面類比推理的命題,其中類比結論正確的是()A.“若a,b∈R,則a2+b2=0?a=0且b=0”類比推出“若z1,z2∈C,則=0?z1=0且z2=0”B.“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若z1,z2∈C,則z1-z2>0?z1>z2”C.“若x∈R,則|x|<1?-1<x<1”類比推出“若z∈C,則|z|<1?-1<z<1”D.“若a,b,c,d∈R,則復數a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b=c+d?a=c,b=d”解析對A,若z1,z2為虛數,由=0不能推出z1=0且z2=0,如z1=1+i,z2=1-i,=0,但z1≠0,z2≠0.同理B,C也不正確,D正確.答案D10.滿意條件|z-2i|+|z+1|=的點的軌跡是()A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓解析|z-2i|+|z+1|=表示動點Z到兩定點(0,2)與(-1,0)的距離之和為常數,又點(0,2)與(-1,0)之間的距離為,所以動點的軌跡為以兩定點(0,2)與(-1,0)為端點的線段,故選C.答案C11.若函數y1=sin2x1+,函數y2=x2+3,則(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為()A.π+B.C.D.解析表示兩函數圖像上隨意兩點之間的距離,其最小值應為曲線y1上與直線y2平行的切線的切點到直線y2的距離.∵y'1=2cos2x1,令y'1=1,∴cos2x1=,∴x1=,∴y1=,故切點為,切點到直線y2的距離為,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為.答案D12.設函數f(x),g(x)在[a,b]上均可導,且f'(x)<g'(x),則當a<x<b時,有()A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b)解析令F(x)=f(x)-g(x),則F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,∴F(x)在[a,b]上是削減的,∴當a<x<b時,F(b)<F(x)<F(a),即f(a)-g(a)>f(x)-g(x)>f(b)-g(b),化簡可得f(x)+g(b)>g(x)+f(b),f(a)+g(x)>f(x)+g(a).答案C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知i是虛數單位,若復數z滿意(1-i)z=2,則z的虛部為;z=.

解析由(1-i)z=2,則z==1+i,則z的虛部為1,z=(1+i)(1-i)=2.答案1214.若函數f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不單調,則實數t的取值范圍是.

解析f'(x)=-x+4-=-=-,所以當0<x<1或x>3時,f'(x)<0,當1<x<3時,f'(x)>0.因為f(x)在[t,t+1]上不單調,所以∴0<t<1或2<t<3.答案(0,1)∪(2,3)15.已知函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則c=.

解析∵f(x)=x3-2cx2+c2x,∴f'(x)=3x2-4cx+c2.∵f'(2)=0,∴c2-8c+12=0,解得c=2或c=6.檢驗可知,當c=2時,函數在x=2處取得微小值,故c=6.答案616.已知an=n,把數列{an}的各項排列成如圖所示的三角形形態(tài):a1a2a3a4a5a6a7a8a9……記A(m,n)表示第m行的第n個數,則A(10,12)=.

解析∵前9行共有1+3+5+…+17=81個數,∴A(10,12)是第10行的第12個數,為93.答案93三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知z是復數,z+2i,均為實數(i為虛數單位),且復數(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限,求實數a的取值范圍.解設z=x+yi(x,y∈R),則z+2i=x+(y+2)i,由z+2i為實數,得y=-2.∵(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i,∴由為實數,得x=4.∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,∴依據條件,可知解得2<a<6.∴實數a的取值范圍是(2,6).18.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)探討f(x)的單調性,并求f(x)的極大值.解(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b-4=4,所以a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.從而當x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)時,f'(x)>0;當x∈(-2,-ln2)時,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上是增加的,在(-2,-ln2)上是削減的.從而,當x=-2時,函數f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).19.(本小題滿分12分)已知a>b>c,求證:.證明已知a>b>c,因為=2+≥2+2=4,所以≥4,即(當且僅當2b=a+c時取等號).20.(本小題滿分12分)在數列{an}中,a1=1,an+1=an+1(n∈N*).(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想{an}的通項公式,并用數學歸納法證明.解(1)∵a1=1,an+1=an+1,∴a2=3a1+1=4,a3=2a2+1=9,a4=a3+1=16,故a2,a3,a4的值分別為4,9,16.(2)由(1)猜想an=n2,用數學歸納法證明如下:①當n=1時,a1=1,猜想明顯成立;②假設當n=k時,猜想成立,即ak=k2,則當n=k+1時,ak+1=ak+1=k2+2k+1=(k+1)2,即當n=k+1時猜想也成立,由①②可知,猜想成立,即an=n2.21.(本小題滿分12分)某廠生產某種電子元件,生產出一件正品,可獲利200元,生產出一件次品,則損失100元.已知該廠制造電子元件過程中,次品率p與日產量x的函數關系是:p=(x∈N+).(1)求該廠的日盈利額T(元)用日產量x(件)表示的函數關系式;(2)為獲得最大盈利,該廠的日產量應定為多少件?解(1)由題意得T=200x-100x·=25×.(2)由(1)可得T'=-25×,令T'=0得x=16或x=-32(舍去).當0<x<16時,T'>0;當x>16時,T'<0,所以當x=16時,T最大.即該廠的日產量定為16件,能獲得最大盈利.22.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函數f(x)在[1,2]上是削減的,求實數a的取值范圍;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實數a,當x∈(0,e](e是自然對數的底數)時,函數g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;(3)當x∈(0,e]時,證明:e2x2-x>(x+1)lnx.(1)解由題意可知f'(x)=2x+a-≤0在[1,2]上恒成立,即a≤-2x在[1,2]上恒成立,令h(x)=-2x,x∈[1,2],則h(x)在[1,2]上是削減的,h(x)在[1,2]上的最小值為h(2)=-4=-,所以a≤-.故a的取值范圍是.(2)解假設存在實數a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g'(x)=a-.①當a≤0時,g(x)在(0,e]上是削減的,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去).②當0<<e時,g(x)在上是削減的,在上是增加的