5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

5.2.2

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則5.2導(dǎo)數(shù)的函數(shù)復(fù)習(xí)引入1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1、c′＝______(c為常數(shù))；2、(xα)′＝______(α∈R，且α≠0)；3、(sinx)′＝______；4、(cosx)′＝______；5、(ax)′＝______(a>0，且a≠1)，特別地，(ex)′＝______；6、(logax)′＝______(a>0，且a≠1)，特別地，(lnx)′＝______.0αxα－1cosx－sinxaxlnaex復(fù)習(xí)引入2、如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)？

對(duì)于基本初等函數(shù)，我們前一節(jié)課已經(jīng)得到了求導(dǎo)公式，所以可以直接通過公式得到其導(dǎo)數(shù)，除此之外只能用導(dǎo)數(shù)的定義來求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即求增量、算比值、求極限.3、問題：在上節(jié)課的例3中，當(dāng)p0=5時(shí)，這時(shí)p(t)=5×1.05t，求p關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)可以看成求函數(shù)f(t)=5與g(t)=1.05t乘積的導(dǎo)數(shù)．一般地，如何求兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？探究新知探究：設(shè)f(x)=x2，g(x)=x，計(jì)算[f(x)+g(x)]′與[f(x)－g(x)]′，它們與f'(x)和g'(x)有什么關(guān)系再取幾組函數(shù)試試，上述關(guān)系仍然成立嗎由此你能想到什么設(shè)y=f(x)+g(x)=x2+x，=?x+2x+1=2x+1.而f′(x)=(x2)′=2x，g′(x)=x′=1，∴[f(x)+g(x)]′=f'(x)+g'(x)同樣，對(duì)上述函數(shù)，[f(x)－g(x)]′=f'(x)－g'(x)探究新知思考：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和

g(x)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，下面的法則成立嗎？解：記y=f(x)+g(x)，[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x)同理，[f(x)－g(x)]′=f'(x)－g'(x)=f'(x)+g'(x)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1:兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x)例題解析1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=x3－x+3；(2)y=2x+cosx.解：(1)y′=(x3－x+3)′=(x3)′－x′+3′=3x2－1(2)y′=(2x+cosx)′=(2x)′+(cosx)′=2xln2－sinx探究新知思考：設(shè)f(x)=x2，g(x)=x，計(jì)算[f(x)g(x)]′與f′(x)g′(x)，它們是否相等？f(x)與g(x)商的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的商呢？[f(x)g(x)]′=(x3)′=3x2，[f(x)g(x)]′≠f'(x)g'(x)由已知，顯然那么，正確結(jié)論是什么呢？f′(x)g′(x)=2x·1=2x，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2:[f(x)·g(x)]′=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)事實(shí)上，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和

g(x)的積(或商)的導(dǎo)數(shù)，我們有如下法則：（推導(dǎo)過程留作課后思考）請(qǐng)同學(xué)們嘗試用文字?jǐn)⑹錾厦鎯蓚€(gè)運(yùn)算法則.1、兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

2、兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)(分子)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)(分母),減去第一個(gè)函數(shù)(分子)乘第二個(gè)函數(shù)(分母)的導(dǎo)數(shù)，再除以第二個(gè)函數(shù)(分母)的平方.探究新知探究：若h(x)=c·f(x)，求h′(x).思路1：思路2：也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得h′(x)=[c·f(x)]′=c′f(x)+cf′(x)=cf′(x)[cf(x)]′=cf′(x)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2)[f(x)·g(x)]′=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(1)[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x)特別地，有[cf(x)]′=cf′(x)例題解析2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：(1)y′=(x3ex)′=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex隨堂練習(xí)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y=tanx．解：(1)y′＝(x2＋log3x)′

＝(x2)′＋(log3x)′(2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)

＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′

＝3x2＋12x＋11.(1)利用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)，再利用相應(yīng)的法則進(jìn)行求導(dǎo)．(2)遇到函數(shù)的表達(dá)式是乘積形式或是商的形式，有時(shí)先將函數(shù)表達(dá)式展開或化簡(jiǎn)，然后再求導(dǎo)．感悟提升例題解析3、日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知將1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位:元)為求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：(1)90%；(2)98%.解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例題解析∴純凈度為98%時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為1321元/噸.∴純凈度為90%時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為52.84元/噸.

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計(jì)算可知，c′(98)=25c′(90).這表示凈化到純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率，大約是凈化到純凈度為90%左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的25倍.

這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.隨堂練習(xí)2、已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex，

f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為_______,3例題解析4、設(shè)函數(shù)

，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．解：(1)由7x－4y－12＝0得例題解析4、設(shè)函數(shù)

，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.∴點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0，2x0)．(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由

知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為感悟提升(1)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率；(2)切點(diǎn)在切線上；(3)切點(diǎn)在曲線上；(4)題目所給的其他條件．最后通過解方程(組)確定參數(shù)的值．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參時(shí)，常根據(jù)以下關(guān)系列方程：隨堂練習(xí)3、判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f′(x)＝2x，則f(x)＝x2.(

)(2)函數(shù)f(x)＝xex的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝ex(x＋1)．(

)(3)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝cosx.(

)(4)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2x.(

)×√××課堂小結(jié)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及簡(jiǎn)單運(yùn)