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2025屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三5月月考(數(shù)學(xué)試題文)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一場(chǎng)考試需要2小時(shí),在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.2.如圖,四邊形為正方形,延長(zhǎng)至,使得,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.4.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A. B. C. D.5.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.6.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列,若、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個(gè)單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.12.如圖是計(jì)算值的一個(gè)程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,直線與交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)__________.14.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點(diǎn)為,,…,,則______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn),的面積為3,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點(diǎn)、分別為,的中點(diǎn),且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.19.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實(shí)數(shù),,滿足,求證:.20.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)積為.(1)求和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和,并證明:對(duì)任意的正整數(shù)m、k,均有.21.(12分)如圖1,與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形,,,連接是邊上一點(diǎn),過作,交于點(diǎn),沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí),轉(zhuǎn)過的角度為,按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過2小時(shí),時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.3.D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.4.B【解析】
求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為,故選B.本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計(jì)算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,排除選項(xiàng)C.又排除選項(xiàng)D;,排除選項(xiàng)A,故選B.本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計(jì)算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.6.D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值.【詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列,、滿足,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得,即,,可得,且、都是正整數(shù),求的最小值即求在,且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值,討論、取值.當(dāng)且時(shí),的最小值為.故選:B.本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思想,是中等題.8.A【解析】
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出的范圍.【詳解】由題意得有四個(gè)大于的不等實(shí)根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因?yàn)?,?dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因?yàn)?,所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn),需且.故選:A.本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.9.D【解析】
三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選:D.本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時(shí),可以先求其對(duì)立事件,即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,本題有一定難度.10.B【解析】
畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計(jì)算得到答案.【詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.11.B【解析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時(shí),由為圖象的對(duì)稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點(diǎn),同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性,屬于中檔題.12.B【解析】
根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進(jìn)而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因?yàn)樵摮绦驁D是計(jì)算值的一個(gè)程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由于直線過拋物線的焦點(diǎn),因此過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得,從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦,再求得正切即為直線斜率.注意對(duì)稱性,問題應(yīng)該有兩解.【詳解】直線過拋物線的焦點(diǎn),,過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義知,.因?yàn)椋裕驗(yàn)?,所以,從而.設(shè)直線的傾斜角為,不妨設(shè),如圖,則,,同理,則,解得,,由對(duì)稱性還有滿足題意.,綜上,.本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題,掌握拋物線的定義,把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵.14.【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,湊而可知的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;當(dāng)時(shí),,又,滿足題意;綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查恒成立問題的求解,重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點(diǎn)的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制,忽略對(duì)于臨界值能否取得的討論.15.18【解析】
由題意得函數(shù)f(x)與g(x)的圖像都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱,與圖像的交點(diǎn)為,,…,,兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,.故答案為:18本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16.【解析】
對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程,令,可得點(diǎn)橫坐標(biāo),由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)首先可得,再面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,再由,即可得到線面垂直;(2)過點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出線面角;【詳解】解:(1)∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,∵,∴,,,,∴,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求線面角,屬于中檔題.18.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用,利用正弦定理,化簡(jiǎn)即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時(shí),,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時(shí),.又,∴,∴,∴.本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題19.(1);(2)證明見詳解.【解析】
(1)將不等式的解集用表示出來,結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因?yàn)榈慕饧癁?,所以,;?)由(1)由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng),,,等號(hào)成立.本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問題,屬于中檔題.20.(1),;(2),證明見解析【解析】
(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和,進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題.21.(1)證明見解析(2)(3)【解析】
根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立空間直
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