2024-2025學(xué)年浙江衢州四校高三最后一次模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年浙江衢州四校高三最后一次模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.2.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.4.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.5.設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.6.給出下列三個(gè)命題:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要條件;③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象.其中假命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.37.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位8.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.9.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.1210.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.911.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.12.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,的系數(shù)等于__.14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則__________.15.已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,,,,則的面積為__________.16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,則的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.20.(12分)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),直線與圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.21.(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動(dòng)了我國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計(jì),在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個(gè),求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)?并說明理由.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn),(以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo),,),使點(diǎn)、到的距離都為3?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.2.D【解析】

試題分析:如圖所示,截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn):本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.3.C【解析】

先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.4.A【解析】

設(shè)直線為,用表示出,,求出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設(shè)直線為,則,,而滿足,那么設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以故選:.本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.5.A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.6.C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個(gè)命題逐個(gè)分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因?yàn)?所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題.故假命題有①③.故選:C本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】

運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個(gè)選項(xiàng)分別對變形,整理后與對比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對于A:可得.故選:A.本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時(shí),忘記乘了自變量前的系數(shù).8.B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應(yīng)圖形如下:可知點(diǎn),,在處有最小值,最小值為.故選:B.本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,∴,∴,解得.故選:D本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.10.B【解析】

模擬程序運(yùn)行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.11.C【解析】

求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C本小題主要考查拋物線的弦長的求法,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時(shí)雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.7【解析】

由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.14.0.22.【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱,根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,是一個(gè)基礎(chǔ)題.15.【解析】

根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式,考查計(jì)算能力.16.【解析】

運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)分類討論,去掉絕對值,化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組,求得每個(gè)不等式組的解集,再取并集即可.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求得最小值即可得到答案.【詳解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集為.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,只需最小值,即.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.本題考查絕對值不等式的解法,考查利用絕對值三角不等式求最值,屬基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),并且解出它的零點(diǎn)x=,再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)分三種情況加以討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較,即可得到當(dāng)0<a<ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a;當(dāng)a≥ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是ln2-2a.【詳解】函數(shù)的定義域

為.

因?yàn)?,令,可得?/p>

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上所述:可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),

的最小值是當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),的最小值是當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

又,

當(dāng)時(shí),的最小值是;

當(dāng)時(shí),的最小值為綜上所述,結(jié)論為當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;

當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是.求函數(shù)極值與最值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個(gè)極值點(diǎn),則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小19.(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2),證明見解析.【解析】

(1)求出,對分類討論,分別求出的解,即可得出結(jié)論;(2)由(1)得出有兩解時(shí)的范圍,以及關(guān)系,將,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,不妨設(shè),令,則,即證,構(gòu)造函數(shù),只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)镽,且.由,得;由,得.故當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,且.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設(shè).令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調(diào)遞增,.,在上單調(diào)遞增,,即成立,即成立..本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.20.(1)證明見解析;(2)是,理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)判別式即可證明.(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明,需要分類討論,【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí)直線方程為或,直線與橢圓相切.當(dāng)時(shí),由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設(shè),,當(dāng)時(shí),,,,所以,即.當(dāng)時(shí),由得,則,,.因?yàn)?所以,即.故為定值.本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查向量的運(yùn)算,注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.21.(1)(2)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】

(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,即可按照古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算得出;(2)依題意可知服從二項(xiàng)分布,先計(jì)算出隨機(jī)選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)可以計(jì)算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機(jī).【詳解】(1)設(shè)事件:“在樣本中任取個(gè),這個(gè)出行人恰好

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