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2024-2025學(xué)年云南省昆明市西山區(qū)民中高考復(fù)習(xí)全程精練模擬卷(全國卷)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示點是拋物線的焦點,點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動,且總是平行于軸,則的周長的取值范圍是()A. B. C. D.2.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位3.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里6.已知集合,則集合()A. B. C. D.7.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.8.點在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.9.函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀(jì)最大,乙說:我年紀(jì)最大,丙說:乙年紀(jì)最大,丁說:我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個人說的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁12.若,,,點C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則_________.14.滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是.15.已知均為非負(fù)實數(shù),且,則的取值范圍為______.16.的展開式中的系數(shù)為________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2,記f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正實數(shù)a,b滿足1a+118.(12分)正項數(shù)列的前n項和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.19.(12分)P是圓上的動點,P點在x軸上的射影是D,點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程,并說明軌跡是什么圖形;(2)過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程.20.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點.(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.21.(12分)中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體,給人于美的享受.如圖(1)為一花窗;圖(2)所示是一扇窗中的一格,呈長方形,長30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯(不含長方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個菱形和六根支條構(gòu)成,整個窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱.設(shè)菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm,窗芯所需條形木料的長度之和為L.(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料(不計榫卯及其它損耗)?22.(10分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,結(jié)合定義表示出;根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點,求得點橫坐標(biāo)的取值范圍,即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線,則焦點,準(zhǔn)線方程為,根據(jù)拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動,解得交點橫坐標(biāo)為2.點、分別在兩個曲線上,總是平行于軸,因而兩點不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長為,所以,故選:B.本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.2.D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個單位得到.故選:.本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.3.C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
因為,,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因為,,所以,所以.故選:D.本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.5.A【解析】
先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.本題考查正弦定理的實際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.6.D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.本題考查集合的定義,涉及到解絕對值不等式,是一道基礎(chǔ)題.7.D【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運算,化簡復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
確定點為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知,點為外心,則,,又,所以①因為,②聯(lián)立方程①②可得,,,因為,所以,即.故選:本題考查了向量模長的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.9.D【解析】由題意得,函數(shù)點定義域為且,所以定義域關(guān)于原點對稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,故選D.10.A【解析】
將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點,從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對應(yīng)的點為在第一象限.故選:A.本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算,考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點是誤把當(dāng)成進(jìn)行計算.11.C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個說的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個人說的是真話,故乙說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個人說的是真話,故丙在說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀(jì)最大的,同時乙也說謊,說明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.本題考查合情推理,解題時可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.12.B【解析】
利用向量的數(shù)量積運算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)交集的定義即可寫出答案?!驹斀狻浚?,故填本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。14.-2【解析】
可行域是如圖的菱形ABCD,代入計算,知為最小.15.【解析】
設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和,把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為,,令,則,因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時函數(shù)有最大值為,即.當(dāng)且,即,或,時取等號;因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時,函數(shù)有最小值為,即,當(dāng),且時取等號,所以.故答案為:本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.16.【解析】
在二項展開式的通項中令的指數(shù)為,求出參數(shù)值,然后代入通項可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項為,令,因此,的展開式中的系數(shù)為.故答案為:.本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,涉及二項展開式通項的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(Ⅰ)①當(dāng)x>1時,f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,∴1<x≤2;②當(dāng)-2≤x≤1時,f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,∴-2≤x≤1;③當(dāng)x<-2時,f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.綜上所述,原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=x-1當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時,等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當(dāng)且僅當(dāng)2a×1又1a+1b=∴2a本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,絕對值三角不等式求最值的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18.(1)(2)見解析【解析】
(1)因為數(shù)列的前項和滿足:,所以當(dāng)時,,即解得或,因為數(shù)列都是正項,所以,因為,所以,解得或,因為數(shù)列都是正項,所以,當(dāng)時,有,所以,解得,當(dāng)時,,符合所以數(shù)列的通項公式,;(2)因為,所以,所以數(shù)列的前項和為:,當(dāng)時,有,所以,所以對于任意,數(shù)列的前項和.19.(1)點M的軌跡C的方程為,軌跡C是以,為焦點,長軸長為4的橢圓(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)可求得,代入圓的方程可得所求軌跡方程;根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以,為焦點,長軸長為的橢圓;(2)設(shè),與橢圓方程聯(lián)立,利用求得;利用韋達(dá)定理表示出與,根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運算求得,消去后得到軌跡方程;根據(jù)求得的取值范圍,進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】(1)設(shè),則由知:點在圓上點的軌跡的方程為:軌跡是以,為焦點,長軸長為的橢圓(2)設(shè),由題意知的斜率存在設(shè),代入得:則,解得:設(shè),,則四邊形為平行四邊形又∴,消去得:頂點的軌跡方程為本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,進(jìn)而通過化簡整理得到結(jié)果;易錯點是求得軌跡方程后,忽略的取值范圍.20.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標(biāo)原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標(biāo)原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時解題關(guān)鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.21.(1)(2)【解析】試題分析:(1)由條件可先求水平方向每根支條長,豎直方向每根支條長為,因此所需木料的長度之和L=(2)先確定范圍由可得,再由面積為130cm2,得,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),令,則在上為增函數(shù),解得L有最小值.試題解析:(1)由題意,水平方向每根支條長為cm,豎直方向每根支條長為cm,菱形的邊長為cm.從而,所需木料的長度之和L=cm.(2)由題意,,即,又由可得.所以.令,其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,故在上單調(diào)遞減,所以可得.則=.因為函數(shù)和在上均為增函數(shù),所以在上為增函數(shù),故當(dāng),即時L有最小值.答:做這樣一個窗芯至少需要cm長的條形木料.考點:函數(shù)應(yīng)用題22.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點,連接,由,,得三點共線,且,
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