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文檔簡介

1基礎都艱要打牢強雙基I固本源I得基礎分I掌握程度

[知識能否憶起]

1.幾何概型的定義

如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的性度(面積或傕積)成比例,則稱這樣的

概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.

2.幾何概型的概率公式

在幾何概型中,事件/的概率的計算公式如下:

p(.._構成事件力的區(qū)域長度面積或體積一

慶用—試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積.

[小題能否全?。?/p>

1.(教材習題改編)設A(0,0),6(4,0),在線段加上任投一點?,貝/序|<1的概率為

11

B

2-3-

AC.

11

--

4D.5

解析:選C滿足|序|<1的區(qū)間長度為1,故所求其概率為]

2.(2012?衡陽模擬)有四個游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若

小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機會,應選擇的游戲盤是()

ABCD

3221

解析:選A中獎的概率依次為一⑷二,=~,尸^)=?

3.分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓,重疊部分如圖中陰影

區(qū)域所示,若向該正方形內(nèi)隨機投一點,則該點落在陰影區(qū)域的概率為

Ji—2

B.

2

ji—2

C.D.

44

解析:選B設正方形邊長為2,陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接

2?!?

正方形的面積,即為加一2,則陰影區(qū)域的面積為2m—4,所以所求概率為P=—^=

兀一2

2,

4.有一杯2升的水,其中含一個細菌,用一個小杯從水中取0.1升水,則此小杯中含

有這個細菌的概率是.

解析:試驗的全部結果構成的區(qū)域體積為2升,所求事件的區(qū)域體積為0.1升,故尸=

0.05.

答案:0.05

5.如圖所示,在直角坐標系內(nèi),射線。7落在30°角的終邊上,任作

一條射線。4則射線。落在內(nèi)的概率為

解析:如題圖,因為射線處在坐標系內(nèi)是等可能分布的,則勿落在一/

內(nèi)的概率為黑=1

答案:7

0

1.幾何概型的特點:

幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗中的可能結果不是有限個,它的特點是試驗

結果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布,故隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關,

只與該區(qū)域的大小有關.

2.幾何概型中,線段的端點、圖形的邊界是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結果.

1gl高頻考點逑通關抓考點|學技法|得拔高分|掌握程度

**-與長度、角度有關的幾何概型

占典題導入

[例1](2011?湖南高考)已知圓C,/+y=12,直線1-.4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線1的距離為;

(2)圓。上任意一點A到直線1的距離小于2的概率為.

[自主解答](1)根據(jù)點到直線的距離公式得d=R=5;

5

(2)設直線4x+3p=c到圓心的距離為3,則唱=3,取c=15,則直線4x+3y=15把

圓所截得的劣弧的長度和整個圓的周長的比值即是所求的概率,由于圓半徑是八口,則可得

直線4計3尸15截得的圓弧所對的圓心角為6。。,故所求的概率舄

>?一題多變

本例條件變?yōu)椋骸耙阎獔AC:/+y=12,設〃為此圓周上一定點,在圓周上等可能地

任取一點N,連接MN.”求弦/V的長超過24的概率.

D

解:如圖,在圖上過圓心。作0a直徑az則協(xié)=必=2加式、

當"點不在半圓弧點萬上時,粉>2乖.0fL

1

兀乂2也

所以尸(4=7-

&由題悟法

求與長度(角度)有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉化為長度

(角度),然后求解.確定點的邊界位置是解題的關鍵.

否以題試法

1.(1)(2012?福建四校聯(lián)考)已知/是圓上固定的一點,在圓上其他位置上任取一點

A1,則4r的長度小于半徑的概率為.

(2)在RtZU6C中,/的C=90°,A8=l,6c=2.在6c邊上任取一點〃,則NZ姐三90

的概率為.

解析:(1)如圖,滿足陽’的長度小于半徑的點/位于劣弧胡7上,

2Ji

其中△力胡和△力3為等邊三角形,可知/6。。=亍,故所求事件的概率

2

31

2-3-

JI

⑵如圖,在山△/回中,作4?,6G。為垂足,由題意可得初=

1

2-

5,且點〃在初上時,滿足//肥290°,故所求概率戶=9=

2--4-

ZDb

答案:⑴,(2)|

與面積有關的幾何概型

占典題導入

[例2](1)(2012?湖北高考)如圖,在圓心角為直角的扇形"6中,B

分別以力,必為直徑作兩個半圓.在扇形的6內(nèi)隨機取一點,則此點取

自陰影部分的概率是()

(2)已知不等式組《x+y20,表示平面區(qū)域亂若點尸(x,力在所給的平面區(qū)域

a>

〃內(nèi),則點尸落在〃的內(nèi)切圓內(nèi)的概率為(

B.(3—2?Jt

C.(2鏡—2)Jt

[自主解答](1)法一:設分別以的,仍為直徑的兩個半圓交于點

C,OA的中點為D,如圖,連接OC,DC.不妨令OA=OB=2,貝|OD=DA

=2C=1.在以如為直徑的半圓中,空白部分面積S=y+|xiXl-

|^-|xiXlj=l,所以整體圖形中空白部分面積£=2.又因為S廚用皿。D'A

=:XJtX2?=JI,所以陰影部分面積為W=n—2.

lltr?!?2

所以P=-J-I-=1-JI

法二:連接設分別以力,如為直徑的兩個半圓交于點C,令a=2.

==

由題意知氏/8且S弓形ACS弓形6CS弓形。

所以S空白=Sk而8=5*2X2=2.

2

又因為S扇形萩=1X兀X2=兀,所以S陰影=?!?.

⑵由題知平面區(qū)域〃為一個三角形,且其面積為s=次設〃的內(nèi)切圓的半徑為r,則g

(2a+2y[2a)r=af解得r=(力-1)a所以內(nèi)切圓的面積S內(nèi)切圓=兀/=兀[1)?目之

=(3-2^2)口a.故所求概率々4=(3—24)m.

[答案](DA(2)B

金由題悟法

求解與面積有關的幾何概型首先要確定試驗的全部結果和構成事件的全部結果形成的

平面圖形,然后再利用面積的比值來計算事件發(fā)生的概率.這類問題常與線性規(guī)劃[(理)定

積分]知識聯(lián)系在一起.

各以題試法

2.(2012?湖南聯(lián)考)點尸在邊長為1的正方形/池內(nèi)運動,則動點尸到頂點A的距離

的概率為()

解析:選C如圖,滿足|R1|W1的點尸在如圖所示陰影部分運

則動點戶到頂點/的距離I%W1的概率為曰

J正方形[XI

與體積有關的幾何概型

占典題導入

[例3](1)(2012?煙臺模擬)在棱長為2的正方體力盟―46心”中,點。為底面ABCD

的中心,在正方體47加46C以內(nèi)隨機取一點只則點戶到點。的距離大于1的概率為()

(2)一只蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行.若蜜蜂在飛行過程中始終

保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10,則飛行是安全的,假設蜜蜂在正方體

玻璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性相同,那么蜜蜂飛行是安全的概率為()

13

r—?京

27D

[自主解答](1)點戶到點。的距離大于1的點位于以。為球心,以1為半徑的半球的

o14JlO

2--X—XI3

,、z3JI

外部.記點尸到點。的距離大于I為事件A,則尸⑷=-------------=1—訪

(2)由題意,可知當蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的,所以由幾何概

1031

型的概率計算公式,知蜜蜂飛行是安全的概率為而=歷.

[答案](1)B(2)C

&由題悟法

與體積有關的幾何概型是與面積有關的幾何概型類似的,只是將題中的幾何概型轉化為

立體模式,至此,我們可以總結如下:

對于一個具體問題能否應用幾何概型概率公式,關鍵在于能否將問題幾何化;也可根據(jù)

實際問題的具體情況,選取合適的參數(shù),建立適當?shù)淖鴺讼?,在此基礎上,將試驗的每一個

結果一一對應于該坐標系中的一個點,使得全體結果構成一個可度量區(qū)域.

否以題試法

3.(2012?黑龍江五校聯(lián)考)在體積為,的三棱錐5-力弘的棱上任取一點P,則三

棱錐34吐的體積大于/勺概率是.

SA

解析:如圖,三棱錐A/6c的高與三棱錐&的高相同.作

于〃,BN1AC千N,則冏A可分別為△相,與△力6c的高,所以//\\

VS~APCS“KPM^PMAP1,、井口々回“AD1n.n*4^一二「絲二分。

京=寸麗又獷/所以時,滿足條件.設則戶屋[/

B

在初上,所求的概率^=^=|.

DAo

9

答案:鼻

O

1Hl解題訓練要高效抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

4級全員必做題

JlJI11

1.(2012?北京模擬)在區(qū)間一①,萬上隨機取一個x,sinx的值介于一]與g之間的

概率為()

12

--

2D.3

解析:選A由一]Vsinxvg,

1

JIJI6

得一/VxV/.所求概率為一3-

66Ji

2.(2012?遼寧高考)在長為12cm的線段28上任取一點C現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別

等于線段ZC3的長,則該矩形面積小于32cm?的概率為()

11

R

6-3-

24

C.D.7

T35

解析:選C設ZC=xcm,CB=(12—jr)cm,0<^r<12,所以矩形面積小于32cHi?即為x(12

—x)〈32n0〈x<4或8</12,故所求概率為得="|.

3.(2013?濱州模擬)在區(qū)間[0,1]上任取兩個數(shù)ab,則函數(shù)Ax)=/+ax+9無零

點的概率為()

12

2-3-

Ac.B.

3D.1

4-4-

解析:選c要使該函數(shù)無零點,只需a2—48<0,

即(a+26)(a-2-<0.

':a,Z?e[O,1],a+2b>0,

a—26Vo.

'OWdWl,

作出(0W6W1,的可行域,易得該函數(shù)無零點

的概率

—26Vo

11

1--X1X-

3

1><1-4,

4.(2012?北京西城二模)已知函數(shù)F(x)=kx+l,其中實數(shù)A隨機選自區(qū)間[—2,1].V

x£[0,1],F(x)20的概率是()

11

3-2-

23

C.-Dq

解析:選C由VxG[0,1],/'(x)得,有一1WZ1,所以所求概率

為三2

3-

5.(2012?鹽城摸底)在水平放置的長為5米的木桿上掛一盞燈,則懸掛點與木桿兩端

的距離都大于2米的概率為()

12

--

5B.5

解析:選A如圖,線段26長為5米,線段/C、劭長均E

為2米,線段切長為1米,滿足題意的懸掛點少在線段CDB

上,故所求事件的概率

5

6.(2012?沈陽四校聯(lián)考)一只昆蟲在邊長分別為6,8,10的三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行,則

其到三角形任一頂點的距離小于2的概率為()

JIJI

A——R——

1210

jiji

r—D—

624

解析:選A記昆蟲所在三角形區(qū)域為△/歐,且46=6,BC=8,CA=10,則有初+改

=Qf,ABLBC,該三角形是一個直角三角形,其面積等于;X6X8=24.在該三角形區(qū)域內(nèi),

j_i_D_I_「兀

到三角形任一頂點的距離小于2的區(qū)域的面積等于,2nXnX22=yX22=2m,因此所

求的概率等于*=會

y^xf

7.(2012?鄭州模擬)若不等式組—x,表示的平面區(qū)域為必3+/忘1所

、2x—p—3W0

表示的平面區(qū)域為N,現(xiàn)隨機向區(qū)域〃內(nèi)拋一粒豆子,則豆子落在區(qū)域4內(nèi)的概率為

JI

一一,兀4

解析:二?尸萬與y=—x互相垂直,二”的面積為3,而N的面積為了,所以概率為可=

JI

12,

JI

答案:^2

8.(2012?孝感統(tǒng)考)如圖所示,圖2中實線圍成的部分是長方體(圖1)的平面展開圖,

其中四邊形力及力是邊長為1的正方形.若向圖2中虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點,它

落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是:,則此長方體的體積是.

解析:設題圖1長方體的高為月,由幾何概型的概率計算公式可知,質(zhì)點落在長方體的

平面展開圖內(nèi)的概率P=—+?+4,+_=1解得h=3或Q—g(舍去),

故長方體的體積為IX1X3=3.

答案:3

9.(2012?宜春模擬)投鏢游戲中的靶子由邊長為1米的四方

板構成,并將此板分成四個邊長為9米的小方塊.試驗是向板中投

鏢,事件/表示投中陰影部分,則事件/發(fā)生的概率為.

解析:..?事件/所包含的基本事件與陰影正方形中的點一一

對應,事件組中每一個基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個點一

1

1

-

一對應.,由幾何概型的概率公式得尸(4)=4

I2

1

答幕4-

10.已知|x|W2,|y|W2,點戶的坐標為(x,y),求當x,ydR時,戶滿足(x—2)2+(y

—2/W4的概率.

解:如圖,點?所在的區(qū)域為正方形48切的內(nèi)部(含邊界),滿

足(x—2”+(y—2)2(4的點的區(qū)域為以⑵2)為圓心,2為半徑的圓°|2[|CJ

面(含邊界).2^

1

-X

4JI

故所求的概率A=4X4

6,

11.己知集合/=[—2,2],8=[—1,1],設〃={(x,y)\x^A,y^B\,在集合〃內(nèi)隨

機取出一個元素(x,y).

(1)求以(x,y)為坐標的點落在圓/+/=1內(nèi)的概率;

、歷

⑵求以(x,y)為坐標的點到直線x+y=O的距離不大于生的概率.

解:(1)集合〃內(nèi)的點形成的區(qū)域面積S=8.因Y+/=l的面積S=m,故所求概率為

(2)由題意巨獸

—1WX+J<1,形成的區(qū)域如圖中陰

C1

影部分,面積£=4,所求概率為片弋=5

12.(2012?長沙模擬)已知向量a=(—2,1),b=(x,y).

(1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點

數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù),求滿足—1的

概率;

(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,求滿足a?6<0的概率.

解:(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所包含的基本事件總數(shù)為6X6=

36個;

由a"b=~\有一2x+y=-l,

所以滿足a?6=-l的基本事件為(1,1),(2,3),⑶5)共3個.

31

故滿足a?b=-l的概率為法=/.

3b12

(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,則全部基本事件的結果為0={(x,

y)|1WXW6,1WJ^6};

滿足a-b<0的基本事件的結果為

A={(x,y)11WxW6,1且一2x+y<0};

畫出圖形,

矩形的面積為S矩形=25,陰影部分的面積為S陰影=25—2X2X4=

故滿足a?b<0的概率為二.

B級重點選做題

1.在區(qū)間[0,兀]上隨機取一個數(shù)x,則事件“sinx+/cosxWl”發(fā)生的概率為()

11

4-艮3-

Ac.

12

--

2D.3

解析:選C由sinx+/cosxWl得2sin[x+~^Wl,

即sin(x+~^W;.

JI「兀4兀一

由于x£[0,兀],故x+g£―,—,

,(幾\1JI5兀4兀rJI

因此當sinx+方W77時,x+~^V-亍1于是XG巨,

\<J7Zo

JI

兀一21

由幾何概型公式知事件“sinx+:cosxWl”發(fā)生的概率為々——-2-

'JI—(I

2.有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱,點。為這個圓柱底面圓的圓心,在這個

圓柱內(nèi)隨機取一點P,則點尸到點。的距離大于1的概率為.

解析:先求點尸到點。的距離小于或等于1的概率,圓柱的體積Xl2X2=2n,

以。為球心,1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積展球=/為XI=—.則點戶到點。的

2兀

3119

距離小于或等于1的概率為亡=于故點戶到點。的距離大于1的概率為1—石=》

/JIJ00

答案:2

3.(2012?晉中模擬)設48=6,在線段加上任取兩點(端點/、8除外),將線段四分

成了三條線段.

(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù),求這三條線段可以構成三角形的概率;

(2)若分成的三條線段的長度均為正實數(shù),求這三條線段可以構成三角形的概率.

解:(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù),則三條線段的長度的所有可能情況是

1,1,4;1,2,3;2,2,2共3種情況,其中只有三條線段長為2,2,2時,能構成三角形,故構

成三角形的概率為?=*

(2)設其中兩條線段長度分別為x,y,則第三條線段長度為6

0VxV6,

—x—y,故全部試驗結果所構成的區(qū)域為“<yV6,

,0V6—x—pV6,

0VxV6,

即|0<y<6,所表示的平面區(qū)域為△小方

、0<x+yV6

若三條線段x,、6—x—p能構成三角形,

x-\~y>&-X—y,x+y>3,

則還要滿足<x-\~&-x—y>y,即為,y<3,所表示的

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