2022年貴州省黔東南苗族侗族自治州東南州名校高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．3．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A． B． C． D．5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．46．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a7．已知，則（）A． B． C． D．8．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（）A． B．1 C． D．9．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．411．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．12．已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（）A． B． C． D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，四個(gè)黃球，從中任取四個(gè)球，則其中三種顏色的球均有的概率為________.14．函數(shù)的值域?yàn)開________．15．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為__________.16．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.18．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費(fèi)（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元，如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲，若購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元；若沒有購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？19．（12分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段，的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.21．（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線過橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，求的值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為；（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2）若直線與曲線交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到，由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等題.3．D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.4．D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長(zhǎng)為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長(zhǎng)為,因?yàn)閳A柱的表面積公式為，所以,解得,因?yàn)閳A柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握?qǐng)A柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.5．D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識(shí)，是一道中檔題.6．A【解析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,【詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時(shí)，g(x)<0，x>0時(shí)，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.7．C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).8．D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點(diǎn)，可得∴焦點(diǎn)為，即焦點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為，，，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).9．D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn)，而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn)，則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，；當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，即方程，在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想，屬于中檔題.10．D【解析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.11．C【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，計(jì)算，，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.12．B【解析】

根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個(gè)數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，1個(gè)白球和2個(gè)黃球，所以包含的基本事件個(gè)數(shù)m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【解析】

利用換元法，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域?yàn)椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進(jìn)而求出的取值范圍，可求得的范圍.【詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)殡S著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16．【解析】

解法一：曲線上任取一點(diǎn)，利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行，則，解得，當(dāng)時(shí)，到直線的距離；當(dāng)時(shí)，到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由已知線面垂直得，結(jié)合菱形對(duì)角線垂直，可證得線面垂直；（2）由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由已知線面垂直知與平面所成角為，這樣可計(jì)算出的長(zhǎng)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又因?yàn)椋矫?，平面，所以平?解：（2）據(jù)題設(shè)知，兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)榕c平面所成角為，即，所以又，所以，所以所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則.因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，且所以，．所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查用向量法求二面角．立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角，這樣可減少思維量，把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算．18．（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購(gòu)買了此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為∴(元).②若該老人沒有購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語言，為容易題.19．（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點(diǎn)R，連接，,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)R，連接，，則在中，，且，又Q是中點(diǎn)，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，，，分別為x，y，x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，取，得，又平面的一個(gè)法向量為，所以.因此，二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.20．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),H為OC的中點(diǎn),由E、F為DC、BC的中點(diǎn),再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面