初中定值問題

蘇州市2015—2016學年初三數學定值問題專題復習

課前演練：

一、選擇題

1.（2015?濰坊）如圖，直線1是一條河，A,B兩地相距5km,A,B兩地到1的距離分別為

3km,6km,欲在1上的某點M處修建一個水泵站，向A,B兩地供水，現有如下四種鋪設

方案，圖中實線表示鋪設的管道，則鋪設的管道最短的是（）

2.（2015?甘肅）如圖，A,B兩個電話機離電話線1的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由

1上一點分別向A,B連線，最短為（）

A.11米8.10米C.9米D.8米

3.如圖，AC±BC于C,連接AB,點D是AB上的動點，AC=6,BC=8,AB=10,則

點C到點D的最短距離是（）

4024

A.6B.8C.—Dr^-

P

~ABCD-，第6題圖）

4.（2015?貴陽模擬）如圖MZ\ABC中，AB=BC=4,D為BC的中點，在AC邊上存在一點

E,連接ED,EB,則aBDE周長的最小值為（）

A.2小B.2小C.2/+2D.2小+2

二、填空題

5.如圖，從直線外一點A到這條直線的所有線段中，線段最短.

6.如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是PB，理由是

7.如圖，在等腰三角形aABC中，ZABC=120°,P是底邊AC上的一個動點，M,N分

別是AB,BC的中點，若PM+PN的最小值是2,貝IJ/XABC的周長是

8.如圖，在菱形ABCD中，NBAD=60°，點M是AB的中點，P是對角線AC上的一個

動點，若PM+PB的最小值是9,則AB的長是.

9.如果P是邊長為2的正方形ABCD的邊CD上任意一點且PE±DB,PFXCA,垂足分別

為E,F,則PE+PF=

10.如圖，/ABC=45°，:BC=4、「，BD平分NABC交AC于點D,M,N分別是BD和

BC上的動點（M與B,D兩點不重合，N與B,C兩點不重合），則CM+MN的最小值是.

典型例題:

例1.小虎家新建一間房子，要在屋外的A處安裝水表，從大路邊到A處怎樣接水管最近?

把最短的線段畫出來，并簡要說明道理.

例2.等邊4ABC的邊長是8,AD±BC,E是BD的中點，M,N分別是AB,AD上的動

點，求MN+EN的最小值.

BEDC

例3.如圖，ZAOB=45°,P是NAOB內一定點，PO=10,Q,R分別是OA,OB上的

動點，求^PQ!^周長的最小值.（要求畫出示意圖，寫出解題過程）

例4.如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZA=135°，點P,M,N分別為對角線BD及邊

BC,CD上的動點，求PM+PN的最小值.

例5.如圖，正方形ABCD的邊長為4,ZDAC的平分線交DC于點E,若點P,Q分別是

AD和AE上的動點，求DQ+PQ的最小值.

鞏固練習：

一、填空題

1.在半。O中，點C是半圓弧AB的中點，D是弧BC上距離點B較近的一個三等分點，

點P是直徑AB上的動點，若AB=10,則PC+PD的最小值是.

2.（2015?株洲）如圖，AB是。O的一條弦，點C是。O上一動點，且/ACB=30°，點E,

F分別是AC,BC的中點，直線EF與。O交于G,H兩點，若。O的半徑為7,則GE+FH

的最大值為.

3.（2015?莆田）如圖，在反比例函數y=§上有兩點A（3,2）,B（6,1）,在直線y=-x上有

一動點P,當P點的坐標為時，PA+PB有最小值.

二、解答題

4.已知點M(3,2),N(1,-1)，點P在y軸上，求使得的周長最小的點P的坐標.

5.(2015?寧德)如圖，AB是。O的直徑，AB=8,點M在。O上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中點，P是直徑AB上的一動點.若MN=1,則aPNIN周長的最小值為多少.

V

B

6.(2015?永州模擬)如圖,已知拋物線y=ax?+bx+c經過A(—3,0),B(1,0),C(0,3)三

點，其頂點為D,對稱軸與x軸交于點H.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P是該拋物線的對稱軸上的一個動點，求aPBC周長的最小值.

7.小明在學習軸對稱的時候，老師留了一道思考題：如圖1,若點A,B在直線m的同側，

在直線m上找一點P，使得AP+BP的值最小，小明通過獨立思考，很快得出了解決這個

問題的正確方法，他的做法是這樣的：(a)作點B關于直線m的對稱點B，,(b)連接AB，與直

線m交于點P,則點P為所求.

請你參考小明的做法解決下列問題：

(1)如圖2,在等邊4ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點

P(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)，使得BP+PE的值最小，并求出最小值；

(2)如圖3,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,G為邊AD上的中點，若E,F為AB

邊上的兩個動點，點E在點F的左側，且EF=1,當四邊形CGEF的周長最小時，請你在

圖3中確定點E,F的位置(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)，并求出四邊形CGEF的

周長的最小值.

B'

ffll圖2圖3

8.(2015?大慶)如圖，拋物線y=-x?+4x+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.已知

M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),點P是第一象限內的拋物線上的動點.APCM是以CM為

底的等腰三角形.

(1)求點P的坐標；

(2)當a為多少時，四邊形PMEF周長最小.

拓展提局：

1.(2012年蘇州)如圖，已知半徑為2的。O與直線1相切于點A,點P是直徑AB左側半

圓上的動點，過點P作直線1的垂線，垂足為C,PC與。O交于點D,連接PA、PB,設

PC的長為x(2<x<4).

<1)當*=至時，求弦PA、PB的長度；

2

(2)當x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少?

2.(2012年蘇州)如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD

以lcm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終

與邊FG重合，連接CG,過點A作CG的平行線交線段GH于點P,連接PD.已知正方形

ABCD的邊長為1cm,矩形EFGH的邊FG,GH的長分別為4cm,3cm,設正方形移動時間

為x(s),線段GP的長為y(cm),其中04x42.5.

(1)試求出y關于x的函數關系式，并求當y=3時相應x的值；

(2)記4DGP的面積為Si，4CDG的面積為S2.試說明S「S2是常數；

(3)當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

中午作業(yè)：（分類練習）

一、定值問題解

1、如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0,4）,現有兩動點P、

Q,點P從點0出發(fā)沿線段0C（不包括端點0,C）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點C

運動，點Q從點C出發(fā)沿線段CD（不包括端點C,D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點

D運動.點P,Q同時出發(fā)，同時停止，設運動時間為t秒，當t=2秒時PQ=2，^.

（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍；

（2）連接AQ并延長交X軸于點E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點F,連接EF,則

的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數關系式；若不變化，求出S

的值.

（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？

2、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120",4AEF為正三角形，點E、F分別在菱

形的邊BC.CD上滑動，且E、F不與B.C.D重合.

（1）證明不論E、F在BC.CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC.CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和4CEF的面積是否發(fā)生變化？

如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?

二、由運動產生的線段和差問題（最值問題）

3、如圖所示，已知A(；,yJ,B(2,y2)為反比例函數y=,圖像上的兩點，動

點P(x,O)在x正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是【】

135

A.(-,0)B.(1,0)C.(-,0)D.(-,0)

4、如圖，拋物線1交x軸于點A(-3,0)、B(1,0),交y軸于點C(0,-3).將拋物線

1沿y軸翻折得拋物線li.

(1)求L的解析式；

(2)在L的對稱軸上找出點P,使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出

理由；

5、如圖，已知拋物線y=-x,+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交

于點N.其頂點為D.

(1)拋物線及直線AC的函數關系式；

(2)設點M(3,m),求使MN+MD的值最小時m的值；

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作EF〃BD

交拋物線于點F,以B,D,E,F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若

不能，請說明理由；

(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求AAPC的面積的最大值.

回家作業(yè)：(壓軸題訓練)

1、如圖，已知拋物線y=ax?+bx+c經過A(4,0),B(2,3),C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式及對稱軸.

(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使得MA+MB的值最小，并求出點M的坐標.

(3)在拋物線上是否存在一點P,使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形?

若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2.(2012四川自貢12分)如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,ZXAEF為

正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC.CD上滑動，且E、F不與B.C.D重合.

(1)證明不論E、F在BC.CD上如何滑動，總有BE=CF；

(2)當點E、F在BC.CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和4CEF的面積是否發(fā)生變

化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大(或最小)值.

3.(2015?常州10分)如圖，一次函數y=-x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B,

過點A作x軸的垂線1,點P為直線1上的動點，點Q為直線AB與4OAP外接圓的交點，

點P、Q與點A都不重合.

(1)寫出點A的坐標；

(2)當點P在直線1上運動時，是否存在點P使得ACQB與4APQ全等？如果存在，求出

點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

(3)若點M在直線1上，且NPOM=90。，記AOAP外接圓和AOAM外接圓的面積分別是

Si、S2，求卷號的值.

參考答案：

課前演練：_

1.B；2.B；3.D；4.C；5.AD；6.垂線段最短;7.4+2\/3；8._6^/3；9._^2；10.，；

2典型例題：

例1.解：如圖所不：

沿AB線段接水管最近，因為直線外一點與直線的所有連接線段中，垂直線段最短

（例1答圖）8ADHC（例2答圖）\1（例3答圖）

例2.解：作點E關于AD的對稱點H,過點H作HGXAB于G,則MN+EN的最小值是

GH

HG,RtAHBG中，sin60°=,解得，GH=3'\/3。

例3.解：分別作點P關于OA,OB的對稱點M,N,連接OM,ON,MN,MN交OA,

OB于點Q,R,連接PR,PQ,此時△PQR周長的最小值等于MN.由軸對稱性質可得，OM

=ON=OP=10,NMOA=NPOA,ZNOB=ZPOB,/.ZMON=2ZAOB=2X45°=

90°,在RtZ\MON中，MN=^/OM2+ON2=1（h/2,即△PQR周長的最小值等于1即。

例4.解：過點M作關于BD的對稱點Mi,連接MjN交BD于點P,連接PM,則PM+

PN的最小值就是MiN，過點C作CHLAB于點H,則MN>CH,VZA=135°，,ZHBC

=45°，:四邊形ABCD是菱形，,AB=BC=4,由三角函數的定義有，加45°=*,

二坐=￥，解得，CH=2陋,即PM+PN的最小值為2巾o

B\lC（例4答圖）B「（例5答圖）

例5.解：作D關于AE的對稱點D,再過D作DP_LAD于P',VDD,±AE，二ZAFD

NAFD',VAF=AF,/DAE=/CAE，二△DAFgZXD'AF，,D'是D關于AE的對

稱點，AD'=AD=4,P'即為DQ+PQ的最小值，：四邊形ABCD是正方形，二

/DAD'=45°,.*.AP,=P'D'，，在RtZkAP'D‘中，P'D'2+AP,2=AD,2,ADZ

2=16,VAP,=P'D',2P'D'2=AD'2,即2P'D'2=16,：.P'D'=2小,即DQ+PQ

的最小值為2吸

鞏固練習：

1._W1；2._?_；3.,—多點撥:設A點關于直線y=—X的對稱點為A，,連接AB,

交直線y=-x為P點，此時PA+PB有最小值，VA點關于直線y=-x的對稱點為"，

—3=—2k+b

A(3,2),???A'(―2,-3),設直線AB的直線解析式為y=kx+b,\'解得

l=6k+b,

f1-

丫=/一

k=T,b=—2，，直線AB解析式為y=1x—2,聯立＜2,44

解得x=§,y=—§,即P

、y=-x，

點坐標(g,—,故答案為g,—1)o

4.解：作出M關于y軸的對稱點連接NM\與y軸相交于點P,則P點即為所求，

2=-3k+b,31

設過NM，兩點的直線解析式為y=kx+b(kWO)，貝匹解得k=-T,b=一公，故

T=k+b,

此一次函數的解析式為y=—1x—1,因為b=一；,所以P點坐標為(0,—1)o

5.解：作N關于AB的對稱點N，,連接MN-NN',ON',OM,ON,VN關于

AB的對稱點N，,...MN'與AB的交點P，即為△PMN周長最小時的點，：N是弧MB

的中點，/.ZA=ZNOB=ZMON=20°,-,.ZMON,=60°,/.△MON,為等邊三

角形，...MN'=OM=4,.?.△PMN周長的最小值為4+1=5

圖)

a+b+c=O,

6.解：(1)把A(—3,0),B(1,0),C(0,3)三點坐標代入y=ax?+bx+c中A9a-3b+c=0,

、c=3,

a=-1,

解得1b=—2,即拋物線的解析式是y=-x?—2x+3

、c=3,

(2)如圖，Z\PBC的周長=PB+PC+BC,VBC是定值，，當PB+PC最小時，Z\PBC

的周長最小.A,B兩點關于對稱軸對稱，連接AC,交對稱軸于點P,點P即為所求，-/

AP=BP,APBC的最小周長=PB+PC+BC=AC+BC,VA(-3,0),B(1,0),C(0,3),

AAC=3^2,BC=V10,APBC的最小周長=3陋+JT5。

7.解：(1)如圖2,作點E關于AD的對稱點F,交AC于點F,連接BF,交AD于點

P,連接PE,點P即為所求.在等邊AABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD

是高，，F是AC的中點，,BFLAC于點F,/.BP+PE的最小值=BF=聲，=5(2)

如圖3,作點G關于AB的對稱點M,在CD上截取CH=1,連接MH,交AB于點E,在

BE上截取EF=1,連接CF，則E,F為所求，VAB=4,BC=6,G為邊AD上的中點，

AEAMAE3

???DG=GA=AM=3,VAE//DH,AAMAE^AMDH，，==次，;kF,，AE=

UrlU1V1Jy

1..在RdGAE皿ACDG中，分別由勾股定理解得,GE=^/AE2+AG2=A/12+32

=V10，CF=^BF2+BC2=^/22+62=2VTb,CG=^DG2+DC2=5,四邊形GEFC的周

長的最小值=GE+EF+FC+CG=415+l+2，T5+5=6+3710

8.解：(l)Vy=-x2+4x+5與y軸交于點C,...點C的坐標為(0,5)又：M(O,1),APCM

是以點P為頂點的等腰三角形，二點P的縱坐標為3，令y=—x?+4x+5=3解得x=2i\同,

:點P在第一象限，；.P(2+優(yōu),3)

(2)四邊形PMEF的四條邊中，PM,EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF

的周長將取得最小值，將點M向右平移1個單位長度(EF的長度)，得,1)，作點Mi

關于X軸的對稱點M,,則M2(l,-1),連接PM2,與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2

最小，設直線PM2的解析式為y=mx+n,將P(2+&，3),M2(l,—1)代入得:

4^/6-4

(2+-J6)m+n=3m-5,??.yg工-吟,當y=0時，解得

,,解得：5

m+n=—1-4^6-155

「5

x=加J5.5,0),VF(a+l,0),■時,四邊形PMEF周長

(拓展2答

1.解：(1):。O與直線1相切于點A,且AB為。O的直徑，.-.ABXL又：PC，1,

；.AB〃PC,/.ZCPA=ZPAB,：AB是。O的直徑，ZAPB=90°,又PC_LL

AZPCA=ZAPB=90°,AAPCA^AAPB,，匹二生，即PA2=PC?AB,；PC=2AB=4,

APAB2

.?.PA=J|x4=gi，，RdAPB中，AB=4,PA=V10,由勾股定理得：PBR”-10=加;

(2)過O作OE_LPD,垂足為E,：PD是。O的弦，OE_LPD,.\PE=ED,

XZCEO=ZECA=ZOAC=90°,四邊形OACE為矩形，.,.CE=OA=2,又PC=x,

；.PE=ED=PC-CE=x-2,；.CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,

；.PD?CD=2(x-2)?(4-x)=-2X2+12X-16=-2(x-3)2+2,

：2<x<4,...當x=3時，PD?CD的值最大，最大值是2.

2.解：(1)VCG/7AP,.?.△GCD^AAPG,，包=匹，VGF=4,CD=DA=1,AF=x,

GDAG

/.GD=3-x,AG=4-x,=~,即y=^——；.y關于x的函數關系式為y=———

3_x4-x3-x3-x

當y=3時，12^=3,解得x=2.5,經檢驗的x=2.5是分式方程的根.故x的值為2.5；

3-x

(2),/SI=-1GP?GD=A.-1Z^.(3-x)S7=AGD?CD=1(3-x)1=—

223-x2222

ASi-S2=g=-即為常數；

222

(3)延長PD交AC于點Q.：正方形ABCD中，AC為對角線，；./CAD=45。，

VPQXAC,?.NADQ=45。，ZGDP=ZADQ=45°..,.△DGP是等腰直角三角形,則GD=GP,

；.3-xJ——化簡得：x2-5x+5=0.解得：x=』一"1，,V0<x<2.5,

3-x2

GD

Ax-5一泥，在RtADGP中,PD-O=42(3-x)=V2+Vlp

2cos452

中午作業(yè)：

1.【答案】解：(1)由題意可知，當t=2(秒)時，0P=4,CQ=2,在RtZXPCQ中，由勾股定

理得:PC=7PQ2-CQ2=^(2A/5)2-22=4,.*.0C=0P+P.C=4+4=8o又：矩形AOCD,A(0,4),

AD(8,4)o

t的取值范圍為：0<t<4。

(2)結論:Z\AEF的面積S不變化。YAOCD是矩形，；.AD〃OE,.,△AQDsZXEQC。*=出，

ADDQ

即解得CE=d。由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4—t,則CF=CD+DF=8—t。

84-t4-t

S=S梯形AOCF+SAFCE-SAAOE--(OA+CF)?OC+-CF-CE--OA*OE=-[4+(8-t)]X8+-(8

22222

Q+1Q+

-t)?——--X4X(8+——)。化簡得：S=32為定值。所以4AEF的面積S不變化，

4-t24-t

S=32。

(3)若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQ〃AF。由PQ〃AF可得：

△CPQ^ADAFo

ACP：AD=CQ：DF,即8-2t：8=t：4-t,化簡得t2-12t+16=0,解得：匕=6+2石，tZ=6—2/。

由(1)可知，0<t<4,.,.如=6+26不符合題意，舍去。二當t=6-2行秒時，四邊形APQF

是梯形。

2.【答案】解：(1)證明：如圖，連接AC。

,四邊形ABCD為菱形，ZBAD=120°,

ZBAE+ZEAC=60°,ZFAC+ZEAC=60°,AZBAE=ZFACO

VZBAD=120°,；./ABF=60°。,ZiABC和AACD為等邊三角形。

AZACF=60°,AC=ABoAZABE=ZAFC?

二在AABE和AACF中，ZBAE=ZFAC,AB=AC,ZABE=ZAFC,

/.△ABE^AACF(ASA)o；.BE=CF。

(2)四邊形AECF的面積不變，ACEF的面積發(fā)生變化。理由如下:

由（1）得4ABE絲zXACF,貝ISAABE=S.CF。

S四邊形AECF二S4AEc+S^ACF二S/kAEc+S^ABE二SaABC,是定值。

作AHLBC于H點，則BH=2,

s四邊形AECF=SAABC=；?BC?AH=gBC?VAB2-BH2=4百。

由''垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短.

故4AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小,

又SACEF-S四邊形AECF-SAAEF,則此時4CEF的面積就會最大.

—

SACEF—S四邊形AECFSAAEF—4-\/3,2-\/3,=y/3o

/.△CEF的面積的最大值是由o

3.【答案】Do

【考點】反比例函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，三角形三邊關系。

【分析】???把A(g,yJ,B(2,y?)分別代入反比例函數y=：得:

.*?A(—，2),B(2,—)o

22

?.?在4ABP中，由三角形的三邊關系定理得：|AP-BP|<AB,

延長AB交x軸于P'，當P在P'點時，PA-PB=AB,

即此時線段AP與線段BP之差達到最大。

1,

2=-k+bk=-l

設直線AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐標代入得:，解得：5直

b=一

—=2k+b2

2i

線AB的解析式是y=-x+3。當y=0時，x=-BPP(-,0)。故選D。

222

4.【答案】解：(1)如圖1,設經翻折后，點A.B的對應點分別為A1、BL

依題意，由翻折變換的性質可知4(3,0),Bj(-1,0),C點坐標不變,

二拋物線L經過&(3,0),Bi(-1,0),C(0,-3)三點,

設拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c,則

9a+3b+c=0a=l

<a-b+c=0,解得<b——2o

c=-3c=-3

???拋物線li的解析式為：y=x2-2x-3o

b-2

(2)拋物線li的對稱軸為：x-------........=1,

2a2

如圖2,連接RC并延長，與對稱軸x=l交于點P,則點P即為所求。

此時，|PAi-PC|=|PBi-PC|=BiCo

設P，為對稱軸x=l上不同于點P的任意一點，

則有：|P'A-P，C\=\P'Bi-P，C|VBiC(三角形兩邊之差小于第三邊),

??.|P，A-PzC|<|PAi-PC|,即|PAi-PC|最大。

—k+b=O

設直線BiC的解析式為尸kx+b,則

b=-3

解得k=b=-3。???直線BiC的解析式為：y=-3x-3O令x=l,得y=-6。，P(1,-6)。

5.【答案】解：(1)由拋物線y=-x2+bx+c過點A(-1,0)及C(2,3)得,

-l-b+c=0解得仁。

/.拋物線的函數關系式為y=-x2+2x+3=

-4+2b+c=3

設直線AC的函數關系式為丫=1?+11,由直線AC過點A(-1,0)及C(2,3)得:

-k+n=0k=l

,解得

2k+n=3n=l

二直線AC的函數關系式為y=x+lo

(2)作N點關于直線x=3的對稱點N，,

令x=0,得y=3,即N(0,3)o

???N，(6,3)

由y=-x?+2x+3=-(x-l/+4得：D(1,4)o

C6w~|~t—3

設直線DM的函數關系式為產sx+t,貝IJ：~,解得<

[s+t=4

121

故直線DN，的函數關系式為丫=-^x+E。

根據軸對稱的性質和三角形三邊關系，知當M(3,m)在直線DN'上時，MN+MD的值最小，

1?11812

Am=——x3+—=一。.,.使MN+MD的值最小時m的值為一。

5555

(3)由⑴、(2)得D(1,4),B(1,2),

①當BD為平行四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標知，四邊形BCDN是平行四邊形,

此時，點E與點C重合，即E(2,3)o

②當BD為平行四邊形邊時，?:點E在直線AC上，.,?設E(x,x+1),則F(x,-X?+2x+3)。

2

又,.?BD=2,?,?若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EFOA|-x+2x+3-(x+l)|=2,

即卜x，+x+2卜2。若一x2+x+2=2,解得，x=0或x=l(舍去)，AE(0,l)o

(4)如圖，過點P作PQ，x軸交AC于點Q；過點C作CG，x軸于點G,

2

設Q(x,x+1),則P(x,-X+2X+3)O

PQ=(-x2+2x+3)-(x-1)=-x2+x+2o

+

*e,SAAPC=^AAPQSACPQ--PQ,AG

=—(-x2+x+2)x3=-—(x--)2+—o

2228

3127

???—-<0,?,?當x=—時，AAPC的面積取得最大值，最大值為一。

228

回家作業(yè)：(壓軸題訓練)

1.【答案】解：(1),/拋物線y=ax2(4,

0),B(2,3),C(0,3)三點，

r3

a=——

16a+4b+c=08

3

<4a+2b+c=3,解得b=2o

4

c=3

c=3

???拋物線的解析式為:y=——x2+—x+3,其對稱軸為：x=——=1o

842a

(2)由B(2,3),C(0,3),且對稱軸為x=L可知點B、C是關于對稱軸x=l的對稱點。

如圖1所示，連接AC,交對稱軸x=l于點M,連接MB,則MA+MB=MA+MOAC,根據兩點之

間線段最短可知此時MA+MB的值最小。設直線AC的解析式為尸kx+b,

VA(4,0),C(0,3),A，k+b=O,解得<卜=一晨...直線AC的解析式為：y=_2x

b=3ic4

+3o

9

得一Q

令x=l,4-?'?M點坐標為(1,-)

4o

(3)結論:存在。

如圖2所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：

①若BC〃APi,此時梯形為ABCPio

由B(2,3),C(0,3),可知BC〃x軸，

則x軸與拋物線的另一個交點P1即為所求。

在丫二一一X?+—x+3中令y=0,解得xi=-2,X2=4O

84

APi(-2,0)oVPiA=6,BC=2,「.PiAWBC。,四邊形ABCPi為梯形。

②若AB〃CP2,此時梯形為ABCP2。設CP2與x軸交于點N,???BC〃x軸，AB〃CP2,???四邊形

ABCN為平行四邊形。.'.AN=BC=2。.??N(2,0)o設直線CN的解析式為尸kix+bi,則有:

J2ki+bi1=0,解得k=—2。J直線CN的解析式為：y二一3士x+3。

瓦二3k22

-1[b=3

??,點P2既在直線CN：y=——x+3±,又在拋物線：y=—x2+-x+3±,

284

——x+3=——x2+—x+3,化簡得：x2—6x=0,解得xi=O(舍去)，xz=6。

284

.?.點P2橫坐標為6,代入直線CN解析式求得縱坐標為一6。；.P2(6,—6)。

VQABCN,.*.AB=CN,而CPzWCN,.*.CP2^ABo四邊形ABCP2為梯形。

綜上所述，在拋物線上存在點P,使得以點A、B、

點P的坐標為(-2,0)或(6,—6)o

2.【答案】解：(1)證明：如圖，連接AC

:四邊形ABCD為菱形，ZBAD=120°,

ZBAE+ZEAC=60°,ZFAC+ZE