云南省臨滄市云縣2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

2023-2024學年云南省臨滄市云縣高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量即可求得，進而得.【詳解】因為，所以，，故，所以.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合，根據(jù)交集的定義即可.【詳解】由題意可知，，，所以.故選：B.3.已知以坐標軸為對稱軸，原點為對稱中心，其中一條漸近線為，則此雙曲線的離心率為（）A. B.2 C.2或 D.2或【答案】D【解析】【分析】分焦點在x軸上和y軸上討論求解即可.【詳解】當焦點在x軸上時，可得，則；當焦點在y軸上時，可得，則.綜上，雙曲線的離心率為2或.故選：D.4.清華大學、北京大學、上海交通大學、復旦大學均有數(shù)學強基招生計劃，若某班有4位學生每人從上述四所學校中任選一所報名，則恰有一所學校無人選報的不同方法數(shù)共有（）A.96 B.144 C.168 D.288【答案】B【解析】【分析】先將4人分為3組一組2人，另外兩組各一人，再分配進行求解.【詳解】將4位同學分為的分組，再分配到4所學校中的3所，共有種方法.故選：B.5.已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率約為，和.若某校高一年級名學生的某次考試成績服從正態(tài)分布，則此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學生大約有（

）A.780人 B.763人 C.655人 D.546人【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出，即可估計人數(shù).【詳解】依題意，所以，，則，，所以，所以此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學生大約有（人）.故選：C6.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：已知正整數(shù)p（p＞1）滿足二二數(shù)之剩一，三三數(shù)之剩一，將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則的最小值為（）A.16 B.22 C.23 D.25【答案】B【解析】【分析】由已知先求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項公式與求和公式，以及基本不等式即可求解．【詳解】因為二二數(shù)之剩一的數(shù)為的形式，三三數(shù)之剩一的數(shù)為的形式，其中，則數(shù)列的項即為以上兩類數(shù)的公共項，即為的形式，，即，因，故數(shù)列是等差數(shù)列，于是，，則當且僅當，即時取等號．即時，取得最小值22.故選：B．7.已知，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷出為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，將所求不等式利用函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性解得答案.【詳解】定義域為R，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因為，時，，時，，故，所以在上單調(diào)遞增，則不等，即解得:.所以不等式的解集為.故選：C.8.在正方體中，平面經(jīng)過點，平面經(jīng)過點，當平面分別截正方體所得截面面積最大時，平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因為正方體中過體對角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，建立空間直角坐標系，求得即可.【詳解】如圖：因為正方體中過體對角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，以點為坐標原點，以的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，由為正方體，設棱長為，，所以四邊形為正方形，所以，又因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，即為平面的一個法向量，同理為平面的一個法向量，由，知，設平面與平面的夾角為，，則.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（多選）某商家統(tǒng)計了最近5個月某產(chǎn)品的銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）時間x12345銷售量y/萬只54.543.52.5A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關(guān)B.當時，殘差為0.2C.可以預測當時銷量約2.1萬只D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解.【詳解】對于A，由題中數(shù)據(jù)可知，隨著x變大，變小，則變量y與x負相關(guān)，故A正確；對于D，由表中數(shù)據(jù)可知，，，又因為，則，解得,故D正確；對于B，當時，殘差為,故B錯誤；對于C，當時，，故可以預測當時銷量約為2.1萬只，故C正確.故選：ACD.10.（多選）已知函數(shù)，則（）A.當時，上單調(diào)遞減B.當時，在上恒成立C有2個零點，則D.有極值，則【答案】AC【解析】【分析】對于A，當時，利用f'x<0時，，即可判斷；對于B，利用，即可判斷；對于C，討論的單調(diào)性，令，即可判斷；對于D，利用當時，的單調(diào)性即可判斷.【詳解】對于A，B選項，，，當時，f'x<0，單調(diào)遞減；當時，f'x>0∴，∴；故A正確，B錯誤；對于C選項，，當時，f'x>0，當時，令，得，當時，f'x<0，時，f'x>0，故，若有2個零點，則只需，解得，故C正確；根據(jù)選項C分析，結(jié)合極值概念可知，時，有唯一的極小值，故D錯誤.故選：AC.11.（多選）數(shù)列滿足且，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，可得，，可判斷ABD；由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可判斷D.【詳解】對于A，由且，可得，而A選項中，，顯然不符合，A錯誤；對于B，，即有，可得，即，，則，而B選項中，，顯然不符合，B錯誤；對于D，由B可知，故D正確；對于C，，故C正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知虛數(shù)，，______（寫出一個符合題意的即可）.【答案】i【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)實部的定義，即可求解.【詳解】由，得，又，則且，令，，故符合題意.故答案為：i（答案不唯一）.13.已知拋物線C：y2=2pxp>0，O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點A，B為拋物線上兩點，且滿足，過原點O作交AB于點D，若點D的坐標為，則拋物線C的方程為【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立借助韋達定理、向量垂直的坐標表示求解作答.【詳解】直線OD的斜率為，而，則直線AB的方程為，即，由消去x并整理得：，設，則，則，則，解得，所以拋物線C的方程為.故答案為：14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則________，方程的解為________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期及、、，進而求出解析式，再將方程等價變形為，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，因為，則，則，因為，所以，又，則，方程，得，即，即，所以或，所以，解得，故方程的解為.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某商場舉辦摸球答題贏購物券活動，顧客在商場內(nèi)消費達到一定金額即可參與．一次摸球答題活動中，顧客在裝有1個黑球和4個白球的盒子中隨機摸一個球（每個球除顏色外完全相同），若摸到黑球，在A類題目中任抽一個回答，答對可獲得一張購物券；若摸到白球，在B類題目中任抽一個回答，答對可獲得一張購物券．假設每次摸球互不影響，且回答的題目不會重復．已知小明答對每個A類題目的概率均為，答對每個B類題目的概率均為．（1）若小明在一次活動中獲得了購物券，求他在摸球時摸到的是黑球的概率；（2）若小明連續(xù)參與三次活動共獲得了X張購物券，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見詳解；【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式求出小明獲得購物券概率，再利用條件概率公式計算；（2）根據(jù)題意，，列出分布列，求出數(shù)學期望.【小問1詳解】設事件：小明在摸球時摸到的是黑球，事件：小明獲得購物券，則，，，，所以，則小明在獲得了購物券的條件下，摸到的是黑球的概率為.【小問2詳解】由（1）小明在一次活動中獲得購物券的概率為，則，所以的分布列為，則0123所以得數(shù)學期望為.16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若成等差數(shù)列，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用余弦定理求得的值，進而利用三角形的面積公式求解；（2）根據(jù)已知條件代入，并用三角恒等變換化簡求得A，再利用正弦定理求解.【小問1詳解】因為成等差數(shù)列，所以，又，所以①，在中，由余弦定理可得：，又，所以②，由①②得，所以的面積.【小問2詳解】因為，所以，又因為且，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.17.如圖，在三棱錐中，，，點O是的中點，平面.（1）求；（2）點M在直線上，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）分別利用勾股定理得出，結(jié)合在直角中，，即可求解；（2）以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐的體積.【小問1詳解】因為，點O是的中點，所以，在直角中，，又平面，平面，所以，在直角中，，又因為，所以，在直角中，，所以，解得，所以.【小問2詳解】如圖：以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，由題意平面的一個法向量為，設，，則，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，因為二面角的正弦值為，結(jié)合圖和已知得二面角的平面角為，所以，化簡得，解得或（舍去），所以，所以，所以，所以三棱錐的體積為.18.已知M為圓上一個動點，垂直x軸，垂足為N，O為坐標原點，的重心為G.（1）求點G的軌跡方程；（2）記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A、B兩點，點，若點恰好是的垂心，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，根據(jù)為的重心，得，代入，化簡即可求解.（2）根據(jù)垂心的概念求得，設直線方程，與橢圓聯(lián)立韋達定理，利用得，將韋達定理代入化簡即可求解.【小問1詳解】設，則，因為的重心，故有：，解得，代入，化簡得，又，故，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】因為的垂心，故有，又，所以，故設直線的方程為，與聯(lián)立消去得：，由得，設，則，由，得，所以，所以，所以，化簡得，解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.19.英國物理學家、數(shù)學家艾薩克·牛頓與德國哲學家、數(shù)學家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨立發(fā)明了微積分，其中牛頓在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.如圖，具體做法如下：一個函數(shù)的零點為，先在軸找初始點，然后作y=fx在點處切線，切線與軸交于點，再作y=fx在點處切線，切線與軸交于點，再作y=fx在點處切線，以此類推，直到求得滿足精度的零點近似解為止.（1）設函數(shù)，初始點，精度，若按上述算法，求函數(shù)的零點近似解滿足精度時的最小值（參考數(shù)據(jù)：）；（2）設函數(shù)，令，且，若函數(shù)，，證明：當時，.【答案】（1）3（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在時的切線方程，然后令，求出的滿足題意的近似值即可；（2）由曲線在，處的切線方程得到切線與軸交點橫坐標為，再由函數(shù)，得到，，進而得到，曲線的一條切線方程為，然后將問題轉(zhuǎn)化為．【小問1詳解】令，解得，即由函數(shù)，則，當，則切線斜率，且，那么在點處的切線方程為，令，切線與軸的交點橫坐標為，因為，當，則切線斜率，且，那么在點處的切線方程為，令，切線與軸的交點橫坐標為，因為，函數(shù)的零點近似解滿足精度時的最小值為3.【小問2詳解】曲線在處的切線為，所以切線與軸交點橫坐標為，當函數(shù)時，即，得，又，則，，故，曲線的一條切線方程為，要證：當時，，即證：，即，又，故曲線在處的切線方程為，因為，故可猜測：當且