人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 5.5.1　第1-3課時(shí)　三角函數(shù) 兩角差的余弦公式

第1課時(shí)兩角差的余弦公式三角函數(shù)兩角差的余弦公式1.15°角是特殊角嗎?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和與差來(lái)表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°嗎?提示:15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差來(lái)表示15°,例如15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos

45°-cos

30°.2.觀察下表中的數(shù)據(jù),你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:cos(60°-30°)=cos

60°cos

30°+sin

60°sin

30°;cos(120°-60°)=cos

120°cos

60°+sin

120°sin

60°.3.填空(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(2)此公式簡(jiǎn)記作C(α-β).(3)使用條件:α,β都是任意角.4.做一做(1)cos15°=

.

(2)cos75°cos15°+sin75°sin15°=

.

探究一探究二探究三隨堂演練利用兩角差的余弦公式解決給角求值問(wèn)題例1求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;分析:對(duì)于(1),應(yīng)利用誘導(dǎo)公式將-375°轉(zhuǎn)化為銳角再變?yōu)閮商厥饨侵钊缓罄霉接?jì)算;對(duì)于(2),將sin

195°轉(zhuǎn)化為-sin

15°,再套用公式計(jì)算;對(duì)于(3),可將α+45°當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)處理;對(duì)于(4),應(yīng)將

分別轉(zhuǎn)化為cos

60°,sin

60°,然后套用公式計(jì)算.探究一探究二探究三隨堂演練探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟

利用公式C(α-β)求值的方法技巧在利用兩角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí),要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差(或同一個(gè)非特殊角與特殊角的差),利用公式直接化簡(jiǎn)求值,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,正確地順用公式或逆用公式來(lái)求值.探究一探究二探究三隨堂演練變式訓(xùn)練1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解:(1)sin

46°cos

14°+sin

44°cos

76°=sin(90°-44°)cos

14°+sin

44°cos(90°-14°)=cos

44°cos

14°+sin

44°sin

14°=cos(44°-14°)=cos

30°=.(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos

[(θ+70°)-(θ+10°)]=cos

60°=.探究一探究二探究三隨堂演練利用兩角差的余弦公式解決給值求值問(wèn)題分析:對(duì)于(1),可根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式求出cos

α,sin

β的值,然后利用兩角差的余弦公式展開(kāi)后代入即得;對(duì)于(2)可考慮將β表示為(α+β)-α,然后展開(kāi),再結(jié)合同角的關(guān)系公式進(jìn)行求解.探究一探究二探究三隨堂演練探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角.(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的,因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見(jiàn)角的變換有:探究一探究二探究三隨堂演練探究一探究二探究三隨堂演練利用兩角差的余弦公式解決給值求角問(wèn)題分析:利用兩角差的余弦公式,求出cos(α-β)的值,然后根據(jù)α-β的范圍求出α-β的值.探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟

解決三角函數(shù)給值求角問(wèn)題的方法步驟(1)確定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某種三角函數(shù)值,為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù);(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.探究一探究二探究三隨堂演練探究一探究二探究三隨堂演練1.cos50°=(

)A.cos70°cos20°-sin70°sin20°B.cos70°sin20°-sin70°cos20°C.cos70°cos20°+sin70°sin20°D.cos70°sin20°+sin70°cos20°解析:cos

50°=cos(70°-20°)=cos

70°cos

20°+sin

70°sin

20°.答案:C答案:C探究一探究二探究三隨堂演練答案:B探究一探究二探究三隨堂演練第2課時(shí)

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式三角函數(shù)一二三四一、兩角和的余弦公式1.由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ以及誘導(dǎo)公式sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,能否將cos(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?提示:cos(α+β)=cos

[α-(-β)]=cos

αcos(-β)+sin

αsin(-β)=cos

αcos

β-sin

αsin

β2.填空cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

一二三四二、兩角和與差的正弦公式同理,由sin(α+β)=sin

[α-(-β)],可推得sin(α+β)=sin

αcos

β+cos

αsin

β.2.填空(1)sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

(2)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

一二三四3.判斷正誤(1)sin(α-β)=sinαcosα-cosβsinβ.(

)(2)sinα+sinβ=sin(α+β).(

)(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cosβ+cos(α-15°)sinβ.(

)(4)sin15°+cos15°=sin60°.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)√一二三四三、兩角和與差的正切公式1.(1)求tan15°的值.一二三四一二三四答案:3一二三四四、兩角和與差的三角函數(shù)公式1.表格.一二三四2.做一做(1)sin75°=

.

(2)cos77°cos43°-sin77°sin43°=

.

探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練化簡(jiǎn)與求值例1化簡(jiǎn)下列各式:探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(5)∵(1+tan

21°)(1+tan

24°)=1+tan

21°+tan

24°+tan

21°tan

24°=1+tan(21°+24°)(1-tan

21°tan

24°)+tan

21°tan

24°=1+(1-tan

21°tan

24°)tan

45°+tan

21°tan

24°=1+1-tan

21°tan

24°+tan

21°tan

24°=2.同理可得(1+tan

22°)(1+tan

23°)=2,∴原式=2×2=4.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.公式的巧妙運(yùn)用①順用:如本題中的(1);②逆用:如本題中的(2);③變用:變用涉及兩個(gè)方面,一個(gè)是公式本身的變用,如cos(α+β)+sin

αsin

β=cos

αcos

β,一個(gè)是角的變用,也稱(chēng)為角的拆分變換,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,從某種意義上來(lái)說(shuō),是一種整體思想的體現(xiàn),如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.這些需要在平時(shí)的解題中多總結(jié)、多研究、多留心,唯其如此才能在解題中知道如何選擇公式,選擇哪一個(gè)公式會(huì)更好.需要說(shuō)明的是,(4)運(yùn)用到了切化弦,將特殊值

化為tan

60°等,為此可以熟記一些常見(jiàn)的特殊角的函數(shù)值,如1=sin

90°=cos

0°=tan

45°,=tan

60°等.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用兩角和與差的三角函數(shù)公式解決給值求值問(wèn)題(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值;(3)求tanα的值.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

給值求值的解題策略在解決此類(lèi)題目時(shí),一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧,同時(shí)分析角之間的關(guān)系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:(1)當(dāng)條件中有兩角時(shí),一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.(2)當(dāng)已知角有一個(gè)時(shí),可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:(1)0

(2)D探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用兩角和與差的三角函數(shù)公式解決給值求角問(wèn)題探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí),一般先求出該角的某個(gè)三角函數(shù)值,再確定該角的取值范圍,最后得出該角的大小.至于求該角的哪一個(gè)三角函數(shù)值,這要取決于該角的取值范圍,然后結(jié)合三角函數(shù)值在不同象限的符號(hào)來(lái)確定,一般地,若θ∈(0,π),則通常求cos

θ,若θ,則通常求sin

θ,否則容易導(dǎo)致增解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練忽視隱含條件致誤

探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練錯(cuò)解錯(cuò)在什么地方?你能發(fā)現(xiàn)嗎?怎樣避免這類(lèi)錯(cuò)誤?防范措施

在解決三角函數(shù)求值問(wèn)題時(shí),務(wù)必注意對(duì)隱含條件的挖掘,尤其是給值求角問(wèn)題,一定要注意根據(jù)已知條件對(duì)角的范圍進(jìn)行精確界定,以免產(chǎn)生增解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:D答案:A探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:B探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解析:觀察可知18°+42°=60°,可運(yùn)用兩角和的正切公式求值.∵tan

18°+tan

42°+tan

120°=tan

60°(1-tan

18°tan

42°)+tan

120°=-tan

60°tan

18°tan

42°,∴原式=-1.答案:-1第3課時(shí)

二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函數(shù)一二一、二倍角的正弦、余弦和正切公式1.在兩角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,將得到怎樣的結(jié)果?2.上述cos2α的式子能否變成只含有sinα或cosα形式的式子呢?提示:根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式可得cos

2α=2cos2α-1=1-2sin2α.一二3.填空二倍角的正弦、余弦、正切公式一二4.公式S2α,C2α,T2α的適用范圍

一二5.做一做求下列各式的值.(1)4sin15°cos15°=

;

一二一二二、二倍角公式的變形1.若將1±sin2α中的“1”用sin2α+cos2α代換,那么1±sin2α可化為什么形式?提示:1±sin

2α=sin2α±2sin

αcos

α+cos2α=(sin

α±cos

α)2.2.根據(jù)二倍角的余弦公式,sinα,cosα與cos2α的關(guān)系分別如何?提示:1+cos

2α=2cos2α,1-cos

2α=2sin2α,3.填空(1)1±sin2α=(sinα±cosα)2;

(2)升冪縮角公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α;一二4.做一做求下列各式的值.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用二倍角公式解決給角求值問(wèn)題例1求下列各式的值:分析:對(duì)于(1)(2)(3),可直接逆用公式計(jì)算;對(duì)于(4),可將分子與分母同乘2sin

20°,然后連續(xù)逆用二倍角的正弦公式進(jìn)行求解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

對(duì)于給角求值問(wèn)題,一般有兩類(lèi):(1)直接正用或逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過(guò)程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用二倍角公式解決條件求值問(wèn)題

探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

解決條件求值問(wèn)題的方法給值求值問(wèn)題,注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系,有兩個(gè)觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn),使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:A探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用二倍角公式解決化簡(jiǎn)與證明問(wèn)題例3(1)化簡(jiǎn):cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);分析:(1)將前兩項(xiàng)進(jìn)行降冪處理,后兩項(xiàng)運(yùn)用誘導(dǎo)公式,展開(kāi)整理化簡(jiǎn)即得;(2)將左邊分子、分母中的1-cos

2θ與1+cos

2θ運(yùn)用公式先化簡(jiǎn),后約分結(jié)合同角關(guān)系證明.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),要注意以下兩點(diǎn):(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)有四個(gè)方向,即分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析,消除差異.(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),