離散型隨機(jī)變量的方差說課稿-教案

離散型隨機(jī)變量的方差教材分析本課仍是一節(jié)概念新授課，方差與均值都是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)．離散型隨機(jī)變量的均值與方差涉及的試題背景有：產(chǎn)品檢驗(yàn)問題、射擊、投籃問題、選題、選課、做題、考試問題、試驗(yàn)、游戲、競賽、研究性問題、旅游、交通問題、摸球問題、取卡片、數(shù)字和入座問題、信息、投資、路線等問題．從近幾年高考試題看，離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題還綜合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃等知識，主要考查能力．課時分配1課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差．過程與方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)”，并會應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差．情感、態(tài)度與價值觀承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價值．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差．教學(xué)難點(diǎn)：比較兩個隨機(jī)變量的均值與方差的大小，從而解決實(shí)際問題．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(復(fù)習(xí)舊知))1．?dāng)?shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為ξ的數(shù)學(xué)期望．2．?dāng)?shù)學(xué)期望的一個性質(zhì)：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.3．若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np.教師指出：數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的平均值．但有時兩個隨機(jī)變量只用這一個特征量是無法區(qū)別它們的，還需要對隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進(jìn)行刻畫．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知))已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18910P0.20.60.2ξ28910P0.40.20.4試比較兩名射手的射擊水平高低．提出問題：下面的分析你贊成嗎？為什么？∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙兩射手的射擊平均水平相同．設(shè)計(jì)意圖：展示錯解，引出課題活動結(jié)果：不對，顯然兩名選手的水平是不同的，要進(jìn)一步去分析成績的穩(wěn)定性．教師指出：初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差．在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中，S2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]叫做這組數(shù)據(jù)的方差．類似于這個概念，我們可以定義離散型隨機(jī)變量的方差．(給出定義)1．方差：對于離散型隨機(jī)變量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xi，…xn，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pi，…pn，那么，D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn稱為隨機(jī)變量X的方差，式中的E(X)是隨機(jī)變量X的均值．標(biāo)準(zhǔn)差：D(X)的算術(shù)平方根eq\r(DX)叫做隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作σ(X)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))(1)隨機(jī)變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；(2)隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量X的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．對“探究”的再思考(1)如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？(2)如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙兩射手的射擊平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0.8，∴甲射擊水平更穩(wěn)定．若對手在8環(huán)左右，派甲參賽，易贏．若對手在9環(huán)左右，則派乙參賽，可能超常發(fā)揮．提出問題：前面我們知道若一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2，…，n)的方差為s2，那么另一組數(shù)據(jù)axi＋b(a、b是常數(shù)且i＝1,2，…，n)的方差為a2s2.離散型隨機(jī)變量X的方差是否也有類似性質(zhì)？活動結(jié)果：同樣具有．2．方差的性質(zhì)：D(aX＋b)＝a2D(X)；其他：D(X)＝E(X2)－(E(X))2(了解)；3．若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知))例1隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差．解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)從而E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝3.5；D(X)＝(1－3.5)2×eq\f(1,6)＋(2－3.5)2×eq\f(1,6)＋(3－3.5)2×eq\f(1,6)＋(4－3.5)2×eq\f(1,6)＋(5－3.5)2×eq\f(1,6)＋(6－3.5)2×eq\f(1,6)≈2.92，eq\r(D(X))≈1.71.例2有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400，D(X1)＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；E(X2)＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400，D(X2)＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝160000.因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．【變練演編】設(shè)ξ是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求Eξ、Dξ.ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2剖析：應(yīng)先按分布列的性質(zhì)，求出q的值后，再計(jì)算出Eξ、Dξ.解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)且隨機(jī)變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，,0≤1－2p≤1，,q2≤1，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2).于是，ξ的分布列為ξ－101Peq\f(1,2)eq\r(2)－1eq\f(3,2)－eq\r(2)所以Eξ＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×(eq\r(2)－1)＋1×(eq\f(3,2)－eq\r(2))＝1－eq\r(2)，Dξ＝[－1－(1－eq\r(2))]2×eq\f(1,2)＋(1－eq\r(2))2×(eq\r(2)－1)＋[1－(1－eq\r(2))]2×(eq\f(3,2)－eq\r(2))＝eq\r(2)－1.教師點(diǎn)評：解答本題時，應(yīng)防止機(jī)械地套用均值和方差的計(jì)算公式，出現(xiàn)以下誤解：Eξ＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－eq\f(1,2).另外既要會由分布列求Eξ、Dξ，也要會由Eξ、Dξ求分布列，發(fā)展逆向思維．變式：若ξ是離散型隨機(jī)變量，P(ξ＝x1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝x2)＝eq\f(2,5)，且x1<x2，又知Eξ＝eq\f(7,5)，Dξ＝eq\f(6,25)，求ξ的分布列．解：依題意ξ只取2個值x1與x2，于是有Eξ＝eq\f(3,5)x1＋eq\f(2,5)x2＝eq\f(7,5)，Dξ＝eq\f(3,5)xeq\o\al(2,1)＋eq\f(2,5)xeq\o\al(2,2)－Eξ2＝eq\f(6,25)，從而得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\