高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)2.3.1函數(shù)的周期性與對(duì)稱性(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第二章函數(shù)2.3.1函數(shù)的周期性與對(duì)稱性（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一函數(shù)的周期性函數(shù)滿足定義域內(nèi)的任一實(shí)數(shù)(其中為常數(shù))(1)，則是以為周期的周期函數(shù)；(2),則是以為周期的周期函數(shù)；(3)，則是以為周期的周期函數(shù)；(4)，則是以為周期的周期函數(shù)； 二函數(shù)的對(duì)稱性軸對(duì)稱：若?則f(x)關(guān)于對(duì)稱.中心對(duì)稱：若則f(x)關(guān)于(，m)對(duì)稱.三由對(duì)稱性推周期性(1)函數(shù)滿足（），=1\*GB3①若為奇函數(shù)，則函數(shù)周期為，=2\*GB3②若為偶函數(shù)，則函數(shù)周期為.(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；(3)函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn),都對(duì)稱，則函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；(4)函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一周期性與對(duì)稱性的判斷典例1．下列函數(shù)是周期函數(shù)的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③變式1-1．下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．變式1-2．函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱變式1-3．函數(shù)的圖像（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于軸對(duì)稱變式1-4．函數(shù)的圖象關(guān)于（

）對(duì)稱.A．直線 B．原點(diǎn) C．軸 D．軸題型戰(zhàn)法二由函數(shù)周期性求函數(shù)值典例2．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，若對(duì)于時(shí)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．1 B．-1 C． D．變式2-1．定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．2 D．1變式2-2．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有.且當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2變式2-3．已知定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，有成立，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．變式2-4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，（1），且，則的值為（

）A．0 B． C．2 D．5題型戰(zhàn)法三由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值典例3．如果函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在上的最大值與最小值之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．－1變式3-1．已知，若，則（

）A．－14 B．14 C．6 D．10變式3-2．已知函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是A．1 B．2C．4 D．8變式3-3．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為A． B． C． D．變式3-4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法四由周期性與對(duì)稱性求函數(shù)解析式典例4．設(shè)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知時(shí)，，則x∈[-2，0]時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=（）A． B． C． D．變式4-1．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)x∈（-3，-2）時(shí)，等于（

）A． B． C． D．變式4-2．已知是定義在上周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)（

）A． B． C． D．變式4-3．若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．變式4-4．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法五由周期性與對(duì)稱性比較大小典例5．定義在上的函數(shù)滿足：成立且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式5-1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式5-2．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的，且，都有；②；③是偶函數(shù)；若，，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．變式5-3．定義在R上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；③對(duì)任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．變式5-4．已知定義在上的函數(shù)滿足，①，②為奇函數(shù)，③當(dāng)時(shí)，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．題型戰(zhàn)法六由抽象函數(shù)周期性與對(duì)稱性求函數(shù)值典例6．已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，，，.若是偶函數(shù)，則（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3變式6-1．已知函數(shù)滿足對(duì)任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且則（

）A． B． C． D．變式6-2．若定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)滿足，，對(duì)任意的恒成立，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式6-3．已知定義在上的函數(shù)，滿足，，且，則（

）A． B． C． D．變式6-4．函數(shù)定義域?yàn)镽，且，若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，則=（

）A．3 B．-3 C．6 D．-6第二章函數(shù)2.3.1函數(shù)的周期性與對(duì)稱性（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一函數(shù)的周期性函數(shù)滿足定義域內(nèi)的任一實(shí)數(shù)(其中為常數(shù))(1)，則是以為周期的周期函數(shù)；(2),則是以為周期的周期函數(shù)；(3)，則是以為周期的周期函數(shù)；(4)，則是以為周期的周期函數(shù)； 二函數(shù)的對(duì)稱性軸對(duì)稱：若?則f(x)關(guān)于對(duì)稱.中心對(duì)稱：若則f(x)關(guān)于(，m)對(duì)稱.三由對(duì)稱性推周期性(1)函數(shù)滿足（），=1\*GB3①若為奇函數(shù)，則函數(shù)周期為，=2\*GB3②若為偶函數(shù)，則函數(shù)周期為.(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；(3)函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn),都對(duì)稱，則函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；(4)函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一周期性與對(duì)稱性的判斷典例1．下列函數(shù)是周期函數(shù)的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】易得和是周期函數(shù)，不是周期函數(shù).故選：C.變式1-1．下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A中不是周期函數(shù),故排除A;選項(xiàng)B,D中的函數(shù)均為奇函數(shù),故排除B,D;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的周期性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.變式1-2．函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，證明關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.故選：B變式1-3．函數(shù)的圖像（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于軸對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)式，可知函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷對(duì)稱性.【詳解】解：因?yàn)?，易知為偶函?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.故選：B.變式1-4．函數(shù)的圖象關(guān)于（

）對(duì)稱.A．直線 B．原點(diǎn) C．軸 D．軸【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選：B題型戰(zhàn)法二由函數(shù)周期性求函數(shù)值典例2．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，若對(duì)于時(shí)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知確定函數(shù)的周期，利用周期性和奇偶性進(jìn)行求解.【詳解】∵為上的偶函數(shù)，∴，又當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.故選：A.變式2-1．定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】由可知，函數(shù)的周期為2，利用周期性把所給的自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，代入求值即可.【詳解】由可知，函數(shù)的周期為2，當(dāng)時(shí)，，∴.故選：B變式2-2．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有.且當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】由可得函數(shù)的周期為2，再結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得，然后由已知的解析式可求得答案【詳解】∵函數(shù)是上的偶函數(shù)，∴，又∵對(duì)于都有，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，故選：C.變式2-3．已知定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，有成立，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求得的周期，結(jié)合奇偶性求得的值.【詳解】依題意對(duì)，有成立，令，則，所以，故，所以是周期為的周期函數(shù)，故.故選：C變式2-4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，（1），且，則的值為（

）A．0 B． C．2 D．5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得，即函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則有，（1），由奇函數(shù)的性質(zhì)求出與（1）的值，相加即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則有，即函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，(4)，(5)（1），則（1），故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.題型戰(zhàn)法三由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值典例3．如果函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在上的最大值與最小值之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．－1【答案】C【解析】根據(jù)，可知：關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，要求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，代入即可得解.【詳解】根據(jù)，可知：關(guān)于對(duì)稱，那么要求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，因?yàn)檫f增，所以最小值與最大值分別為：，，，故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算量較小，思路要求較高，屬于中檔題.變式3-1．已知，若，則（

）A．－14 B．14 C．6 D．10【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，再代入數(shù)值得結(jié)果.【詳解】,又，所以故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.變式3-2．已知函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】【分析】指數(shù)函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為，由此得到與的關(guān)系，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以與互為倒數(shù)，所以，解得．故選C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)圖象對(duì)稱與底數(shù)之間關(guān)系，難度較易.關(guān)于軸對(duì)稱的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù).變式3-3．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)與點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì).變式3-4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先由對(duì)稱性求得，再將代入函數(shù)解析式即可求得答案.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解得，則．故選：B題型戰(zhàn)法四由周期性與對(duì)稱性求函數(shù)解析式典例4．設(shè)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知時(shí)，，則x∈[-2，0]時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合時(shí)，，可得答案．【詳解】解：∵是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，時(shí)，，∴時(shí)，，，此時(shí)，時(shí)，，，此時(shí)，綜上可得：時(shí)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．變式4-1．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)x∈（-3，-2）時(shí)，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，根據(jù)時(shí)，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根據(jù)f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．【詳解】令，則，∵當(dāng)時(shí)，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，求函數(shù)解析式常見(jiàn)的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．變式4-2．已知是定義在上周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用周期函數(shù)的定義求解即可.【詳解】設(shè),則,由題意知,,因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上周期為2的函數(shù),所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查周期函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握周期函數(shù)的定義是求解本題的關(guān)鍵;屬于?？碱}.變式4-3．若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出函數(shù)圖像上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，代入函數(shù)的解析式即可求解．【詳解】解：設(shè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式可得：，故，故選：D．變式4-4．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)所求函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)為，由其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)所求函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)為，則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以.故選：B.題型戰(zhàn)法五由周期性與對(duì)稱性比較大小典例5．定義在上的函數(shù)滿足：成立且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由，得到是周期為4的周期函數(shù)，得到，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即，所以.故選：D.變式5-1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知等式判斷出函數(shù)的周期性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】，由此可知函數(shù)的周期為4，函數(shù)是奇函數(shù)，，所以有：，，因?yàn)樵趨^(qū)間是減函數(shù)，，所以，即，故選：B變式5-2．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的，且，都有；②；③是偶函數(shù)；若，，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知條件可知在上單調(diào)遞增，周期為，對(duì)稱軸為.則，，，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】解：由①知，在上單調(diào)遞增；由②知，的周期為；由③知，的對(duì)稱軸為；則，，，因?yàn)?，由函?shù)的單調(diào)性可知，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查了函數(shù)的周期，考查了函數(shù)的單調(diào)性.本題的關(guān)鍵是由已知條件分析出函數(shù)的性質(zhì).變式5-3．定義在R上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；③對(duì)任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由①②可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)，由③可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而利用周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，所以，即，因?yàn)?，所以函?shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，，因?yàn)?，且，所以，所以函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)閷?duì)任意的，，，都有成立，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故選：B.變式5-4．已知定義在上的函數(shù)滿足，①，②為奇函數(shù)，③當(dāng)時(shí)，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)已知條件可得是周期為的奇函數(shù)，根據(jù)周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由可得的周期為，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以，?故選：C.題型戰(zhàn)法六由抽象函數(shù)周期性與對(duì)稱性求函數(shù)值典例6．已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，，，.若是偶函數(shù)，則（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到關(guān)于對(duì)稱，得到，結(jié)合和為偶函數(shù)即可得周期為4，進(jìn)而