高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))3.3導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值(精講)(原卷版+解析)

3.3導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值【題型解讀】【知識儲備】1、函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．2、函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3、常用結論（1）若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值．（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個極值點，則相應的極值點一定是函數(shù)的最值點．【題型精講】【題型一求函數(shù)的極值】必備技巧求具體函數(shù)極值的步驟①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③解方程，求出函數(shù)定義域內的所有根；④列表檢驗在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值．例1(2023·山東濟南歷城二中高三月考）已知函數(shù)在與時，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調增區(qū)間和極值．例2(2023·河南高三月考）已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值與極小值．【題型精練】1．(2023·天津·崇化中學期中）函數(shù)有（

）A．極大值為5，無極小值 B．極小值為，無極大值C．極大值為5，極小值為 D．極大值為5，極小值為2.(2023·石嘴山市第三中學期末）已知函數(shù)，則_____，有極______（填大或小）值．3.(2023·重慶市育才中學高三月考）已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（

）A．1 B． C． D．【題型二已知函數(shù)極值求參】例3(2023·山東青島高三期末節(jié)選）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例4(2023·天津市南開中學?？迹┮押?，若在處取得極小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·天津市南開中學月考）已知沒有極值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2.(2023·安徽省江淮名校期末）函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．(2023·河北張家口市·高三三模已知函數(shù)，若函數(shù)有三個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【題型三求函數(shù)的最值】例5(2023·河南高三期末）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上遞增 B．函數(shù)無極小值C．函數(shù)只有一個極大值 D．函數(shù)在上最大值為3例6(2023·廣東汕尾·高三期末）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【題型精練】1．(2023·廣東·高三期末）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．2．(2023·全國單元測試）函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3．(2023·甘肅城關·蘭州一中高三期中）當時，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B．1 C． D．2【題型四已知函數(shù)最值求參】例7(2023·黑龍江工農(nóng)·鶴崗一中高三期末）已知函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例8(2023·湖南師范大學附中?？迹┮阎瘮?shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)．(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值．【題型精練】1.(2023·全國高三課時練習）已知函數(shù)，若在上既有極大值，又有最小值，且最小值為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2.(2023年全國新高考I卷數(shù)學試題）（多選）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為28，則實數(shù)k的值可以是（）A． B． C． D．【題型五極值、最值的綜合應用】例9(2023·遼寧省實驗中學分校高三期末）已知函數(shù)．(1)當時，證明：當時，；(2)若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．【題型精練】1.(2023·四川廣元市·高三三模）（多選）對于函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．函數(shù)極小值為，極大值為B．函數(shù)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)為C．函數(shù)最小值為為，最大值D．函數(shù)存在兩個零點1和2.(2023·江蘇·昆山柏廬高級中學期末）已知函數(shù).(1)當時，若在上存在最大值，求m的取值范圍；(2)討論極值點的個數(shù).3.3導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值【題型解讀】【知識儲備】1、函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．2、函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3、常用結論（1）若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值．（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個極值點，則相應的極值點一定是函數(shù)的最值點．【題型精講】【題型一求函數(shù)的極值】必備技巧求具體函數(shù)極值的步驟①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③解方程，求出函數(shù)定義域內的所有根；④列表檢驗在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值．例1(2023·山東濟南歷城二中高三月考）已知函數(shù)在與時，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調增區(qū)間和極值．答案：(1)，(2)函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值是，函數(shù)的極小值是.【解析】(1)，由條件可知和，即，解得：，，所以，檢驗：單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增經(jīng)檢驗與時，都取得極值，滿足條件，所以，；(2)，解得：，所以單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增有表可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值是，函數(shù)的極小值是.例2(2023·河南高三月考）已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值與極小值．【解析】：由題設知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.令f′(x)＝0得x＝0或eq\f(2,a).當a>0時，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下：x(－∞，0)0(0，eq\f(2,a))eq\f(2,a)(eq\f(2,a)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)極大值＝f(0)＝1－eq\f(3,a)，f(x)極小值＝＝－eq\f(4,a2)－eq\f(3,a)＋1.當a<0時，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下：x(－∞，eq\f(2,a))eq\f(2,a)(eq\f(2,a)，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘∴f(x)極大值＝f(0)＝1－eq\f(3,a)，f(x)極小值＝＝－eq\f(4,a2)－eq\f(3,a)＋1.綜上，f(x)極大值＝f(0)＝1－eq\f(3,a)，f(x)極小值＝＝－eq\f(4,a2)－eq\f(3,a)＋1.【題型精練】1．(2023·天津·崇化中學期中）函數(shù)有（

）A．極大值為5，無極小值 B．極小值為，無極大值C．極大值為5，極小值為 D．極大值為5，極小值為答案：A【解析】,由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以在時，取得極大值，無極小值.故選：A2.(2023·石嘴山市第三中學期末）已知函數(shù)，則_____，有極______（填大或?。┲担鸢福河袠O大值【解析】由題意，函數(shù)，可得，所以，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以有極大值．故答案為：；極大值．3.(2023·重慶市育才中學高三月考）已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（

）A．1 B． C． D．答案：D【解析】，∴，∴，∴故選：D【題型二已知函數(shù)極值求參】例3(2023·山東青島高三期末節(jié)選）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，令，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不同的解，且在零點的兩側符號異號.，當時，，在上單調遞增，故不可能有兩個零點.當時，時，，在上單調遞增；時，，在上單調遞減，所以，即，.當時，，故在上有一個零點；當時，，所以在上有一個零點，綜上，，故選：D.例4(2023·天津市南開中學模考）已函，若在處取得極小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意；當時，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意；當時，在上單調遞增，不滿足題意；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不滿足題意．故的取值范圍為，故選：D．【題型精練】1．(2023·天津市南開中學月考）已知沒有極值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】；在上沒有極值，，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.2.(2023·安徽省江淮名校期末）函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：B【解析】因為，所以，函數(shù)在上有且僅有一個極值點，在上只有一個變號零點.令，得.設在單調遞減，在上單調遞增，，又，得當，在上只有一個變號零點.故選：B.3．(2023·河北張家口市·高三三模已知函數(shù)，若函數(shù)有三個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．答案：C【解析】，求導，得，令，得，或.要使有三個極值點，則有三個變號實根，即方程有兩個不等于1的變號實根.，令，則，令，得.易知，且，；，.所以，當時，方程即有兩個變號實根，又，所以，即.綜上，的取值范圍是.故選：C.【題型三求函數(shù)的最值】例5(2023·河南高三期末）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上遞增 B．函數(shù)無極小值C．函數(shù)只有一個極大值 D．函數(shù)在上最大值為3答案：C【解析】因為定義域為，所以，所以當或時，當時，所以在上單調遞減，在和上單調遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值，即，，又，，故函數(shù)在上最大值為；故選：C例6(2023·廣東汕尾·高三期末）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.答案：(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和；(2)最大值為，最小值為.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，由，可得，當或時，，當時，，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和.(2)由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增.又，的最大值為，最小值為.【題型精練】1．(2023·廣東·高三期末）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在區(qū)間和上，即單調遞增；在區(qū)間上，即單調遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D2．(2023·全國單元測試）函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，因為，所以函數(shù)的最大值為，故選：B3．(2023·甘肅城關·蘭州一中高三期中）當時，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B．1 C． D．2答案：A【詳解】解：，當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得最小值．故選：A.【題型四已知函數(shù)最值求參】例7(2023·黑龍江工農(nóng)·鶴崗一中高三期末）已知函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，，若函數(shù)在上有最小值，即在先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設切點是，，則切線方程是：，將代入切線方程得：，故切點是，切線的斜率是1，只需即可，解得，即，故選：D．例8(2023·湖南師范大學附中模考）已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)．(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值．【解析】(1)易知f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a＝－1時，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)＝0，得x＝1.當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴當a＝－1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最大值為－1.(2)f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，x∈(0，e]，eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).①若a≥－eq\f(1,e)，則f′(x)≥0，從而f(x)在(0，e]上是增函數(shù)，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合題意．②若a<－eq\f(1,e)，令f′(x)>0得a＋eq\f(1,x)>0，結合x∈(0，e]，解得0<x<－eq\f(1,a)；令f′(x)<0得a＋eq\f(1,x)<0，結合x∈(0，e]，解得－eq\f(1,a)<x≤e.從而f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上為減函數(shù)，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))).令－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－3，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－2，即a＝－e2.∵－e2<－eq\f(1,e)，∴a＝－e2為所求．故實數(shù)a的值為－e2.【題型精練】1.(2023·全國高三課時練習）已知函數(shù)，若在上既有極大值，又有最小值，且最小值為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：C【解析】的零點為和1，因為，所以1是函數(shù)的極小值即最小值點，則是函數(shù)的極大值點，所以，且，解得.故選：C.2.(2023年全國新高考I卷數(shù)學試題）（多選）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為28，則實數(shù)k的值可以是（）A． B． C． D．答案：AB【解析】因為，所以，令，解得，所以在和時，，在時，，所以函數(shù)在和上單調遞增，函數(shù)在上單調遞減，則在內單調遞增，所以在內，最大；在時單調遞減，所以在內，最大；在時單調遞增，所以在內，最大；因為，且在區(qū)間上的最大值為28，所以，即k的取值范圍是，故選：AB.【題型五極值、最值的綜合應用】例9(2023·遼寧省實驗中學分校高三期末）已知函數(shù)．(1)當時，證明：當時，；(2)若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．答案：(1)證明見解析(2)【解析】(1)由題意得，則，當時，，在上是減函數(shù)，∴，設，在上是增函數(shù)，∴，∴當時，．(2)，且，令，得或a，①當時，則，單調遞減，函數(shù)沒有極值；②當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，∴在取得極大值，在取得極小值，則；③當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，∴在取得極大值，在取得極小值，由得：，綜上，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值時，a的取值范圍為．【題型精練】1.(2023·四川廣元市·高