高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))8.5直線和橢圓的位置關(guān)系(精練)(原卷版+解析)

8.5直線和橢圓的位置關(guān)系【題型解讀】【題型一直線和橢圓位置關(guān)系】1.(2023·全國·高三專題練習）直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)2.(2023·福建高三期末）直線與橢圓的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定3.(2023·全國·高三專題練習）已知以，為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（）A． B． C． D．4.(2023·深圳模擬)已知直線y＝kx－k－1與曲線C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共點，則m的取值范圍是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．(－∞，3)5.(2023·全國高三模擬）直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【題型二弦長問題】1.(2023·青島高三模擬）坐標原點且斜率為的直線與橢圓交于、兩點.若點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．12.(2023·山東日照高三模擬）(多選)已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，則實數(shù)m的值為()A．－1B．1C．－2D．23．(2023·武功縣普集高級中學期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0時，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．4．(2023·全國高三模擬）已知橢圓：的左、右頂點分別為、，點在橢圓上，且直線的斜率與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的方程；(2)若圓的切線與橢圓交于、兩點，求的最大值及此時直線的斜率．【題型三中點弦問題】1.(2023·全國高三專題練習）過橢圓C：右焦點F的直線l：交C于A、B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．3.(2023·全國·模擬預測）已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，橢圓M的離心率為eq\f(1,2)，且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(1)求橢圓M的方程；(2)若過點N(1,1)的直線與該橢圓M交于P，Q兩點，且線段PQ的中點恰為點N，求直線PQ的方程．4.(2023·山西太原五中高三期末）已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得圓E上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱.【題型四直線與橢圓的綜合問題】1.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）已知橢圓左焦點為，經(jīng)過點的直線與圓相交于，兩點，是線段與的公共點，且.（1）求橢圓的方程；（2）與的交點為，，且恰為線段的中點，求的面積.2.設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的橢圓E過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，且離心率為eq\f(\r(3),2).F為E的右焦點，P為E上一點，PF⊥x軸，⊙F的半徑為PF.(1)求橢圓E和⊙F的方程；(2)若直線l：y＝k(x－eq\r(3))(k>0)與⊙F交于A，B兩點，與E交于C，D兩點，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．3.(2023·浙江·高三開學考試）已知動點M到兩定點F1(－m,0)，F(xiàn)2(m,0)的距離之和為4(0<m<2)，且動點M的軌跡曲線C過點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求m的值；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與曲線C有兩個不同的交點A，B，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝2(O為坐標原點)，求k的值．4.(2023·江西·高三開學考試）已知為坐標原點，橢圓過點，記線段的中點為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．8.5直線和橢圓的位置關(guān)系【題型解讀】【題型一直線和橢圓位置關(guān)系】1.(2023·全國·高三專題練習）直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)答案：B【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.2.(2023·福建高三期末）直線與橢圓的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定答案：A【解析】直線可化為，所以直線恒過點，又，即在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.3.(2023·全國·高三專題練習）已知以，為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（）A． B． C． D．答案：C【解析】設(shè)橢圓長軸長為（且，則橢圓方程為．由，可得，因為直線與橢圓只有一個交點，則，即．解得或或，又由，所以，所以長軸長．故選：．4.(2023·深圳模擬)已知直線y＝kx－k－1與曲線C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共點，則m的取值范圍是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．(－∞，3)答案：A【解析】∵直線方程為∴直線恒過定點∵曲線的方程為∴曲線表示橢圓∵直線與曲線：恒有公共點∴點在橢圓內(nèi)或橢圓上，即.∴故選A.5.(2023·全國高三模擬）直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個答案：C【解析】由題意，橢圓，可得，則橢圓的右頂點為，上頂點為，又由直線恰好過點，所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.故選：C.【題型二弦長問題】1.(2023·青島高三模擬）坐標原點且斜率為的直線與橢圓交于、兩點.若點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．1答案：A【解析】直線方程為，代入橢圓方程得，，設(shè)，則，點到直線的距離為，所以（），記，則，當時，遞增，當時，，遞減，所以時，取得唯一的極大值也是最大值．即△MAN面積的最大值為．故選：A．2.(2023·山東日照高三模擬）(多選)已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，則實數(shù)m的值為()A．－1B．1C．－2D．2答案：AB【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m))消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(4m,3)，x1x2＝eq\f(2m2－2,3).由題意，得|AB|＝eq\r(2x1＋x22－8x1x2)＝eq\f(4\r(2),3)，解得m＝±1，滿足題意．3．(2023·武功縣普集高級中學期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0時，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．【解析】(1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件．②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)．將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12k2＋1,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq\f(12k2＋1,3k2＋4)＝eq\f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.4．(2023·全國高三模擬）已知橢圓：的左、右頂點分別為、，點在橢圓上，且直線的斜率與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的方程；(2)若圓的切線與橢圓交于、兩點，求的最大值及此時直線的斜率．【解析】（1）由橢圓可得，所以，解得，因為橢圓經(jīng)過點，故得到，解得，所以橢圓的方程為（2）當切線垂直軸時，的橫坐標為1或-1，由于橢圓的對稱性，不妨設(shè)的橫坐標為1，代入橢圓得解得，所以；當切線不垂直軸時，設(shè)切線方程為即，所以圓心到切線的距離，得，把代入橢圓方程，整理得設(shè)，則，設(shè)，則，則，所以，綜上所述，，此時，因為，所以直線的斜率為【題型三中點弦問題】1.(2023·全國高三專題練習）過橢圓C：右焦點F的直線l：交C于A、B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．答案：A【解析】直線中，令，可得，所以右焦點，，設(shè)，，，，則，的中點，聯(lián)立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以橢圓的方程為，故選：A．2．(2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.故選：D．3.(2023·全國·模擬預測）已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，橢圓M的離心率為eq\f(1,2)，且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(1)求橢圓M的方程；(2)若過點N(1,1)的直線與該橢圓M交于P，Q兩點，且線段PQ的中點恰為點N，求直線PQ的方程．【解析】(1)∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,2)，則3a2＝4b2，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))代入橢圓方程得eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得a＝2，b＝eq\r(3)，∴橢圓M的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵線段PQ的中點恰為點N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.∵eq\f(x\o\al(2,P),4)＋eq\f(y\o\al(2,P),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,Q),4)＋eq\f(y\o\al(2,Q),3)＝1，兩式相減可得eq\f(1,4)(xP＋xQ)(xP－xQ)＋eq\f(1,3)(yP＋yQ)(yP－yQ)＝0，∴eq\f(yP－yQ,xP－xQ)＝－eq\f(3,4)，即直線PQ的斜率為－eq\f(3,4)，∴直線PQ的方程為y－1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－7＝0.4.(2023·山西太原五中高三期末）已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得圓E上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱.【解析】設(shè)、是橢圓E上關(guān)于直線的兩個對稱點，則應有：①-②并把③代入得..⑥聯(lián)立④⑥得代入⑤得，解得.【題型四直線與橢圓的綜合問題】1.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）已知橢圓左焦點為，經(jīng)過點的直線與圓相交于，兩點，是線段與的公共點，且.（1）求橢圓的方程；（2）與的交點為，，且恰為線段的中點，求的面積.答案：（1）；（2）.【解析】（1）由圓可得，因為，所以，即，又，故，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，，為線段的中點，則，，又，解得，，若，則，直線的方程為，由.解得，即，，所以的面積，若，同理可求得的面積，綜上所述，的面積為.2.設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的橢圓E過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，且離心率為eq\f(\r(3),2).F為E的右焦點，P為E上一點，PF⊥x軸，⊙F的半徑為PF.(1)求橢圓E和⊙F的方程；(2)若直線l：y＝k(x－eq\r(3))(k>0)與⊙F交于A，B兩點，與E交于C，D兩點，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【解析】(1)設(shè)E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題設(shè)知eq\f(1,a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2).解得a＝2，b＝1，故橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.因此F(eq\r(3)，0)，|PF|＝eq\f(1,2)，即⊙F的半徑為eq\f(1,2).所以⊙F的方程為(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(1,4).(2)由題設(shè)可知，A在E外，B在E內(nèi)，C在⊙F內(nèi)，D在⊙F外，在l上的四點A，B，C，D滿足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，將l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8eq\r(3)k2x＋12k2－4＝0，則x1＋x2＝eq\f(8\r(3)k2,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(12k2－4,4k2＋1)，|CD|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(4k2＋4,4k2＋1)＝1＋eq\f(3,4k2＋1)＞1，又⊙F的直徑|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正數(shù)k使|AC|＝|BD|.3.(2023·浙江·高三開學考試）已知動點M到兩定點F1(－m,0)，F(xiàn)2(m,0)的距離之和為4(0<m<2)，且動點M的軌跡曲線C過點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求m的值；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與曲線C有兩個不同的交點A，B，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝2(O為坐標原點)，求k的值．【解析】(1)由0<m<2，得2m<4，可知：曲線C是以兩定點F1(－m,0)，F(xiàn)2(m,0)為焦點，長半軸長為2的橢圓，所以a＝2，設(shè)曲線C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1，把點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))代入得eq