2022屆云南省西雙版納市重點(diǎn)中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．是的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．3．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．964．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或5．已知集合，，則（）A． B．C． D．6．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．7．在聲學(xué)中，聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：）.，，那么（）A． B． C． D．8．記等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若，，則（）A． B． C． D．9．天干地支，簡(jiǎn)稱為干支，源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為（）A． B． C． D．10．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．11．設(shè)，則，則（）A． B． C． D．12．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在邊長(zhǎng)為的菱形中，點(diǎn)在菱形所在的平面內(nèi)．若，則_____．14．已知平面向量與的夾角為，，，則________.15．已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且,，則橢圓的離心率為__________．16．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實(shí)數(shù)的值．（2）若，，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)平面，求的值；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求四面體的體積.19．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.（1）求的值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性與極值；（3）證明：.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí)，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：22．（10分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)，則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系，即可得出?！驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是，由解得且對(duì)應(yīng)的集合是，所以，故是的必要不充分條件，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè)，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。2．B【解析】

求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得，故，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.3．D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4．D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個(gè)“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．D【解析】

由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.9．B【解析】

利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組（每組2個(gè)），地支相同的年份有8組（每組2個(gè)），從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.10．C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.11．A【解析】

根據(jù)換底公式可得，再化簡(jiǎn)，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.12．A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容．【詳解】由程序框圖的運(yùn)行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時(shí)，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應(yīng)是i＜1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時(shí)算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,再設(shè),根據(jù)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求得即可.【詳解】解：連接設(shè)交于點(diǎn)以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則：設(shè)得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問(wèn)題,屬于中檔題.14．【解析】

根據(jù)已知求出，利用向量的運(yùn)算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因?yàn)?所以,,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在中,因?yàn)?所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.16．【解析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故方程①有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時(shí)，，滿足題意．（iii）若時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.又由上式得，當(dāng)時(shí)，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以．②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（由（*）知）；當(dāng)時(shí)，（由（*）知）．故對(duì)于任意，．綜上述：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．18．（1）.（2）【解析】

（1）利用線面垂直的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用相似三角形的性質(zhì)，得出，從而得出的值；（2）利用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得出四面體的體積，計(jì)算出，，即可得出四面體的體積.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)椋即怪庇谄矫?，所以又，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，且，所以.（2）因?yàn)?，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，所以又因?yàn)?，都垂直于平面，平面，所以因?yàn)槠矫?，所以平面所以，四面體的體積，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.19．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點(diǎn)，∴，∵平面且，∴平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為中點(diǎn)，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.20．（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無(wú)極大值；（3）見解析.【解析】

（1）切點(diǎn)既在切線上又在曲線上得一方程，再根據(jù)斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)再列一方程，解方程組即可；（2）先對(duì)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.（3）把證明轉(zhuǎn)化為證明，然后證明極小值大于極大值即可.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)橛梢阎?，則，解得.（2）由題意得，則.當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無(wú)極大值.（3）要證成立，只需證成立.令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的極大值為，即由（2）知，時(shí)，，且的最小值點(diǎn)與的最大值點(diǎn)不同，所以，即.所以，.【點(diǎn)睛】知識(shí)方面，考查建立方程組求未知數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明；能力方面，考查推理論證能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力；試題難度大