高考數(shù)學(xué)講義雙曲線參考教案

雙曲線.參考教案

一、雙曲線的方程

22

【例1】雙曲線三-匕=1的焦距為（）

169

A.10B.幣C.2-J1D.5

【考點】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，海淀一模

【解析】c2=a2+&2=25,故焦距2c=10.

【答案】A:

【例2】雙曲線方程為V-2y2=l,則它的右焦點坐標(biāo)為

A.今,0B.g,0C.",o］D.（50）

\/\/\7

【考點】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，安徽高考

【解析】

【答案】C:

22

【例3】雙曲線二一三二1的漸近線方程是（）

49

3294

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±-xD.y=+—x

2349

【考點】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

［關(guān)鍵字］無

［解析】漸進線方程為工-二=0.也即v-±2.v.

493

【答案】B.

【例4】動點P與點『0,-5）、片（0,5）滿足「用一仍用=6,則點P的軌跡方程為（）

AVy2,

A.------------=1B?噎+與=1

916

X*2y222

C.——+工=1(>23)D.-土+匕=l(yW—3)

169169

【考點】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】由題意知，軌跡方程為雙曲線的一部分，其中雙曲線的焦點為（0,±5）,在y軸上,

且2a=6,

從而知此雙曲線的方程為——看=1,又|P段＞|P用，故P點在該雙曲線的下半

支上，即yW—3,故選D.

【答案】D

22

【例5】設(shè)圓C的圓心在雙曲線=-匯=1（。＞0）的右焦點且與此雙曲線的漸近線相切,

a22

若圓C被直線/:x-gy=O截得的弦長等于2,貝心的值為（）

A.V2B.6C.2D.3

【考點】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，宣武二模

【解析】圓C的圓心。（,彷+2,0）,雙曲線的漸近線方程為后土毆=0,C到漸近線的

距離為d==0,故圓c方程（x-J〃2+2）2+y2=2.由/被圓C截得

y12+a2

的弦長是2及圓。的半徑為友可知，圓心C到直線/的距離為1,即

42=1=〃=反

V1+3

【答案】

2222

【例6】已知橢圓二+二=1和雙曲線二一2下=1有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線

3m-5川2m-3n2

方程是（）

A.x=±-^^-vB.y=±^^-xC.x=+—yD.y=±-x

2.24-4

【考點】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2002年，北京高考

22

【解析】依題意，有-5〃2=2加2+3萬,即加『=8〃2,即雙曲線方程為三=1,

16n23n2

故雙曲線的漸近線方程是一二-W=0,即y=±且x,選D.

16/3/4

【答案】D;

【例7】到兩定點耳（-3,0）.g（3,0）的距離之差的絕對值等于6的點M的軌跡（）

A.橢圓B.線段C.雙曲線D.兩條射線

【考點】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】到兩個定點的距離之差的絕對值小于兩個定點間距離的點的軌跡是雙曲線，等

于兩個定點間距離時，雙曲線退化成了兩條射線，分別以兩個定點為射線的兩

個端點.

耳川-同川=忻周=6時，這三點共線，且點A在點尸一8之外；

也可通過求軌跡方程的辦法求出，此時要注意自變量的取值范圍.

【答案】D;

22

【例8】若keR,則“43”是“方程上——匚=1表示雙曲線”的（）

k-3k+3

A.充分不必要條件.B.必要不充分條件.

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】A.

【答案】A.

【例9】若雙曲線的漸近線方程為y=13x,它的一個焦點是（0,布），則雙曲線的方程是

【考點】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

2

【解析】--X2=1.

9

【答案】《一f=i

9

【例10】雙曲線C的左、右焦點耳，心與橢圓京+（=|的焦點相同，且離心率互為倒數(shù),

則雙曲線C的方程是；它的漸近線的方程是.

【考點】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

57

【解析】橢圓的焦點為（一5,0）,（5,0）,離心率為一；故雙曲線的離心率為一，由題意

75

V2v2C725

知可設(shè)雙曲線的方程為J一二=1,有e=±=L,c=5,于是〃=一，

a2h~a57

b=yjc2—a2=—V6,

7

雙曲線C的方程為:黑-黑=1

其漸近線方程為：y=±-x=±—\/6x.

a5

49丁49/_12

【答案】y=±—\[6x;

625-600-'

【例11］如圖，0A是雙曲線的實半軸，03是虛半軸，尸為焦點，且NR4O=30。，

SMKF=：（6-36），則設(shè)雙曲線方程是.

【考點】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】\OA\=a,\OB\=b,\AB\=\OF\=c,Nfi4O=30°,a=?,c=2b.

111D_/Q

S“BF=-\AB\-\AF\sm\50o=-c(c-a)=--2b-(2b-y/3b)=-^-b2.

由已知可得」(2-G)從=1(6-3^),

22

22

.?"2=3,從而/=9,故雙曲線方程為^-一匕=1.

93

【答案】--^=1

93

【例12］根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

d）c=V6,經(jīng)過點（-5,2）,焦點在x軸上.

⑵與雙曲線上-二=1有相同焦點，且經(jīng)過點（30,2）.

164

【考點】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】（D；焦點在x軸上，c=R,

...設(shè)所求雙曲線方程為：二一一J=1（其中0</<6）

a26-a2

???雙曲線經(jīng)過點（一5,2）,???2與5一一土4方=1

ci~6—a

?，?/=5或/=30（舍去）

2

所求雙曲線方程是三-/=［.

5.

⑵法一:

22

--一二-=1的焦點為（±2石，0）,又點（3立，2）在雙曲線上,

164

故

=苗（30-2逐1+4-J（3應(yīng)+2后1+4=|（屈-2揚-（同+2間=4百,

Aa=2^/3,c=2后，Z>=720-12=272,又焦點在x軸上,

故所求的雙曲線方程為工-乙=1.

128

法二：

22

設(shè)所求雙曲線方程為：—------=1（0<2<16）

16-24+4,7

?.7義曲線過點（3人，2）,18

16-24+2

,2=4或;1=一14（舍）

22

???所求雙曲線方程為三-乙=1.

128

【答案】⑴工一丁句；⑵三一二=i.

5128

【例13】已知下列雙曲線方程，求它們的焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、漸近線方程，以及焦距、實

軸和虛軸長，并在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個雙曲線的圖象.

（1）3X2-4/=12⑵4y2-3V=12

【考點】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

22

【解析】⑴原方程可化為土-乙=1,故a=2,b=6,c=V4+3=>/7,且焦點在X軸上，

43

故它的焦點坐標(biāo)為（±77,0）,頂點坐標(biāo)為（±2,0）,漸近線方程為

y=±-x=±——x,

a2

焦距為2c=2",實軸長為2a=4,虛軸長為給=2百；

22

⑵原方程可化為三=1,

34

故a=b-2,c=J7,焦點在y軸上，

故它的焦點坐標(biāo)為（0,±J7）,

頂點坐標(biāo)為（0,±6）,漸近線方程為y=±@x=±^x,

b2

焦距為2c=2，7,實軸長為2a=26，虛軸長為23=4.

【答案】⑴焦點坐標(biāo)為（±J7,0）,頂點坐標(biāo)為（±2,0）,漸近線方程為y=土衛(wèi)x,

焦距為2c=26，實軸長為2。=4,虛軸長為?=26；

⑵焦點坐標(biāo)為（0,土"），頂點坐標(biāo)為（0,±途），漸近線方程為y=±1x,

焦距為2c=2萬，實軸長為2a=26，虛軸長為2b=4.

22

【例14】已知雙曲線C：[-[=l（a>0">0）的實半軸長與虛半軸長的乘積為石，C的

兩個焦點為E,乙，直線/過K,且/與線段F、工的垂直平分線交點為P,線段PF]

與雙曲線交點為Q,tan/耳60=號，|PQ|:|Q4=2:1,求雙曲線的方程.

【考點】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】由題意知而=6①，

55

在RtAKOP中，|PE|=，r_=±c,進而可得|QE|=2c,

COSQ26

又在Af；Q心中，由余弦定理得

*一22三5=工

用|=14c、

6)66

再由雙曲線的定義得隱含條件：

22

2a=\F,Q\-\F2Q\=-c-c=yla+b

66

由①②得。=1,匕=退，故所求的雙曲線方程是丁一仁二1.

3

【答案】丁-匕=1

3

【例15】已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F(2,0)作斜率為6的直線，交雙曲線于

M,N兩點，且|MN=4,求雙曲線方程.

【考點】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

22

【解析】設(shè)所求雙曲線方程為=-3=1(a>0">0),由右焦點為(2,0),知

arb~

22

c=2,b2=4-a2,則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方二--二=1程為：

a4-a

y=J|(x-2),代入雙曲線方程整理得：

(20-8/)/+12。、+5/-32a2=0.

1

設(shè)M(Xi，y)，，y2)，則%+%=20_&『，百々=20—84一

解得〃=1,b2=4-1=3.

2

故所求雙曲線方程為：x2-^=\.

3

2

【答案】X?-匕=1

3

【例16】已知點4(-5。)和網(wǎng)60),動點C到A、3兩點的距離之差的絕對值為2,

點C的軌跡與直線y=x-2交于。、E兩點，⑴求軌跡C的方程；⑵求線段DE的

長.

【考點】雙曲線的方程

【難度】星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】⑴根據(jù)雙曲線的定義可知C的軌跡為雙曲線，焦距為|AB|=2G,實軸長為2,

2

其方程為標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程：x2-^=\.

2

y=x-2

(2)聯(lián)立，、y2J消去y得/+4%一6=0.

'"T"

設(shè)?！?々，%),則用+w=~4,MW=-6.

所以|DE|=,1+12kl-々|=夜+W)2-4痞=4后.故線段DE的長為4石.

【答案】⑴/-回=1;⑵線段0E的長為4后.

2

【例17】已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，焦距為26，另一雙曲線與此橢圓有

公共焦點，且其實軸比橢圓的長軸小8,兩曲線的離心率之比為3：7,求此橢圓、

雙曲線的方程.

【考點】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】⑴若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)它們方程分別為

2222

=+[=1(a>6>0),二=1(標(biāo)>0,，>0),依題意

arb~an~bn

c=cn=V13

a2=b2+c2Pi=7

222b=6

<arr=cn-bn"=?

八an=3

2〃n+8=2a

bn=2

*=3：7

aan

2222

?,?兩曲線方程分別為工+E=1,—-^-=1

493694

22

⑵若焦點在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為與-三=l(a>b>0)

ab~

22

雙曲線方程為上行一二^=l(an>0,Z?n>0),依題意有

an"bn

c=cn=V13

2o>9Q=7

c~=a~-b

，2jb=6

<cn~=a~+h"

on=3

2an+8=2a

bn=2

c.cn

—?-------=3.7

.aan

2222

J橢圓方程為E+工=1,雙曲線方程為二—二=1

493694

2222

【答案】橢圓方程為三+上=1,橢圓方程為工-X=1

493694

2222

或橢圓方程為匕+三=1,雙曲線方程為21一工=]

493694

r22

【例18】設(shè)小工分別是雙曲線二-斗v=1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A,使

a~b

/耳4瑪=90°且|4=；|=3|46|,則雙曲線的離心率等于（）

A.更B.巫C.巫D.布

222

【考點】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】由已知14Kb314gl及|4片|-|Ag|=2a,可得|4耳|=3a,|A行|=a,

又Nf；AK=90°,所以a2+（3a）2=（2cyne=￡=巫.

a2

【答案】B:

[15019]下列曲線中離心率為理的是（）

2

2

x2y

A.-----4-=

2

2

X2匕

C.-----6=

4

【考點】雙曲線的離心率

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，安徽高考

，18-瓜R/3,b13b21

【解析】由6=----,-f-9"—=—,即Id?—Z-=—,—=—.

2a22a22a22

【答案】B:

22

【例20】設(shè)。>1,則雙曲線二-一J=1的離心率e的取值范圍是（）

a（a+1）

A.（夜，2）B.（x/2,石）C.（2,5）D.（2,后）

【考點】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，全國高考

【解析】e=飛。+3+1）=+1）+i,而0<4<1,故&<e<也.

【答案】B:

【例21】設(shè)AABC是等腰三角形，ZABC=\2O0,則以4,3為焦點且過點C的雙曲線的離

心率為（）

A.B.c.1+V2D.1+>/3

22

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，全國高考

【解析】設(shè)AB=3C=2,則解三角形得AC=2G,

由題設(shè)，2c=|A8|=2,即c=l,2a=|lAC|-1BC||=2x/3-2即。=百-1,

因此e=￡==J—1+V3

aV3-12

【答案］B；

【例22】已知雙曲線捺-總=1（a>0）的中心在原點，右焦點與拋物線V=16x的焦點重

合，則該雙曲線的離心率等于（）

A「B.返C.3D.晅

55547

【考點】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年,廣州模擬

【解析】拋物線的焦點為（4,0）,故a?+9=16="=7,

44

從而雙曲線的離心率e=萬為反

【答案】D:

【例23】已知點耳、F,分別是雙曲線［-上=1的左、右焦點，過寫且垂直于x軸的直線

ab~

與雙曲線交于A、B兩點、,若AAB行為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值

范圍是（）

A.（1,+00）B.（1,右）C.（1,2）D.（1,1+72）

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，華師大附中高三測試

22

【解析】因為AABg為等腰三角形，4月=86，故只需/AK耳<45。即可.由二-與=1得

ab

A2A2

\yA\=—>在RlAAE瑪中,只需|A用=跖|=￡<內(nèi)國=2c即可?從而

Ci-=又e>l,解得l<e<l+夜.

2ac2e

【答案】D:

【例24】設(shè)雙曲線的一個焦點為F;虛軸的一個端點為8,如果直線FB與該雙曲線的一條

漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）

c〉+1D.3

A.y/2B.G

22

【考點】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，遼寧高考

【解析】D：

【答案】D;

22

【例25】已知雙曲線三-2=1（a>0力>0）的左右焦點分別為匕，￡,點A在雙曲線上,

ab

且軸，若制=g，則雙曲線的離心率等于（

)

A.2B.3C.V2D.

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，東城一模

|耳6|2=4/=|前|2-|45|2,結(jié)合耦=；,可得|4號=3.」4/"=1C,

【解析】

S3r

于是2a=|4耳|一|A居|=—c一一c=cn—=2,即雙曲線的離心率為2.

22a

【答案】A;

【例26]如圖，在等腰梯形A8CD中，AB〃C。，且加=0）.設(shè)=e,，e[o,gj,

以A,8為焦點且過點。的雙曲線的離心率為q,以C,/）為焦點且過點力的橢

圓的離心率為e2,則（）

A.隨著角度夕的增大，片增大，e?為定值

B.隨著角度6的增大，q減小，為定值

C.隨著角度。的增大，q增大，e?也增大

D.隨著角度6的增大，ej咸小，q.也減小

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，西城一模

【解析】

CD2-2cos/9

~BD-AD，5-4cos6-1

一方面，由①有q隨著。的增大而減小:

2(2-2cos0)_4-4cos0_]

另一方面,①x②有e{e2為定值.

(5-4cos6)-14-4cos0

因此選B.

【答案】K

【例27】直線x=，過雙曲線二-4=1(a>0">0)的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分

ab

別交于A,B兩點,若原點在以AB為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍

是.

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2010年，東城二模

【解析】人，，gj,要使原點在以A3為直徑的圓外，只需原點到直線A8

的距離1大于半徑鄉(xiāng)即可，于是6<a,e=:=Jl+(￡|，故e《曠.

【答案】(1,72)：

【例28】已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角

為60。，則雙曲線C的離心率為.

【考點】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，湖南高考

【解析】連結(jié)虛軸一個端點、一個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角

分別是b,c,且一個內(nèi)角是30°,即得2=tan30°,所以c=J5〃，a=41b,離心

c

率e，=".

a2

【答案】誣；

2

【例29】以雙曲線兩焦點為直徑端點的圓與雙曲線的四個交點連同雙曲線的焦點恰好構(gòu)成

一個正六邊形，則該雙曲線的離心率為.

【考點】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】數(shù)形結(jié)合，如圖，設(shè)雙曲線方程為

/b2

V,

(cG1

△O即為正三角形，點E一,—C代入雙曲線方程,

22

有笠=1,化簡整理可得

-8(￡)+4=0,解得e=￡=V5+].

【考點】雙曲線的離心率

【答案】V3+1;

22

【例30】過雙曲線C:三上=1(“>0,。>0)的一個焦點作圓X2+廠=/的兩條切線，切

?2b2

點分別為A,B.若408=120。(。是坐標(biāo)原點)，則雙曲線C的離心率

為.

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，湖南高考

【解析】由對稱性知，不妨設(shè)所過的點為右焦點,

22

【例31】已知雙曲線%=l(a>0,b>0)的左，右焦點分別為白，居，點P在雙曲線的

ab~

右支上，且|「片|=4|「巴|,則此雙曲線的離心率e的最大值為.

【考點】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】由定義知|PE|—|PBI=2a,又已知|「耳|=4|尸6|,解得|P用=*?,\PF2\=-a,

64242A2

—a+-a-4c］7Q

在A/線心中，由余弦定理，得COSNE/Y；=-2——-^―----=---e2,

cK288

2?一。?一。

33

要求e的最大值，即求cosN^PE的最小值，

當(dāng)P為實軸的右端點時，cosNFHE=-l,解得e=9,即e的最大值為工.

33

【答案】-

3

三、雙曲線的幾何性質(zhì)

、2

【例32】雙曲線土-二=1的焦點到漸近線的距離為()

412

A.2y/3B.2C.y/3D.1

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，海南高考

［解析】雙曲線的焦點(4,0)到漸近線y=6的距離為d=14y^~0l=2百.

【答案】A;

【例33】設(shè)尸是雙曲線￡一片=1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,小F2

a9

分別是雙曲線的左、右焦點，若|PEI=3,則|刊"=()

A.1或5B.6C.7D.9

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】y=-x=-x^>a=2,忸用一歸用|=2a=4n|尸周=7.

【答案】C:

【例34】已知點P在雙曲線燈-丫2“2(。>0)的右支上(「與&不重合)，A，4分別

為雙曲線的左、右頂點，且幺尸4=2NPA4,則NPA4=()

A.30°B.27.5°C.25°D.22.5°

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

［解析】法一：直接法

設(shè)P(x,y),不妨取y>0,則有x2-y2=42,

亍己NPAA2=。，則與必=2。，

|叫=J(x+a)2+y=yj2x(x+a),

x+a

|啊=yj(x-a)2+y2=y]2x(x-a),COS0=

J2x(x+a)

在AR4.4中，由正弦定理知：四上邑豈^/匹丁“一..

sin0sin2012x(x-a)

于是有j+a=a,解得：x=?a,于是y=a,

J2Mx+〃)y]2x(x-a)

cos20-2cos:0-1=2x—產(chǎn)~^-；=-------1-,從而?=巴.

2V2a.(72-1>28

法二：利用點評中性質(zhì)一與二

由性質(zhì)一知，如圖，AB_Lx軸，則8,P,4三點共線，

?i己NPA4=。，

則NAjA=2,，=ZAA,A,=36?,

7T7T

于是ZAAyA,+Z-AAyA=4。=—=>〃=—.

28

法三：利用點評中性質(zhì)三

A2

記N尸442=。，kPAi=tan0,kPAi=tan30,由性質(zhì)三知：tanatan36=-y=1,

又夕3(9e^O,|j,tan36>=cot(9=tan]；-(9),古攵36>=]—6n6=1.

【答案】D;

【例35】設(shè)片，鳥為雙曲線一--與=1(0<。<工">0)的兩個焦點，過月的直線交雙曲

sin0b2

線的同支于A,8兩點，如果|AB|=加，則的周長的最大值是().

A.4—7/7B.4C.4+mD.4+2m

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】由雙曲線的定義有l(wèi)A^I-IA4|=2sin6>,|Bg|-|B/"=2sin，，于是AA/^B的周長

為|Ag|+||+加=2sin6+|A耳|+2sin6+1Ag|+機=4sin6+2小，最大值當(dāng)

，=工時取得，最大值為4+2，”，選D.

2

【答案】D.

【例36】若點。和點尸(-2,0)分別為雙曲線提-爐=1伍>0)的中心和左焦點，點P為

雙曲線右支上的任意一點，則OP?五P的取值范圍為()

A.13-2\/3>+8)B.[3+2\/^,+8)

7、

C.----,+8|D.一，+8

L4J4

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，福建高考

【答案】B：

2

【例37】已知雙曲線產(chǎn)v--=1的左頂點為A，右焦點為P為雙曲線右支上一點，

則P\■PF2最小值為.

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2010年，西城二模

【解析】4(一1,0),1(2,0),設(shè)PQ,y)(x2l),

2

2

PA,PF2=(-1-X,y)(2-x,y)=x^-x-2+y,又產(chǎn)一《=],故丫2=3(f_|),

于是24,-尸6=4x2-x-5=4(x-J1-5--^,當(dāng)x=l時，取到最小值-2.

【答案】—2;

【例38]如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為耳，用，過乙的直線與左支交于A,8兩點,

若|AB|=5且實軸長為8,則△A8E的周長為.

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】由雙曲線的定義知：|&川-|耳A|=2o,\F2B\-\F}B\=2a,

兩式相加得：\F2A\+\EiB\-\FlA\-\FlB\=4a,

又h叫=5=|耳川+|先例，2a=8,

故|64|+|63|=4〃+|耳川+|耳例=16+5=21,

故AABg的周長為21+5=26.

【答案】26

【例39]若直線/過點(3,0)與雙曲線4/_9)，2=36只有一個公共點，則這樣的直線有

_______條.

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】法一(聯(lián)立方程組)

點M(3,0)在雙曲線上，

若直線/斜率不存在，則方程為x=3,代入知此時y=0,此時只有一個交點”，

滿足題意；

若直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Z(x-3),聯(lián)立卜'二“、二3),

[4r-9y=36

消去y得：(4-9/)/+54/x-9(4+9/)=0,

直線與雙曲線只有一個交點當(dāng)且僅當(dāng)上面的方程有唯一解，

4—9^2=0,即人=±—時，顯然滿足；

3

4一9必*0時，A=(54*2)2+36(4-9J12)(4+9A:2)=36x4x4>0,故此時不滿足.

故這樣的直線有三條，分別為工=3和曠=±：(》—3).

法二(圖象法)

雙曲線的圖象如右，點用為雙曲線的左頂點，因為雙曲線與漸近線越來越趨近，

結(jié)合圖象知，當(dāng)直線/與x軸垂直，或者與兩條漸近線平行時，直線與雙曲線只有

一個交點，

共有三條直線滿足情況.

【答案】3

)2

【例40】已知F是雙曲線三-匯=1的左焦點，A。，4),P是雙曲線右支上的動點，則

412''

|PF|+|PA|的最小值為.

【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，遼寧高考

【解析】F(-4,0),記右焦點為尸'(4,0),因為尸在雙曲線右支上，

故\PF\-\PF'\=2a=4,于是|PF|+|網(wǎng)=\PF'\+\PA\+4,故要求|PFZ|+歸川的最小

值.顯然當(dāng)P點為線段AF'與雙曲線的交點時有最小值

|AF'\="(1-4)2+(0-4)2=5.

【答案】9:

【例41】尸是雙曲線(一耳=1的右支上一點，MvN分別是圓C1:(x+5f+y2=4和

916

2

C2:(x-5)+/=