2021年文科高中數(shù)學(xué)所有知識點

高中文科數(shù)學(xué)知識點

必修1數(shù)學(xué)知識點

集合：

1、集合的定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。集合中的每個

對象叫做

這個集合中的元素

2、集合元素的特征：①確定性②互異性③無序性

3、集合的分類：①有限集②無限集③空集，記作0

4、集合的表示法：①列舉法②描述法③文氏圖法④特殊集合⑤區(qū)間法

常用數(shù)集及其記法：①自然數(shù)集（或非負(fù)整數(shù)集）記為N正整數(shù)集記為N*或N.

②整數(shù)集記為Z③實數(shù)集記為R④有理數(shù)集記為。

5、元素與集合的關(guān)系：①屬于關(guān)系，用表示；②不屬于關(guān)系，用“信”表示

6、集合間的關(guān)系：①包含：用“q”表示②真包含：用,”表示③相等④不相等

7、集合的交、并、補

交集的定義：由所有屬于集合A且屬于集合的元素組成的集合，叫做A與8的交集，記作

AflB,

即408=｛小"且^叫

并集的定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做A與5的并集，記作

AUB,

即AU8={A|X￡A或"3}

8、仝集與補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于人的所有元素組成的集合稱為集合4相對于

集合U的補集，記作C*,即CuA={4rwU,且T￡A}

9、交集、并集、補集的運算：

(1)交換律：AnB=BHAA\JB=B\JA

(2)結(jié)合律：(4n8)nc=An(Bnc)(AUB)UC=AU(BUC)

(3)分配律:.An(BUC)=(AnB)U(AnC)AU(BnC)=(AUB)n(AUC)

(4)0-1律：①DA=R6U4=AUDA=A,UUA=U

(5)等嘉律：AC\A=AA\JA=A

(6)求補律：AC\CuA=</fAUCuA=UCJJ=6Cb^=UCU(CUA)=A

(7)反演律：CU(AC\B)=(CUA)\J(CUB)Cu(AUB)=(CuA)n(C〃B)

10、文氏圖的應(yīng)用：交集、并集、補集的文氏圖表示

11、重要的等價關(guān)系：ariB=Au>AUB=Bu>Aq3

12、一個由〃個元素組成的集合有2"個不同的子集，其中有2”-1個非空子集，也有2〃-1個真子

集

函數(shù):

1、映射：設(shè)A、B是兩個集合，加入按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中的任何一個元素〃，在

集合8中都有唯一的元素〃和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到8的對應(yīng)

法則/）叫做從集合A到集合的映射，記作f其中b叫做。的象，。叫做。

的原象

加入在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且8中的

每一個元素都有原象，那么這個映射叫做A到3上的一一映射

2、函數(shù)：設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，那么從A到8的映射Af8就叫做函數(shù)，記作y=f（x）,

其

中x叫做自變量，），是x的函數(shù)值.自變量的取值集合4叫做函數(shù)的定義

域，函

數(shù)值的集合。叫做函數(shù)的值域，值域C=B,函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則;兩個函數(shù)

一樣：定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別一樣

3、函數(shù)的表示方法：（1）列表法（2）圖象法（3）解析法

4、分段函數(shù):在自變量的不同取值范圍內(nèi)，其解析式不同，分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，是一個函數(shù)

5、（1）函數(shù)的定義域的常用求法:

①分式的分母不等于零②偶次方根的被開方數(shù)大于等于零③對數(shù)的真數(shù)大于零

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1

⑤三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x^k7r+—（k^Z）,余切函數(shù)》=85中，

⑥加入函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍

(2)值域的求法：①直接法②分離常數(shù)法③圖象法④換元法⑤判別式法⑥不等式與對勾

函數(shù)

6、求函數(shù)解析式的方法：

①直代②湊配法③換元法④待定系數(shù)法⑤列方程組法⑥特殊值法

7、增減函數(shù)的定義：對于函數(shù)/(幻的定義域/內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值當(dāng)

①若當(dāng)玉V/時，都有/(X)</*2)，則說/*)在這個區(qū)間上是增函數(shù)

②若王當(dāng)時，都有/(內(nèi))>/(工2)，則說/*)在這個區(qū)間上是減函數(shù)

8、(1)單調(diào)性的證明：討論函數(shù)的漕減性應(yīng)先確定單調(diào)區(qū)間，用定義證明函數(shù)的增減性，有“一

設(shè)，二差，三判斷”三個步驟

(2)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

①若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，貝IJ/(幻+g(x)在這個區(qū)間上也為增

(減)函數(shù)

②若/")為增(減)函數(shù)，則-/(力為減(增)函數(shù)

③若/(x)與g(x)的單調(diào)性一樣，則y=/［以外］是增函數(shù)；若/(%)與g(x')的單調(diào)性不

同，則y=/lg*)］是減函數(shù)，即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是“同增異減”

④奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反

9、(1)奇、偶函數(shù)的定義：對于函數(shù)

①加入對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)/(%)就叫做偶函數(shù)

②加入對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個X,都有/(-x)=-/?>那么函數(shù)/(x)就叫做奇函數(shù)

注意：①函數(shù)為奇偶函數(shù)的前提是定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱

@f(-x)==f(x)&定義域上的恒等式

③若奇函數(shù)/(%)在x=0處有意義，則/(0)=0

④奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形

(2)函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

①加入一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,加入一個函數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)

又是偶函數(shù)，則f(x)=O(反之不成立)

②兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)

③一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)

④兩個函數(shù)y=f(u)和"=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該

復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)

基本初等函數(shù)

1、(1)一般地，加入那么x叫做。的〃次方根。其中〃>1,〃￡乂

①負(fù)數(shù)沒有偶次方根②0的任何次方根都是0,記作我=0

③當(dāng)〃是奇數(shù)時，叱=%當(dāng)〃是偶數(shù)時，(tz-0)

-a(a<O)

④我們規(guī)定：(1)am=(a>O.tn.neN\m>\)(2)

(2)對數(shù)的定義：設(shè)。>0且awl,對于數(shù)N>0,若能找到實數(shù)使得a"=N,那么數(shù)〃稱

為以a為底的N的對數(shù)，記作。=log.N,其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做

真數(shù)

注：(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)(因為N=d>0)(2)log“l(fā)=0,bg"=l(。>0且

"1)

(3)將b=log.N代回/二N得到一個常用公式cW=N(4)

a*=Nu>k)g“N=x

(3)募函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y=x“函數(shù)稱為募函數(shù).其中工是自變量，a是常數(shù)

2、(1)①優(yōu)優(yōu)=>O,r,swQ)②(優(yōu))'=〃以。>0J,s￡Q)

③=arbr(a>0力>0,rG2)

(2)當(dāng)。>0,。01,">0,'>0時：

①log“(MN)=log“M+log.N②log“借卜唾。M-log③log"M”=〃log“M

④換底公式：log,*=^^匿2(a>o,awi,c>o,cwi泊>o),利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：

log,。

1

nn

(1)logb=—logab(2)loguZ?=-----

"mlog》a

3、(1)指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=Q、(a>0,。工1)叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)的定義域是實數(shù)集R

<2)對數(shù)函數(shù)的定義：一般把函數(shù)丁=108,1(。>0且。。1)叫做對數(shù)函數(shù)，它的自變量為%,

其定義域是(0,+8),底數(shù)。為常數(shù)

表1指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,aw1)對數(shù)數(shù)函數(shù)V=log"x{a>0,aw1)

定義

xeRXG(0,-KO)

域

值域

表2事函數(shù)y=x°(a￡R)

a，

a<00<a<la>1a=\

q

'/

〃為奇數(shù)IZ,

奇函數(shù)

為奇數(shù)

q(-h-l)/7ER/

I1

■■j?.'、

p為奇數(shù)

g為偶數(shù)卜j

1__1_1_i-1―?—

一

1

P為偶數(shù)

偶函數(shù)

g為奇數(shù)I/1:

1

第一象限性

減函數(shù)增函數(shù)過定點(0,1)

質(zhì)

零點、二分法：

1、(1)函數(shù)的零點：

①對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點

方程/(%)=0有實根<=>函數(shù)y=/(X)的圖象與x軸有交點o函數(shù)y=/(x)有零點

②加入函數(shù)y=/(x)=O在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

f(a)f(b)<Ot那么函數(shù))，=f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在ce^b),使得

/(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根

(2)函數(shù)零點的求法：

①(代數(shù)法)求方程/(%)=0的實數(shù)根

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點

2、二分法：

定義：對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，

使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互

相平行，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCOE-A'BCDZ或用對角線的端點字母，如五棱柱A。’

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等;

平行于底面的截面是與底面全等的多邊形

(2)棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的

幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截

面距離與高的比的平方

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺P-A8COE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓②母線與軸平行③軸與底面圓的半徑垂直

④側(cè)面展開圖是一個矩形

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓②母線交于圓錐的頂點③側(cè)面展開圖是一個扇形

（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點③側(cè)面展開圖是一個弓

形

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓②球面上任意一點到球心的距離等于半徑

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從

上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和

(2)特殊幾何體表面積公式(C為底面周長，h為高,/?'為斜高，/為母線)：

S直棱柱側(cè)面積=chS網(wǎng)柱蝕=27vrhS正棱錐惻面枳=S圓錐側(cè)面積=mi

S正杖臺惻面積=g(q+°2川Sg］臺側(cè)面積=(r+R)6

S圓柱表=2”(尸+/)S我推表二療(r+/)S/臺表二萬｛/+"+應(yīng)+/?2)

(3)柱體、錐體、臺體的體積公式：

2

%=5/2Vm=Sh=7rrh%=；5力=1^r/?

VL=1(5'++S)h/臺=3(S'++S)h=-乃(/+rR+R2)h

(4)球體的表面積和體積公式：V球二g成3S球面=4或2

6、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：4、描述性說明3、平面是無限伸展的

②平面的表示：通常用希臘字母a、A7表示，如平面a(通常寫在一個銳角內(nèi))；也可

以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面8c

③點與平面的關(guān)系：點A在平面a內(nèi)，記作Awa；點4不在平面a內(nèi)，記作A史a

點與直線的關(guān)系：點A的直線/上，記作：Aw/；點A在直線/外，記作A史/

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面。內(nèi)，記作/qa；直線/不在平面。內(nèi)，記作/<za

(2)公理1:加入一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：

(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面

推論：一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3:加入兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面。和夕相交，交線是a,記作力符號語言：

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點

③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)

(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不

相交

③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線0、。是異面直線，經(jīng)過空間任意一點。，分別引直線

b'Hb,則把直線a'和//所成的銳角(或直角)叫做異面直線。和匕所成的角。兩條異面

直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面

直線互相垂直

說明：(1)判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義②異面直線的判定定理

(2)在異面直線所成角定義中，空間一點0是任取的，而和點。的位置無關(guān)

(3)求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂

點選在特殊的位置上

B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

(7)等角定理：加入一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補

(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線不在平面內(nèi)理交一只有一個公共點

(或直線在平面外)■(平行一一沒有公共點.

直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個公共點

三種位置關(guān)系的符號表示：auaa[}a=Aalia

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點：allp相交一一有一條公共直線:

aC\fi=b

6、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行

線線平行n線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：加入一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行=線線平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個平面平行的判定定理

(1)加入一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

(線面平行。面面平行)

(2)加入在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行

（線線平行。面面平行）

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行

兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）加入兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行〔面面平行。線面平行）

（2）加入兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行（面面平行O線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：加入兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直

②線面垂直:加入一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直

③平面和平面垂直：加入兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：加入一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面

性質(zhì)定理：加入兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：加入一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

性質(zhì)定理：加入兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另

一個平面

8、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點。，分別作與兩條異面直線。力平行的直線

a\b\形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直

角的角叫做兩條異面直線所成的角

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0°②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為

90

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條

直線和這

個平面所成的角

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”

在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時,

注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線

（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易

得垂線

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二

面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面

叫做二面角的面

②二面角的平面角：以二面角的梭上任意一點為頂點，在兩個畫

內(nèi)分別作奉享于棱的兩條射線，這兩條射線所成的

角叫二面角的平面角

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角兩相交平面加入所組

成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來,

加入兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上挑選有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱

的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩

個面的交線所成的角為二面角的平面角

直線與方程

1、直線的傾斜角

定義：工軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特殊地，當(dāng)直線與X軸平

行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°<?<180°

2、直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率

常用攵表示。即％=斜率反映直線與軸的傾斜程度

當(dāng)aw/ar）時，k>0當(dāng)ae（90'J80°）時，&<0當(dāng)a=90°時，A不存在

②過兩點的直線的斜率公式：左=三二左（為工々）

占一七

注意下面四點：（1）當(dāng)當(dāng)=超時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90。

（2）%與々，△的順序無關(guān)

（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到

3、直線方程

①點斜式：y-y=2（%-2）直線斜率2,且過點（％/）

注意：當(dāng)直線的斜率為0〃時，2=0,直線的方程是y=%

當(dāng)直線的斜率為90"時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示。但因/上每

一點的橫坐標(biāo)都等于修，所以它的方程是x=x,

②斜截式：y=kx+bt直線斜率為k,直線在.v軸上的截距為b

③兩點式：七21=三五（玉工出,凹工當(dāng)）直線兩點園,），2）

y2fw-x

④截矩式：-+^=1,其中直線/與x軸交于點（。,0）,與y軸交于點（0力），即/與x軸、），軸的

ab

截距分別為a,b

⑤一般式：Ax+By+C=0（4,B不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：平行于x粕的直線：y=b（匕為常

數(shù)）：平行于y軸的直線：x（。為常數(shù)）

4、兩直線平行與垂直

當(dāng)/[：>=匕%+々，4：丫=欠2%+%時,I】HI20k、=k?,b件b-/1±/2<=>kxk2=-1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否

5、兩條直線的交點：4：Ax+4），+G=0/2:A2x+B2y+C2

交點坐標(biāo)即方程組!AX+4），+G=°的一組解

[A2X+B2y+C2=0

方程組無解O/J〃2方程組有無數(shù)解O4與。重合

6、兩點間距離公式：設(shè)4%,兇)，是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，

則IAB|=“占一")2+(%—y)2

7、點到直線距離公式：一點;>(%,%)到直線4:Ar+8y+C=0的距離］二也上暨乜

VA2+B2

8、兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解

圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半

徑

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(元一〃)2+(丁一。2二r2,圓心半徑為廣

(2)一般方程F+/+6+西,+尸=o

當(dāng)。2+石2一4/>。時，方程表示圓，此時圓心為(----),半徑為

22

22

r=lVD+E-4F

2

當(dāng)。2+石2-4/=0時，表示一個點；當(dāng)。？+石2-4/V。時，方程不表示任何圖形

(3)求圓方程的方法：

一般都采納待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

需求出4、b、r；若利用一般方程，需要求出。、E、F,另外要注意多利用圓的幾何性

質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷:

(1)設(shè)直線/:Ax+B)，+C=O,圓C:(x-a)2+(y—力)2=/，圓心C(〃/)到/的距離為

d=\Aa+Bb+C\t則有與Ct目離；d=ro，與C+目切；/與Cf目交

ylA2+B2

(2)設(shè)直線/:Ax+5)，+C=0,圓。：(工-々)2+()，一為2=-2,先將方程聯(lián)立消元，得到一個

一元二次方程之后，令其中的判別式為△,則有△<0。/與C相離

△=0=/與。相切A,。。/與C相交

注：加入圓心的位置在原點，可使用公式*0+抄0=/去解直線與圓相切的問題，其中

(?Wo)

表示切點坐標(biāo)，r表示半徑

(3)過圓上一點的切線方程：

2

①圓/+/=產(chǎn)，圓上一點為(%,)，0)，則過此點的切線方程為xv0+yyQ=r

②圓0-4+⑶-切、/,圓上一點為(%,打)，則過此點的切線方程為

2

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(△)之間的大小比較來確定

222222

設(shè)圓G：(x-?i)+(.v-^)=r,C2:(x-a2)+(y-Z?2)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定

當(dāng)d>R+/?時兩圓外離，此時有公切線四條

當(dāng)1=R+，?時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條

當(dāng)火-rvdvH+r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線

當(dāng)d=|R—d時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線

當(dāng)時，兩圓內(nèi)含

當(dāng)d=0時，為同心圓

高一數(shù)學(xué)必修3

算法初步

1、秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計算逐步得出高次多項式的值，對于一個〃次多項式，只要作

〃次乘

法和〃次加法即可。表達(dá)式如下：

n+a”_]X”T+...+%=((((ax+)x++...)x+a)x+

anxnan_xan_2)x2

2、理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具

有廣泛的

含義

(1)描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言〔本書指偽代碼)

(2)算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是

一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一

定時間內(nèi)可以完成，在時間上有一個合理的限度

(3)算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等

②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，挑選結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

3、流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的

一種圖

形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改

注意：(1)畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

(2)拿不準(zhǔn)的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判

斷框時

往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后

檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方

法了

(3)在輸出結(jié)果時，加入有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起

終結(jié)到結(jié)

4、算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、挑選結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

(1)順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure):是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制

轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的

(2)挑選結(jié)構(gòu)(selectionstructure):或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時主要是注

意臨界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行,

其中的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行

某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句

(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure):它用來解決現(xiàn)實生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(〃〃山)

和當(dāng)型兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(即不知道循

環(huán)次數(shù)時)用當(dāng)型循環(huán)

5、基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC語言編寫的，是介

于自然語言和機器語言之間的文字和符號，是表達(dá)算法的簡單而有用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)

一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：

賦值語句中可以用x=y,也可以用x―y；表示兩變量相乘時可以用“*"，也可以用“x”

(1)賦值語句(assignmentstatement):用<-表示，如：x<—y,表示將的值賦給x,

其中x是一個變量，y是一個與工同類型的變量或者表達(dá)式

一般格式：“變量一表達(dá)式”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“x=y”，但此時的

“二”不是數(shù)學(xué)運算中的等號，而應(yīng)理解為一個賦值號

注：D賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式