新高考數(shù)學一輪復習講義第7章　§7.1　基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（原卷版）

§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積考試要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．知識梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4．柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體S表＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體S表＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(4)錐體的體積等于底面積與高之積．()教材改編題1.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺B．四棱錐C．四棱柱D．三棱柱2．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行3．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm題型一基本立體圖形命題點1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中不正確的是()A．以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺B．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點命題點2直觀圖例2已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A.eq\f(3\r(2),2)B．3eq\r(2)C．4eq\r(2)D．5eq\r(2)命題點3展開圖例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為()A．12cm B．13cmC.eq\r(61)cm D．15cm思維升華空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．(2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．(3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．跟蹤訓練1(1)如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8(2)(多選)下列命題中不正確的是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱C．不存在每個面都是直角三角形的四面體D．棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等(3)已知圓錐的側(cè)面積是底面積的eq\f(5,4)倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為()A.eq\f(4π,5)B.eq\f(6π,5)C.eq\f(8π,5)D.eq\f(9π,5)題型二表面積與體積命題點1表面積例4(1)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．8πB．4πC．8D．4(2)已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，有兩個側(cè)面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為eq\r(5)，則這個三棱錐的表面積為()A．4＋3eq\r(3)＋eq\r(15) B．4＋eq\r(3)＋2eq\r(15)C．4＋eq\r(3)＋eq\r(15) D．4＋2eq\r(3)＋eq\r(15)命題點2體積例5(1)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C．4D．6思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓練2(1)定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨(2)在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A．120cm2 B．162.7cm2C．785.4cm2 D．1570.8cm2課時精練1．若圓錐的母線長為2eq\r(3)，側(cè)面展開圖的面積為6π，則該圓錐的體積是()A.eq\r(3)πB．3πC．3eq\r(3)πD．9π2.如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是()A．8 B．16C．32 D．643．(多選)下列說法不正確的是()A．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體4．已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個面積為2π的半圓，則該圓錐的高為()A.eq\f(\r(5),2)B．1C.eq\r(2)D.eq\r(3)5.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路程為()A．12eq\r(3) B．16C．24 D．24eq\r(3)6．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為(eq\r(7)≈2.65)()A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m37.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，B1為PB的中點，D1為PD的中點，則棱錐A－B1CD1與棱錐P－ABCD的體積之比是()A．1∶4B．3∶8C．1∶2D．2∶38.(多選)攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長為eq\r(21)米，則()A．正四棱錐的底面邊長為6米B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為24eq\r(3)平方米D．正四棱錐的側(cè)面積為12eq\r(3)平方米9.如圖，在六面體ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，F(xiàn)E∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四邊形AEDC是菱形，則六面體ABC－FEDG的體積為________．10．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅．圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是________．11.如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，點M，N分別為棱AA1，CC1的中點，則棱錐B－AMNC的體積為________．12.某同學的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面邊長為3cm，這兩個正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.13．如圖，一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落處，容器與地面所成的角為30°，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點M，N到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是()A．15πB．36πC．45πD．48π14．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)15．(多選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，