新高考數學二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）20 累加、累乘、構造法求數列通項公式（原卷版）

素養(yǎng)拓展20累加、累乘、構造法求數列通項公式（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、累加法形如SKIPIF1<0型的遞推數列（其中SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的函數）可構造：SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個式子兩邊分別相加，可得：SKIPIF1<0=1\*GB3①若SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；=2\*GB3②若SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；=3\*GB3③若SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的二次函數，累加后可分組求和；=4\*GB3④若SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的分式函數，累加后可裂項求和．二、累乘法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推數列（其中SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的函數）可構造：SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個式子兩邊分別相乘，可得：SKIPIF1<0三、構造法1.第一種形式：形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數且SKIPIF1<0）型的遞推式（1）若SKIPIF1<0時，數列{SKIPIF1<0}為等差數列；（2）若SKIPIF1<0時，數列{SKIPIF1<0}為等比數列；（3）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，數列{SKIPIF1<0}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．方法有如下兩種：法一：設SKIPIF1<0，展開移項整理得SKIPIF1<0，與題設SKIPIF1<0比較系數（待定系數法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0構成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列．再利用等比數列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0兩式相減并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0構成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列．求出SKIPIF1<0的通項再轉化為累加法便可求出SKIPIF1<02.第二種形式：形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推式（1）當SKIPIF1<0為一次函數類型（即等差數列）時：法一：設SKIPIF1<0，通過待定系數法確定SKIPIF1<0的值，轉化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列SKIPIF1<0，再利用等比數列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：當SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0時，由遞推式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0轉化為第一種形式，求出SKIPIF1<0，再用累加法便可求出SKIPIF1<0（2）當SKIPIF1<0為指數函數類型（即等比數列）時：法一：設SKIPIF1<0，通過待定系數法確定SKIPIF1<0的值，轉化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列SKIPIF1<0，再利用等比數列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：當SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0時，由遞推式得：SKIPIF1<0——①，SKIPIF1<0，兩邊同時乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0——②，由①②兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在轉化為第一種形式便可求出SKIPIF1<0法三：遞推公式為SKIPIF1<0（其中p，q均為常數）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入輔助數列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0再應用類型第一種形式的方法解決．（3）當SKIPIF1<0為任意數列時，可用通法：在SKIPIF1<0兩邊同時除以SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在轉化為累加法，求出SKIPIF1<0之后得SKIPIF1<0．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通項公式.【典例2】已知數列{an}，a1=1，(n【典例3】已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．求數列SKIPIF1<0的通項公式；【題型訓練1-刷真題】一、單選題1．）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.記數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答題3．記SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．【題型訓練2-刷模擬】1.累加法一、單選題1．數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．22 D．234．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的第100項為（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前n項和，且對任意的正整數n，都滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．6065 B．6064 C．4044 D．40438．在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7二、填空題10．在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0中最大項的數值為．11．設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=.12．數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前100項的和為.13．已知數列SKIPIF1<0的各項均不為零，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．14．數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.三、解答題15．已知等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為2.數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0取得最小值時SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.16．在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：數列SKIPIF1<0是等比數列；(2)求數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.17．已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．18．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第SKIPIF1<0個圖形包含SKIPIF1<0個小正方形.

(1)求出SKIPIF1<0；(2)歸納出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系式，并根據你得到的關系式求SKIPIF1<0的表達式；(3)求證：SKIPIF1<0.19．設各項都為正數的數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設函數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．20．設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在數列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項之間，都插入SKIPIF1<0個相同的數SKIPIF1<0，組成數列SKIPIF1<0，記數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.2.累乘法一、單選題1．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．22．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．n3．數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數），則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數SKIPIF1<0為（

）A．20 B．19 C．21 D．22二、填空題6．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為．7．在數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為．8．數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則通項SKIPIF1<0．三、解答題9．已知等差數列SKIPIF1<0的各項均為正數，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式.10．已知數列SKIPIF1<0的首項為1，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.11．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是等比數列，且SKIPIF1<0成等差數列，求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0是公差為2的等差數列，證明：SKIPIF1<0．12．已知SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．13．已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等差數列；(2)求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積．3.構造法一、單選題1．在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在數列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則（

）A．SKIPIF1<0是等比數列 B．SKIPIF1<0是等比數列C．SKIPIF1<0是等比數列 D．SKIPIF1<0是等比數列4．已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前10項和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．25．已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．20236．已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題7．已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式為.8．）數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．9．數列{an}滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列{an}的通項公式為.10．已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則正整數SKIPIF1<0的值為.11．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．12．數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式是．13．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．三、解答題14．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．