高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二篇 第9講 函數(shù)的應(yīng)用 理 湘教版

第9講函數(shù)的應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·成都調(diào)研)在我國(guó)大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長(zhǎng)10.4%，專家預(yù)測(cè)經(jīng)過(guò)x年可能增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為 ()．解析由題意可得y＝(1＋10.4%)x.答案D2．(·青島月考)某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差 ()．A．10元 B．20元 C．30元 D.eq\f(40,3)元解析設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，當(dāng)t＝100時(shí)，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時(shí)，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.答案A3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤(rùn)為 ()．A．45.606萬(wàn)元 B．45.6萬(wàn)元C．45.56萬(wàn)元 D．45.51萬(wàn)元解析依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤(rùn)S＝L1＋L2，則總利潤(rùn)S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，∴當(dāng)x＝10時(shí)，Smax＝45.6(萬(wàn)元)．答案B4．(·綦江模擬)某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，則每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年時(shí)，其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大 ()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由題圖可得營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y＝－(x－6)2＋11，則營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12，∵x∈N*，∴eq\f(y,x)≤－2eq\r(x·\f(25,x))＋12＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(25,x)，即x＝5時(shí)取“＝”．∴x＝5時(shí)營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大．答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5．為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up7(加密))密文eq\o(→,\s\up7(發(fā)送))密文eq\o(→,\s\up7(解密))明文已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．解析依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當(dāng)y＝14時(shí)，由14＝2x－2，解得x＝4.答案46．如圖，書的一頁(yè)的面積為600cm2，設(shè)計(jì)要求書面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁(yè)書的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為_(kāi)_______．解析設(shè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm，則ab＝600，則中間文字部分的面積S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b，即a＝30，b＝20時(shí)，Smax＝486.答案30cm、20cm三、解答題(共25分)7．(12分)為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對(duì)移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時(shí)間x(分)與通話費(fèi)y(元)的關(guān)系分別如圖①、②所示．(1)分別求出通話費(fèi)y1，y2與通話時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請(qǐng)幫助用戶計(jì)算，在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡便宜？解(1)由圖象可設(shè)y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把點(diǎn)B(30,35)，C(30,15)分別代入y1，y2得k1＝eq\f(1,5)，k2＝eq\f(1,2).∴y1＝eq\f(1,5)x＋29，y2＝eq\f(1,2)x.(2)令y1＝y(tǒng)2，即eq\f(1,5)x＋29＝eq\f(1,2)x，則x＝96eq\f(2,3).當(dāng)x＝96eq\f(2,3)時(shí)，y1＝y(tǒng)2，兩種卡收費(fèi)一致；當(dāng)x<96eq\f(2,3)時(shí)，y1>y2，即使用“便民卡”便宜；當(dāng)x>96eq\f(2,3)時(shí)，y1<y2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(·濟(jì)寧模擬)某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元．為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x(x∈N*)名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))萬(wàn)元(a>0)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高0.2x%.(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？(2)在(1)的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則a的取值范圍是多少？解(1)由題意得：10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)．(2)從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x萬(wàn)元，從事原來(lái)產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)為10(1000－x)(1＋0.2x%)萬(wàn)元，則10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x≤10(1000－x)(1＋0.2x%)，所以ax－eq\f(3x2,500)≤1000＋2x－x－eq\f(1,500)x2，所以ax≤eq\f(2x2,500)＋1000＋x，即a≤eq\f(2x,500)＋eq\f(1000,x)＋1恒成立，因?yàn)閑q\f(2,500)x＋eq\f(1000,x)≥2eq\r(\f(2x,500)×\f(1000,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2x,500)＝eq\f(1000,x)，即x＝500時(shí)等號(hào)成立．所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范圍為(0,5]．B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·濰坊聯(lián)考)一張正方形的紙片，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“E”形圖案，如圖所示，設(shè)小矩形的長(zhǎng)、寬分別為x，y剪去部分的面積為20，若2≤x≤10，記y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象是 ()．解析由題意得2xy＝20，即y＝eq\f(10,x)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1時(shí)，排除C，D，又2≤x≤10，排除B.答案A2．(·湖北)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中，其含量M(單位：太貝克)與時(shí)間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：M(t)＝M02－eq\f(t,30)，其中M0為t＝0時(shí)銫137的含量．已知t＝30時(shí)，銫137含量的變化率是－10ln2(太貝克/年)，則M(60)＝ ()．A．5太貝克 B．75ln2太貝克C．150ln2太貝克 D．150太貝克解析由題意M′(t)＝M02－eq\f(t,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,30)))ln2，M′(30)＝M02－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,30)))ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3．(·武隆檢測(cè))按如圖所示放置的一邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則y＝f(x)在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為_(kāi)_______．解析將P點(diǎn)移到原點(diǎn)，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)第一次回到x軸時(shí)經(jīng)過(guò)的曲線是三段首尾相接的圓弧，它與x軸圍成的區(qū)域面積為eq\f(π,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))＋eq\f(π,4)＝π＋1.答案π＋14．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km.解析由已知條件y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))由y＝22.6解得x＝9.答案9三、解答題(共25分)5．(12分)(·湖南)如圖，長(zhǎng)方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向做勻速度移動(dòng)，速度為v(v>0)，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(c∈R)．E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：①P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|v－c|×S成正比，比例系數(shù)為eq\f(1,10)；②其他面的淋雨量之和，其值為eq\f(1,2).記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量．當(dāng)移動(dòng)距離d＝100，面積S＝eq\f(3,2)時(shí)，(1)寫出y的表達(dá)式；(2)設(shè)0<v≤10,0<c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少．解(1)由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為eq\f(3,20)|v－c|＋eq\f(1,2)，故y＝eq\f(100,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,20)|v－c|＋\f(1,2)))＝eq\f(5,v)(3|v－c|＋10)．(2)由(1)知，當(dāng)0<v≤c時(shí)，y＝eq\f(5,v)(3c－3v＋10)＝eq\f(53c＋10,v)－15；當(dāng)c<v≤10時(shí)，y＝eq\f(5,v)(3v－3c＋10)＝eq\f(510－3c,v)＋15.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(53c＋10,v)－15，0<v≤c，,\f(510－3c,v)＋15，c<v≤10.))①當(dāng)0<c≤eq\f(10,3)時(shí)，y是關(guān)于v的減函數(shù)，故當(dāng)v＝10時(shí)，ymin＝20－eq\f(3c,2).②當(dāng)eq\f(10,3)<c≤5時(shí)，在(0，c]上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10]上，y是關(guān)于v的增函數(shù)．故當(dāng)v＝c時(shí)，ymin＝eq\f(50,c).6．(13分)(·徐州模擬)某學(xué)校要建造一個(gè)面積為10000平方米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)．如圖，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是由一個(gè)矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)除跑道外，其他地方均鋪設(shè)草皮．已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，草皮每平方米造價(jià)為30元．(1)設(shè)半圓的半徑OA＝r(米)，設(shè)建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S(r)；(2)由于條件限制r∈[30,40]，問(wèn)當(dāng)r取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少？(精確到元)解(1)塑膠跑道面積S＝π[r2－(r－8)2]＋8×eq\f(10000－πr2,2r)×2＝eq\f(80000,r)＋8πr－64π.∵πr2＜10000，∴0＜r＜eq\f(100,\r(π)).(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的造價(jià)為y元，y＝150×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(80000,r)＋8πr－64π))＋30×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(10000－\f(80000,r)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8