考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷2（共218題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷2（共9套）（共218題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(χ)＝∫0sinχsint2dt，g(χ)＝χ3＋χ4，當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()。A、等價(jià)無窮小B、同階但非等價(jià)無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以正確答案為B．2、設(shè)f(χ)滿足：＝0，χf〞(χ)－χ2f′2(χ)＝1－e-2χ且f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，則()．A、χ＝0為f(χ)的極小值點(diǎn)B、χ＝0為f(χ)的極大值點(diǎn)C、χ＝0不是f(χ)的極值點(diǎn)D、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由＝0得f(0)＝0，f′(0)＝0．當(dāng)z≠0時(shí)，由χf〞(χ)－χ2f′2(χ)＝1－e-2χ得，f〞(χ)＝χf′2(χ)＋，再由f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)得f〞(0)＝＝2＞0，故χ＝0為f(χ)的極小值點(diǎn)，選A．3、設(shè)f(χ)＝，則f(χ)有()．A、兩個(gè)可去間斷點(diǎn)B、兩個(gè)無窮間斷點(diǎn)C、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)D、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：顯然χ＝0，χ＝1為f(χ)的間斷點(diǎn)．由f(0＋0)＝f(0－0)＝0，得χ＝0為f(χ)的可去間斷點(diǎn)；由f(1－0)≠f(1＋0)，得χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)，故選C．4、設(shè)f(χ，y)＝則f(χ，y)在(0，0)處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可偏導(dǎo)C、可偏導(dǎo)但不可微D、可微分標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)(χ，y)≠(0，0)時(shí)，0≤｜f(χ，y)｜＝｜χ｜.≤｜χ｜，由迫斂定理得f(χ，y)＝0＝f(0，0)，從而f(χ，y)在(0，0)處連續(xù)，選項(xiàng)A不對；由＝0得f′χ(0，0)＝0，由＝0得f′y(0，0)＝0，B項(xiàng)不對；令ρ＝，因?yàn)椴淮嬖冢詅(χ，y)在(0，0)處不可微分，選項(xiàng)D不對，故選C．5、考慮二元函數(shù)f(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)②可微③f′χ(χ0，y0)與f′y(χ0，y0)存在④f′χ(χ，y)與f′y(χ，y)連續(xù)若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(χ，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(χ，y)在(χ0，y0)處可微，若f(χ，y)在(χ0，y0)處可微，則f(χ，y)在(χ0，y0)處連續(xù)，故選B．6、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ滿足初始條件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，則為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閥(0)＝0，y′(0)＝1，所以由y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ得y〞(0)＝2，從而＝1，故選B．7、設(shè)A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()．A、若A2～B2，則A～BB、矩陣A的秩與A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等C、若A，B的特征值相同，則A～BD、若A～B，且A可相似對角化，則B可相似對角化標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由A～B得A，B的特征值相同，設(shè)為λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩陣P1，使得P1-1AP1＝B，即A＝P1BP1-1；因?yàn)锳可相似對角化，所以存在可逆矩陣P2，使得P2-1AP2＝，即A＝P2P2-1，于是有P1BP1-1＝P2P2-1，或P2-1P1BP1-1P2＝，取P＝P1-1P2，則P-1BP＝，即B可相似對角化．故選D二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝1，b＝－2知識點(diǎn)解析：由，即a＝b＋3；由，即a＝－b－1；解得a＝1，b＝－2．9、曲線在t＝0對應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝知識點(diǎn)解析：當(dāng)t＝0時(shí)，χ＝3，y＝1，，而＝0，將t＝0代入得＝e，于是切線的斜率為，于是法線為y＝1＝(χ－3)，即法線方程為y＝．10、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由＝χ＋1－y確定，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由得＝χ＋1－y．取χ＝0代入得＝1－y，解得y＝1．＝χ＋1－y兩邊對χ求導(dǎo)得，從而；兩邊再對χ求導(dǎo)得，從而．11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ，y)dχ知識點(diǎn)解析：二重積分的積分區(qū)域?yàn)镈＝{(χ，y)｜1－y≤χ≤1＋y2，0≤y≤1}，則12、微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ滿足＝1的特解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝－3eχ＋3e2χ－2χeχ知識點(diǎn)解析：特征方程為λ2－3λ＋2＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝2，y〞－3y′＋2y＝0的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ．令原方程的特解為y0(χ)＝Aχeχ，代入原方程為A＝－2，原方程的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ－2χeχ由＝1得y(0)＝0，y′(0)＝1，代入通解得C1＝－3，C2＝3，特解為y＝－3eχ＋3e2χ－2χχ．13、已知三階方陣A，B滿足關(guān)系式E＋B＝AB，的三個(gè)特征值分別為3，－3，0，則｜B-1＋2E｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－8知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為3，－3，0，所以A－E的特征值為2，－4，－1，從而A－E可逆，由E＋B＝AB得(A－E)B＝E，即B與A－E互為逆陣，則B的特征值為，－1，B-1的特征值為2，－4，－1，從而B-1＋2E的特征值為4，－2，1，于是｜B-1＋2E｜＝－8．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)f(χ)二階可導(dǎo)，且f(0)＝0，令g(χ)＝(Ⅰ)確定a的取值，使得g(χ)為連續(xù)函數(shù)；(Ⅱ)求g′(χ)并討論函數(shù)g′(χ)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)＝f′(0)，當(dāng)a＝f′(0)時(shí)，g(χ)在χ＝0處連續(xù)．(Ⅱ)當(dāng)χ≠0時(shí)，g′(χ)＝，當(dāng)χ＝0時(shí)，所以g′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(0≤a＜b≤)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(χ)＝－cosχ，g′(χ)＝sinχ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得(盤，6)，使得；令h(χ)＝sinχ，h′(χ)＝cosχ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(χ)連續(xù)且f(0)＝0，f′(0)＝2，求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0χf(χ－t)dt＝－∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－∫χ0f(u)du＝∫0χf(u)du再由得∫0χf(χ－t)dt～χ2，知識點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算積分χ2y2dχdy，其中D是由直線y＝2，y＝0，χ＝－2及曲線χ＝－了所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜－2≤χ≤0，0≤y≤2}，D2＝{(χ，y)｜－≤χ≤0，0≤y≤2}，知識點(diǎn)解析：暫無解析18、過點(diǎn)P(0，－)作拋物線y＝的切線，該切線與拋物線及χ軸圍成的平面區(qū)域?yàn)镈，求該區(qū)域分別繞χ軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為(a，)，由，解得a＝3，則切線方程為y＋(χ－0)，即y＝(χ－1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求z＝χ2－2y2＋2χ＋4在區(qū)域χ2＋4y2≤4上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ2＋4y2＜4時(shí)，由，且z(－1，0)＝3；當(dāng)χ2＋4y2＝4時(shí)，令(0≤t≤2π)，則z＝4cos2t一2sin2t＋4cost＋4＝6cos2t＋4cost＋2＝，當(dāng)cos＝－時(shí)，zmin＝；當(dāng)cost＝1時(shí)，zmax＝12，故z＝χ2－2y2＋2χ＋4在χ2＋4y2≤4上的最小值為，最大值為12．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)曲線y＝y(tǒng)(χ)過(0，0)點(diǎn)，M是曲線上任意一點(diǎn)，MP是法線段，P點(diǎn)在X軸上，已知MP的中點(diǎn)在拋物線2y2＝χ上，求此曲線的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M(χ，y)，則法線方程為Y－y＝－(X－χ)．令Y＝0得X＝y(tǒng)y′＋χ，于是P點(diǎn)坐標(biāo)為(yy′＋χ，0)．MP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它位于給定的拋物線上，于是有方程y2＝y(tǒng)y′＋2χ，即－2y2＝－4χ，所以y2e-2χ＝2χe-2χ＋e-2χ＋C由y(0)＝0得C＝－1，所求曲線方程為y2＝1＋2χ－e2χ．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是三階實(shí)對稱矩陣，存在可逆矩陣P＝，使得P-1AP＝，又α＝且A*α＝μα．(Ⅰ)求常數(shù)a，b的值及μ．(Ⅱ)求｜A*＋3E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A的特征值為λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1，令顯然Aα1＝α1，Aα2＝2α2，Aα3＝－α3，即α1，α2，α3為分別屬于λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1的特征向量，因?yàn)锳是實(shí)對稱矩陣，所以解得a＝，b＝－2．A*的特征值為＝2，由α3＝－α得α是矩陣A的屬于特征值λ3＝－1的特征向量，從而α是A*的屬于特征值2的特征向量，即μ＝2．(Ⅱ)A*＋3E的特征值為1，2，5，則｜A*＋3E｜＝10．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，且存在正交矩陣Q＝，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由QTAQ＝得A的特征值為λ1＝2，λ2＝－1，λ3＝1，且λ1＝2對應(yīng)的特征向量為考ξ1＝．由AT＝A得BT＝(A2＋2E)T＝(A2)T＋2E＝A2＋2E＝B，即B為實(shí)對稱矩陣．顯然B的特征值為λ1＝6，λ2＝λ3＝3，且B相應(yīng)于特征值λ1＝6的特征向量為ξ1＝．設(shè)B的相應(yīng)于λ2＝λ3＝3的特征向量為ξ＝，因?yàn)閷?shí)對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以ξ1Tξ＝0，即χ1＋χ2＋χ3＝0，于是B的相應(yīng)于特征值λ2＝λ3＝3的線性無關(guān)的特征向量為ξ2＝．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則()A、f(x)在x=0處連續(xù)，但未必可導(dǎo)。B、f(x)在x=0處極限存在，但未必連續(xù)。C、f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f’(x)=a。D、以上結(jié)論均不正確。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：在求解本題時(shí)，考生需要將f(x)在x=0處的左、右導(dǎo)數(shù)f－’(0)，f+’(0)和f’(x)在x=0處的左、右極限區(qū)分開來。由只能得出但不能保證f(x)在x=0處可導(dǎo)、連續(xù)、極限存在。故本題選D。2、設(shè)則A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：方法一：函數(shù)z=f(x，y)關(guān)于y求偏導(dǎo)得將點(diǎn)(0，1)代入上式得方法二：將x=0代入函數(shù)z=f(x，y)，得z=f(0，y)=2y，于是故本題選B。3、曲線的漸近線條數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗詘=0是曲線的1條垂直漸近線。因?yàn)樗郧€不存在水平漸近線。設(shè)曲線的斜漸近線為y=kx+b，則所以y=x+1是曲線的1條斜漸近線；又因?yàn)樗詙=－x－1是曲線的1條斜漸近線。綜上，曲線一共有3條漸近線。故本題選D。4、設(shè)f(x)是(－∞，+∞)上的連續(xù)偶函數(shù)，且|f(x)|≤m，則是(－∞，+∞)上的()A、有界奇函數(shù)。B、有界偶函數(shù)。C、無界奇函數(shù)。D、無界偶函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：首先討論函數(shù)F(x)的奇偶性：對任意的x∈(－∞，+∞)，有令t=－u，得所以F(x)是(－∞，+∞)上的偶函數(shù)。其次討論函數(shù)F(－x)的有界性：因?yàn)镕(x)是(－∞，+∞)上的偶函數(shù)，所以我們可以只討論x≥0時(shí)，函數(shù)F(x)的有界性。由于所以F(x)是(－∞，+∞)上的有界函數(shù)。故本題選B。5、設(shè)在[1，2]上f"(x)＞0，則f’(1)，f’(2)，f(2)－f(1)或f(1)－f(2)的大小關(guān)系為()A、f’(2)＞f’(1)＞f(2)-f(1)。B、f’(2)＞f(2)-f(1)＞f’(1)。C、f((1)-f(2)＞f’(2)＞f’(1)。D、f’(2)＞f(1)-f(2)＞f’(1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知f"(x)＞0，x∈[1，2]，可得函數(shù)f’(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增。由拉格朗日中值定理得f(2)-f(1)=f’(ξ)，ξ∈(1，2)。因此f’(1)＜f’(ξ)＜f’(2)，即有f’(1)＜f(2)-f(1)＜f’(2)。故本題選B。6、曲線y=(x2+1)sinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的圖形的面積可表示為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)0≤x≤π，2π≤x≤3π時(shí)，y=(x2+1)sinx≥0；當(dāng)π≤x≤2π時(shí)，y=(x2+1)sinx≤0。所以曲線y=(x2+1)sinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的圖形的面積為故本題選D。7、設(shè)n階方陣A，B，C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E為n階單位陣，則必有()A、ACB=E。B、BAC=E。C、CAB=E。D、CBA=E。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由ABC=E可知A(BC)=E或(AB)C=E，因此矩陣A與矩陣BC、矩陣AB與矩陣C均互為逆矩陣，從而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E。故本題選C。8、若三階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為1，2，－2，B*是矩陣B的伴隨矩陣，則行列式A、8B、－8C、1D、－1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由矩陣A的特征值為1，2，－2及|A|=|AT|得，|AT|=－4。因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦担跃仃嘊的特征值為1，2，－2，則|B|=－4。所以故本題選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線的漸近線為________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0和知識點(diǎn)解析：曲線的可能間斷點(diǎn)為x=0，則所以x=0為曲線的垂直漸近線。因?yàn)樗詾榍€的斜漸近線。又因?yàn)樗郧€無水平漸近線。10、與曲線(y－2)2=x相切，且與曲線在點(diǎn)(1，3)的切線垂直的直線方程為______________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：曲線方程(y－2)2=x對x求導(dǎo)得2(y－2))y’=1，即當(dāng)y=3時(shí)，即曲線在(1，3)處的法線斜率為－2。因?yàn)樗笾本€與曲線在點(diǎn)(1，3)的法線平行，所以直線斜率為解得則所求直線方程與曲線的切點(diǎn)為因此所求直線方程為即11、已知凹曲線y=f(x)在曲線上的任意一點(diǎn)(x，f(x))處的曲率為且f(0)=0,f’(0)=0，則f(x)=______________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：根據(jù)曲率公式因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為凹曲線，所以f"(x)＞0，則有微分方程令f’(x)=p，則解微分方程可得12、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=f(xy，y)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：f1’+xyf11"+yf12"知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗?3、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則交換積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D，如右圖陰影部分所示，則有交換積分次序14、設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，且A2－2A－8E=O，則r(4E－A)+r(2E+A)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識點(diǎn)解析：已知A2-2A－8E=O，所以(4E－A)(2E+A)=O。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可知r(4E－A)+r(2E+A)≤n，同時(shí)r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E－A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E－A)+r(2E+A)=n。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：對極限式先通分，然后再利用麥克勞林公式展開得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、證明不等式3x＜tanx+2sinx，標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則有f’(x)=sec2x+2cosx－3，f"(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec3x－1)，由于當(dāng)時(shí)，sinx＞0，sec3x－1＞0，所以f"(x)＞0，所以函數(shù)f’(x)=sec2x+2cosx－3為增函數(shù)，且f’(0)=0，因此當(dāng)時(shí)，f’(x)＞0，所以f(x)=tanx+2sinx－3x為增函數(shù)，f(x)=tanx+2sinx－3x＞f(0)=0，即有知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)z=x(x，y)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，變量代換u=ax+y，v=x+by把方程化為求ab。標(biāo)準(zhǔn)答案：對函數(shù)z=z(x，y)求偏導(dǎo)數(shù)得所以由題意得解得所以ab=－1。知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二階可導(dǎo)，x=1是f(x)的極值點(diǎn)，且證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x=1是f(x)的極值點(diǎn)，所以f’(1)=0。因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以由積分中值定理可知，存在使得即有又因?yàn)閒(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理可知，存在使得f’(ζ)=0。再由f’(x)在[ζ，1]上連續(xù)，在(ζ，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(ζ)=f’(1)=0可知，存在ξ∈(ζ，1)(0，1)，使得f"(ξ)=0。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求函數(shù)f(x，y)=x2+xy+y2在閉區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所給的區(qū)域D是閉區(qū)域，故先考慮函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)部{(x，y)|x2+y2＜1)的極值，這屬于無條件極值，解線性方程組所以x=0，y=0。在(0，0)點(diǎn)，有fxx"=2＞0，fxy"=1，fyy"=2，所以fxx"fyy"－(fxy")2＞0，所以(0，0)點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(0，0)=0。然后考慮函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D邊界{(x，y)|x2+y2=1)的極值，這屬于條件極值，構(gòu)造如下的拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=x2+xy+y2－λ(x2+y2－1)，對上式求偏導(dǎo)得如下方程組將上述方程組化簡得4λ2－8λ+3=0．解得當(dāng)時(shí)，x=－y，當(dāng)時(shí)，x=y，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可取得最大值和最小值，所以f(x，y)在邊界上的最大值為最小值為綜上所述，f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值為最小值為0。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算二重積分其中D是由直線y=1、曲線y=x2(x≥0)以及y軸所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：二重積分的積分區(qū)域D如下圖陰影部分所示。其中，被積函數(shù)xe－(1－x2)2適合先y后x的積分次序，被積函數(shù)xe－y2適合先x后y的積分次序，則令t=1－x2，則同理可得因此知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：y(x)=e－2xf(x，x)對x求導(dǎo)得y’=－2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x)=－2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=－2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，因?yàn)閒’u(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，因此y’=－2y+x2e－2x，即y(x)滿足一階微分方程y’+2y=x2e－2x。由一階線性微分方程的通解公式得其中C為任意常數(shù)。方法二：由y(x)=e－2xf(x，x)得f(x，x)=e2xy(x)，因?yàn)閒u’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，即將其代入f(x，x)=e2xy(x)有[e2xy(x)]’=x2，即2e2xy(x)+e2xy’(x)=x2，化簡得y’(x)+2y(x)=x2e－2x。由一階線性微分方程的通解公式得其中C為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)X是三階矩陣。求當(dāng)a為何值時(shí)，方程AX－B=BX無解；當(dāng)a為何值時(shí)，方程AX－B=BX有解，有解時(shí)，求出全部解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得，矩陣方程為(A－B)X=B，且將矩陣B和X寫成分塊矩陣(按列分)的形式，則B=(β1，β2，β3)，X=(x1，x2，x3)，所以矩陣方程為(A－B)X=(A－B)(x1，x2，x3)=(β1，β2，β3)，則有(A－B)xi=βi，i=1，2，3。對增廣矩陣(A－B，B)作初等行變換當(dāng)a=3時(shí)，r(A－B)=2，r(A－B，B)=3，則r(A－B)＜r(A－B，B)，此時(shí)方程AX—B=BX無解。當(dāng)a≠3時(shí)，r(A－B)=r(A－B，B)=3，此時(shí)方程AX－B=BX有唯一解。(A－B)x1=β1的解為(A－B)x2=β2的解為(A－B)x3=β3的解為綜上，方程AX－B=BX的解為知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12+2y22+by32。23、求常數(shù)a，b及所用的正交變換矩陣Q；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得，二次型矩陣及其對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣分別為由矩陣B可知，矩陣A的特征值為2，2，b。矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b，所以b=－1。由于2是矩陣A的二重特征值，而實(shí)對稱矩陣A必可相似對角化，所以矩陣A的對應(yīng)于特征值2的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè)。于是矩陣A－2E的秩為1，而所以a=－1。由(A－λE)x=0得，特征值為λ1=λ2=2，λ3=－1，對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，0，－1)T，α2=(0，1，－1)T，α3=(1，1，1)T，由于實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α1，α2正交化得再將β1，β2，α3單位化得則正交變換矩陣知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求f在xTx=3下的最大值。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為f=2y12+2y22－y32。條件xTx=3等價(jià)于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此時(shí)f=2y12+2y22－y32=6－3y32的最大值為6，所以f在xTx－3下的最大值為6。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)f(x)=的可去間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(0－0)≠f(0+0)，所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)；因?yàn)閒(2－0)=0，f(2+0)=－∞，所以x=2為第二類間斷點(diǎn)；故f(x)有兩個(gè)可去間斷點(diǎn)，應(yīng)選(C)．2、設(shè)f(x)滿足：=0，xf"(x)－x2f’2(x)=1－e－2x且f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，則()．A、x=0為f(x)的極小值點(diǎn)B、x=0為f(x)的極大值點(diǎn)C、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)D、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由=0得f(0)=0，f’(0)=0．當(dāng)x≠0時(shí)，由xf"(x)－x2f’2(x)=1－e－2x得f"(x)=xf’2(x)+再由f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)得故x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，選(A)．3、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=0，f’(0)=3，D={(x，y)｜x2+y2≤t2，t＞0}，且～atb(t→0+)，則()．A、a=1，b=3B、a=π，b=3C、a=1，b=2D、a=π，b=2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可偏導(dǎo)C、可偏導(dǎo)但不可微D、可微分標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)，0≤｜f(x，y)｜=≤｜x｜，由迫斂定理得=0=f(0，0)，從而f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，(A)不對；5、考慮二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)②可微③f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)存在④f’x(x，y)與f’y(x，y)連續(xù)若用“P=>Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()．A、②=>③=>①B、④=>②=>①C、②=>④=>①D、④=>③=>②標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)在(x0，y0)處可微，若f(x，y)在(x0，y0)處可微，則f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)，選(B)．6、設(shè)y=y(x)是微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閥(0)=0，y’(0)=1，所以由y"+(x－1)y’+x2y=ex得y"(0)=2，7、設(shè)A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()．A、若A2～B2，則A～BB、矩陣A的秩與A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等C、若A，B的特征值相同，則A～BD、若A～B，且A可相似對角化，則B可相似對角化標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由A～B得A，B的特征值相同，設(shè)為λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩陣P1，使得P1－1AP1=B，即A=P1BP1－1；因?yàn)锳可相似對角化，所以存在可逆矩陣P2，使得P2－1AP2=8、設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、設(shè)r(A)=r，則A有r個(gè)非零特征值，其余特征值皆為零B、設(shè)A為非零矩陣，則A一定有非零特征值C、設(shè)A為對稱矩陣，A2=2A，r(A)=r，則A有r個(gè)特征值為2，其余全為零D、設(shè)A，B為對稱矩陣，且A，B等價(jià)，則A，B特征值相同標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：取A=，顯然A的特征值為0，0，1，但r(A)=2，(A)不對；設(shè)A=，顯然A為非零矩陣，但A的特征值都是零，(B)不對；兩個(gè)矩陣等價(jià)，則兩個(gè)矩陣的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不對；選(C)．事實(shí)上，令A(yù)X=λX，由A2=2A得A的特征值為0或2，因?yàn)锳是對稱矩陣，所以A一定可對角化，由r(A)=r得A的特征值中有r個(gè)2，其余全部為零．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、極限=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)=exsin2x，則f(4)(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-24知識點(diǎn)解析：11、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、y=y(x)由確定，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(e－2－e－1)知識點(diǎn)解析：13、若f(x)=2nx(1－x)n，記Mn=，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0，得x=，由f(0)=f(1)=0，14、設(shè)A=，且ABAT=E+2BAT，則B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)－1AT+2BAT，因?yàn)锳T可逆，所以AB=(AT)－1+2B或B=(A－2E)－1(AT)－1=[AT(A－2E)]－1，解得B=三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，證明：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，φ(0)=0，φ’(x)=2f(x)∫0xf(t)dt－f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]．再令h(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)，h(0)=0，h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]．由f(0)=0，0＜f’(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，則h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(0＜x≤1)，于是φ(1)＞0，即[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)，其中a＜0，確定a，b，c，使拋物線與x軸所圍成的面積最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：由拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)得c=0，a+b=2或b=2－a，c=0．因?yàn)閍＜0，所以b＞0，由ax2+bx=0得x1=0，x2=＞0．令S’(a)=0得a=－4，從而b=6，故a=－4，b=6，C=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(u)二階連續(xù)可導(dǎo)，z=f(exsiny)，且=e2xz+e3xsiny，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=e2xz+e3xsiny得e2xf"(exsiny)=e2xz+e3xsiny，或f"－f=exsiny，于是有f"(x)－f(x)=x．顯然f(x)=C1e－x+C2ex－x．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)L：+y2=1(x≥0，y≥0)，過L上一點(diǎn)作切線，求切線與曲線所圍成面積的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求切線與坐標(biāo)軸圍成的面積．設(shè)M(x，y)∈L，過點(diǎn)M的L的切線方程+yY=1．令Y=0，得x=，切線與X軸的交點(diǎn)為P(，0)；令X=0，得Y=，切線與y軸交點(diǎn)為Q(0，)，切線與橢圓圍成的圖形面積為S(x，y)=其次求最優(yōu)解．設(shè)F(x，y，λ)=xy+λ(+y2－1)，知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知微分方程=(y－x)z，作變換u=x2+y2，v=，w=lnz－(x+y)，其中w=w(u，v)，求經(jīng)過變換后原方程化成的關(guān)于w，u，v的微分方程的形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：w=lnz－(x+y)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得w=lnz－(x+y)兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D是由直線x=－2，y=0，y=2及曲線x=所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線x=與y軸圍成的平面區(qū)域?yàn)镈0，知識點(diǎn)解析：暫無解析21、當(dāng)隕石穿過大氣層向地面高速墜落時(shí)，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實(shí)驗(yàn)證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過程中始終保持球狀．若它在進(jìn)入大氣層開始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問此隕石完全燃盡需要多長時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)隕石體積為V，表面積為S，半徑為r，它們都是時(shí)間t的函數(shù)，知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)，問a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解，有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即當(dāng)a=1，b=2，c=－2時(shí)，矩陣方程有解，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，若存在三階正交矩陣Q=，使得二次型XTAX－y12+2y22+by32(b＞0)，且｜A*｜=16．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A的特征值為λ1=－1，λ2=2，λ3=b，因?yàn)椴煌卣髦祵?yīng)的特征向量正交，所以a=－1．｜A｜=－2b，由｜A*｜=｜A｜2得b=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)則x=0是f(x)的()A、振蕩間斷點(diǎn)。B、跳躍間斷點(diǎn)。C、可去間斷點(diǎn)。D、無窮間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知得，當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=0點(diǎn)的左、右極限存在但不相等，所以x=0為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。故本題選B。2、設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題意可得所以故本題選A。3、若f"(x)不變號，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)()A、有極值點(diǎn)，無零點(diǎn)。B、無極值點(diǎn)，有零點(diǎn)。C、有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)。D、無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知得f(x)為凸函數(shù)，因此f"(x)＜0。對曲率圓x2+y2=2關(guān)于x求導(dǎo)得2x+2yy’=0，所以f’(1)=－1。曲線在點(diǎn)(1，1)處的曲率為所以f"(1)=－2。在閉區(qū)間[1，2]上，f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(1，2)內(nèi)無極值點(diǎn)。由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<－1，因?yàn)閒(1)=1＞0，所以f(2)＜0。由零點(diǎn)定理知，在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。故本題選B。4、設(shè)則F(x)在x=0處()A、極限存在但不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)。D、可導(dǎo)性與a值有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)x≤0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，因?yàn)樗訤(x)在x=0處連續(xù)。而所以F(x)在x=0處的可導(dǎo)性與a值有關(guān)。故本題選D。5、已知當(dāng)x→時(shí)，arcsinx－arctanax與bx[x－ln(1+x)]是等價(jià)無窮小，則ab=()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：根據(jù)等價(jià)無窮小的定義有所以則a=1，b=1，因此ab=1。故本題選B。6、方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：齊次微分方程y"－3y’+2y=0對應(yīng)的特征方程為λ2－3λ+2=0．特征根為λ1=1，λ2=2，則方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故本題選D。7、向量組α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，－1，-3，4)T，α3=(6，4，4，6)T，α4=(7，7，9，1)T，α5=(3，2，2，3)T的一個(gè)極大線性無關(guān)組是()A、α1，α2，α5。B、α1，α3，α5。C、α2，α3，α4。D、α3，α4，α5。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：對α1，α2，α3，α4，α5構(gòu)成的矩陣作初等行變換可見r(α1，α2，α3，α4，α5)=3。由上述矩陣可知，三個(gè)非零行的非零首元在1，2，4列，所以α1，α2，α4為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。選項(xiàng)中無此答案，現(xiàn)結(jié)合選項(xiàng)來看，由于上述矩陣的第3列和第5列成比例，所以α3，α5線性相關(guān)，即同時(shí)包含α3，α5的選項(xiàng)錯(cuò)誤，故排除B、D。又因?yàn)樯鲜鼍仃嚨牡?行的非零元只有1個(gè)，且在第4列，所以α4必在極大無關(guān)組中，故本題選C。實(shí)際上，對于C項(xiàng)，上述矩陣對應(yīng)的三階子式所以α2，α3，α4是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。8、設(shè)A，B均為n階矩陣，A可逆，且A與B相似，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()①AB與BA相似；②A2與B2相似；③AT與BT相似；④A－1與B－1相似。A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳與B相似，所以存在可逆矩陣P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，則有A2與B2相似，AT與BT相似，A－1與B-1相似。又因?yàn)锳可逆，所以A－1(AB)A=BA，即AB與BA相似。故本題選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足則曲線y=f(x)在點(diǎn)(－1，f(－1))的切線方程為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=4(x+1)知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗约匆驗(yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－1)=0。根據(jù)可得所以f’(1)=－4。因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，則f’(1)=-f’(－1)=－4，即f’(－1)=4，因此所求切線方程為y=4(x+1)。10、設(shè)則f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=3知識點(diǎn)解析：函數(shù)可化為顯然函數(shù)在x=3處不可導(dǎo)。11、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗?2、函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+2y在點(diǎn)(1，－1)取得極值，則ab=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+y分別對x，y求偏導(dǎo)，得因?yàn)楹瘮?shù)f(x，y)=ax2+bxy2+2y在點(diǎn)(1，－1)取得極值，所以則因此13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題先對y積分較困難，而先對x積分可以應(yīng)用湊微分法，因此先交換積分次序得求解上述積分得14、設(shè)α1=(2，1，1)T，α2=(－1，2，7)T，α3=(1，－1，－4)T，若β1=(1，2，t+1)2可以由α1，α2，α3線性表示，但是β2=(t，1，0)2不可以由α1，α2，α3線性表示，則t=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意，β1可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1有解；β2不可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解。由于兩個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，因此可以合并在一起進(jìn)行矩陣的初等變換，即所以當(dāng)t=4時(shí)，方程組x1α1+x2α2+3α3=β1有解，方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，故t=4。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令則所以又因?yàn)樗灾R點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算二重積分其中D是由x軸、y軸與曲線圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖中陰影部分所示。因此令則x=a(1－t)2，dx=－2a(1－t)dt，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求函數(shù)y=y(x)的極值和曲線y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榱畹胻=±1。當(dāng)t=1時(shí)，當(dāng)t=－1時(shí)，x=－1，y=1。令得t=0，此時(shí)，列表如下由上表可知，函數(shù)y=y(x)的極大值為y(－1)=1，極小值為曲線y=y(x)的凹區(qū)間為凸區(qū)間為曲線y=y(x)的拐點(diǎn)為知識點(diǎn)解析：暫無解析18、對任意的x，y有用變量代換將f(x，y)變換成g(u，v)，試求滿足的常數(shù)a，b。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得因?yàn)?f1’)2+(f2’)2=4，所以(f2’)2=4－(f1’)2，則有(a+b)(v2－u2)(f1’)2+2uv(a+b)f1’f2’+4au2－4bv2=u2+v2。因此(a+b)=0，4a=1，4b=－1，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)數(shù)列{xn}滿足證明存在，并求此極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：令則x=1，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增。因此x=1是f(x)唯一的最小值點(diǎn)，且f(x)≥f(1)=1，從而有所以因此xn＜xn+1且0＜xn＜e，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有界。由單調(diào)收斂定理知，極限存在。令則而所以由上述f(x)的性質(zhì)可知知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=1，且滿足等式20、求導(dǎo)數(shù)f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得上式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得(x+1)f"(x)=－(x+2)f’(x)，即有上式兩邊同時(shí)積分得ln|f’(x)|=－x－ln(x+1)+C1，所以令x=0，則又因?yàn)閒(0)=1，所以f’(0)=－1，將其代入f’(x)的表達(dá)式得，C=－1，因此知識點(diǎn)解析：暫無解析21、證明當(dāng)x≥0時(shí)，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：由上題中結(jié)果知，當(dāng)x≥0時(shí)，f’(x)＜0，f’(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，又因?yàn)閒(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。設(shè)φ(x)=f(x)－e－x，則φ(0)=0，當(dāng)x≥0時(shí)，φ’(x)≥0，即φ(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增。因而φ(x)≥φ(0)=0，即f(x)≥e－x。綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。方法二：因?yàn)閷’(x)代入得當(dāng)x≥0時(shí)，所以e－x≤f(x)≤1。知識點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)y=f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1。證明：22、存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1－ξ；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)－1+x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=－1＜0，F(xiàn)(1)=1＞0，故由零點(diǎn)定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1－ξ。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、在(0，1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，ζ，使得f’(η)f’(ζ)=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：在[0，ξ]和[ξ，1]上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得于是知識點(diǎn)解析：暫無解析已知A，B是三階非零矩陣，且β1=(0，1，－1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齊次線性方程組Bx=0的三個(gè)解向量，且Ax=β3有解。24、求a，b的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由B≠O，且β1，β2，β3是齊次線性方程組Bx=0的三個(gè)解向量可知，向量組β1，β2，β3必線性相關(guān)，則有解得a=36。由Ax=β3有解可知，線性方程組Ax=β3的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，對增廣矩陣作初等變換得所以b=－4，a=3b=－12。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求Bx=0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，則3－r(B)≤2。又因?yàn)棣?，β2是Bx=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，故3－r(B)≥2，故r(B)=1，所以β1，β2是Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是Bx=0的通解為x=k1β1+k2β2，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)A是三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足Aα1=－2α1－4α3，Aα2=α1+2α2+α3，Aα3=α1+3α3。26、求矩陣A的特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得記P1=(α1，α2，α3)，則有AP1=P1B。由于α1，α2，α3線性無關(guān)，則矩陣P1?？赡妫訮1－1AP1=B，因此矩陣A與矩陣B相似，則矩陣B的特征值為2，2，－1，故矩陣A的特征值為2，2，－1。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求可逆矩陣P使得P－1AP為對角陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(B－2E)x=0可得，矩陣B對應(yīng)于特征值λ=2的特征向量為β1=(0，1，－1)T，β2=(1，O，4)T；由(B+E)x=0可得，矩陣B對應(yīng)于特征值λ=－1的特征向量為β3=(1，0，1)T。令則所以即當(dāng)時(shí)，有知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(u)為u的連續(xù)函數(shù)，并設(shè)f(0)=a>0，又設(shè)平面區(qū)域σt={(x，y)||x|+|y|≤t，t≥0}，Ф(t)=f(x2+y2)dxdy．則Ф(t)在t=0處的右導(dǎo)數(shù)Ф+(0)=()A、a．B、2πa．C、πa．D、0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：令Dt={(x，y)|x2+y2≤t2)，于是由于f(u)連續(xù)且f(0)=a>0，所以存在T>0，當(dāng)0＜t2＜T時(shí)，此外，關(guān)于3塊區(qū)域，顯然有此外顯然有Ф(0)=0．于是有令t→0+取極限，右邊由夾逼定理有即Фˊ+(0)=0．2、微分方程y″－2yˊ+y=ex的特解形式為()A、y*=Aex(A≠0)．B、y*=(A+Bx)ex(B≠0)．C、y*=(A+Bx+Cx2)ex(C≠0)．D、y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)榉匠逃疫卐x指數(shù)上的1是特征方程的二重特征根，故特解形式為y*=Ax2ex(A≠0)，即C中C≠0的形式．故應(yīng)選C．3、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則|f(x)|在x=a處不可導(dǎo)的充分必要條件是()A、f(a)=0，fˊ(a)=0．B、f(a)=0，fˊ(a)≠0．C、f(a)≠0，fˊ(a)=0．D、f(a)≠0，fˊ(a)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(a)≠0，則存在x=a的某鄰域U(a)，在該鄰域內(nèi)f(x)與f(a)同號．于是推知，當(dāng)x∈U(a)時(shí)，若f(a)>0，則|f(x)|=f(x)；若f(a)<0，則|(x)|=－f(x)．總之，若f(a)≠0，|f(x)|在x=a處總可導(dǎo)．若f(a)=0，則從而知其中x→a+時(shí)取“+”，x→a時(shí)取“－”，所以f(a)=0時(shí)，|f(x)|在x=a處可導(dǎo)的充要條件為|fˊ(a)|=0，即fˊ(a)=0．所以當(dāng)且僅當(dāng)f(a)=0，fˊ(a)≠0時(shí)，|f(x)|在x=a處不可導(dǎo)．選B．4、(－∞，+∞)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A、0．B、1．C、2．D、無窮多．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：f(x)為偶函數(shù)，f(0)<0，，所以在區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>0時(shí)，所以在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)f(x)至多有1個(gè)零點(diǎn)，故在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)f(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．選C．5、考慮一元函數(shù)f(x)的下列4條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]上連續(xù)；②f(x)在[a，b]上可積；③f(x))在[a，b]上可導(dǎo)；④f(x)在[a，b]上存在原函數(shù)．以P=>Q表示由性質(zhì)P可推出性質(zhì)Q，則有()A、①=>②=>③．B、③=>①=>④．C、①=>②=>④．D、④=>①=>③．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因可導(dǎo)必連續(xù)．連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，故B正確．A是不正確的．雖然由①(連續(xù))可推出②(可積)，但由②(可積)推不出③(可導(dǎo))．例如f(x)=|x|在[－1，1]上可積，且∫－11|x|dx=2∫01xdx=1，但|x|在x=0處不可導(dǎo)．C是不正確的．由②(可積)推不出④(存在原函數(shù))，例如在[－1，1]上可積，且∫－11f(x)dx=∫－10(－1)dx+∫011dx=－x|－10+x01=－1+1=0．但f(x)在[－1，1]上不存在原函數(shù)．因?yàn)槿绻嬖谠瘮?shù)F(x)，那么只能是F(x)=|x|+C的形式，而此函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)，在區(qū)間[－1，1]上它沒有做原函數(shù)的“資格”．D是不正確的．因?yàn)橛散?存在原函數(shù))推不出①(函數(shù)連續(xù))．例如：它存在原函數(shù)可以驗(yàn)證Fˊ(x)=f(x)，但f(x)在x=0處并不連續(xù)，即存在原函數(shù)可以不連續(xù)．6、設(shè)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)=∫0x(2t－x)f(t)dt，則F(x)在x>0時(shí)()A、沒有駐點(diǎn)．B、有唯一駐點(diǎn)且為極大值點(diǎn)．C、有唯一駐點(diǎn)且為極小值點(diǎn)．D、有唯一駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：F(x)=∫0x(2t－x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt－x∫0xf(t)dt，F(xiàn)ˊ(x)=2xf(x)－xf(x)－∫0xf(t)dt=xf(x)－∫0xf(t)dt=∫0x[f(x)－f(t)]dt．由于f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，可知當(dāng)t∈(0，x)時(shí)，f(x)>f(t)，故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)ˊ(x)=∫0x[f(x)－f(t)]dt>0，也即F(x)在x>0時(shí)沒有駐點(diǎn)．故應(yīng)選A．7、設(shè)A，B均是4階方陣，且r(A)=3，A*，B*是矩陣A，B的伴隨矩陣，則矩陣方程A*X=B*一定有解的充要條件是()A、r(B)≤1．B、r(B)≤2．C、r(B)≤3．D、r(B)≤4．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由題設(shè)條件知，r(A)=3，則r(A*)=1．而當(dāng)r(B*)=1時(shí)，有可能r(A*┊B*)=2．如則r(A*)≠r(A*┊B*)=>A*X=B*無解．故r(B*)=0，此時(shí)r(B)≤2，有r(A*)=r(A*┊B*)=1〈=〉A(chǔ)*X=B*有解．8、設(shè)．則存在初等矩陣使得B=()A、P1P2A．B、P2P1A．C、AP1P2．D、AP2P1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：B是上三角陣，應(yīng)作初等行變換將A中下三角元素a21=－1，a32=2消為0，故故選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)ak=∫01x2(1－x)kdx，則______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)常數(shù)a>0．由方程組確定的滿足y(a)=a，z(a)=a的函數(shù)組為y=y(x)，z=z(x)，則yˊ(a)=______，zˊ(a)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1，0知識點(diǎn)解析：方程兩邊對x求導(dǎo)，得yz+xyˊz+xyzˊ=0及x+yyˊ=azˊ．將(x，y，z)=(a，a，a)代入得yˊ(a)+zˊ(a)=－1，yˊ(a)－zˊ(a)=－1．解得yˊ(a)=－1，zˊ(a)=0．11、設(shè)f(u)在u=1的某鄰域內(nèi)有定義且f(1)=0，______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：式中(*)表示等價(jià)無窮小替換．12、______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：積分區(qū)域如圖所示，并用極坐標(biāo)表示，得13、微分方程yy″+(yˊ)2=yyˊ滿足初始條件y|x=0=1，yˊ|x=0=的特解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：此為缺x的可降階二階方程．令方程yy″+(yˊ)2=yyˊ化為分解成p=0與不滿足初始條件．解第二個(gè)方程，此為p關(guān)于y的一階線性微分方程，變形為再將y|x=0=1代入，得C2=0．故解得．14、設(shè)n維(n≥3)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，若向量組lα1－α1，mα3－2α2，α1－3α3線性相關(guān)，則m，l應(yīng)滿足條件______．標(biāo)準(zhǔn)答案：lm=6知識點(diǎn)解析：α1，α2，α3線性無關(guān)〈=〉r(α1，α2，α3)=3．lα2－α1，mα3－2α2，α1－3α3線性相關(guān)〈=〉r(lα2－α1，mα3－2α2，α1－3α3)≤2〈=〉r(C)≤2〈=〉|C|=lm－6=0〈=〉lm=6．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設(shè)，常數(shù)a>0，b>0，a≠b．求二重積分I=[(x－1)2+(2y+3)2]dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知f(u)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在x>0時(shí)滿足．求z的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由整理得(1+u2)f″+2ufˊ=0，其中，f中的自變量為u，解上述方程，得其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加．試求證：在區(qū)間(0，+∞)上也嚴(yán)格單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：對第1個(gè)積分作變量代換，令則不論哪種情形，總有Fˊ(x)>0(當(dāng)x>0且x≠1)．此外易知Fˊ(1)=0．所以當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)，F(xiàn)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)平面區(qū)域D用極坐標(biāo)表示為D={(r，θ)|cosθ≤r≤cosθ，sinθ≤r≤sinθ}．求二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示D為陰影部分，為清楚起見，4個(gè)圓只畫出有關(guān)的4個(gè)半圓．D關(guān)于直線y=x對稱，被積函數(shù)也關(guān)于y=x對稱．交點(diǎn)A，B，C的直角坐標(biāo)分別為則知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)0＜x＜1，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：等價(jià)于證明當(dāng)0＜x＜1時(shí)，經(jīng)計(jì)算，F(xiàn)(1)=0，又從而知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ(x)＜0，即有F″(x)＜0．因Fˊ(1)=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)ˊ(x)>0．又因F(1)=0，所以當(dāng)0＜x＜時(shí)，F(xiàn)(x)＜0．證畢．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)三角形三邊的長分別為a，b，c，此三角形的面積為S．求此三角形內(nèi)的點(diǎn)到三邊距離乘積的最大值，并求出這三個(gè)相應(yīng)的距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)P為三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，該點(diǎn)到邊長分別為a，b，c的邊的距離分別為x，y，z，由三角形的面積公式有求f=xyz在約束條件ax+by+cz－2S=0下的最大值，令W=xyz+λ(ax+by+cz－2S)，由拉格朗日乘數(shù)法，令解得唯一駐點(diǎn)為．顯然，當(dāng)P位于三角形的邊界上時(shí)，f=0，為最小值；當(dāng)P位于三角形內(nèi)部時(shí)，f存在最大值，由于駐點(diǎn)唯一，故當(dāng)知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，常數(shù)k>0．并設(shè)φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt，證明：21、存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)易知φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=－k∫abf(t)dt，φ(a)φ(b)=－k[∫abf(t)dt]2≤0．如果∫ab=0，則φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，則φ(a)φ(b)<0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．綜上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、若增設(shè)條件f(x)≠0，則(I)中的ξ是唯一的，并且必定有ξ∈(a，b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：若增設(shè)條件f(x)≠0，則φˊ(x)=－f(x)－kf(x)=－(k+1)f(x)≠0．由于f(x)連續(xù)且f(x)≠0，所以f(x)>0或者f(x)<0，所以φ(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)，則φ(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又由上一題知φ(a)φ(b)<0，則上一題中的ξ是唯一的．且ξ∈(a，b)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)方程組有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，1，－1)T+k2(0，－1，－3，2)T．方程組有通解λ1η1+λ2η2=λ1(2，－1，－6，1)T+λ2(－1，2，4，a+8)T．已知方程組有非零解，試確定參數(shù)α的值，并求該非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(***)有非零解，即方程組(*)，方程組(**)有非零公共解，設(shè)為β，則β屬于方程組(*)的通解，也屬于方程組(**)的通解，即β=k1ξ1+k2ξ2=λ1η1+λ2η2，其中k1，k2不全為零，且λ1，λ2不全為零．得k1ξ1+k2ξ2－λ1η1－λ2η2，(*ˊ)(*ˊ)式有非零解〈=〉r(ξ1，ξ2，－η1，－η2)<4．對(ξ1，ξ2，－η1，－η2)作初等行變換，故當(dāng)a=－8時(shí)，方程組(***)有非零解．當(dāng)a=－8時(shí)，方程組(*ˊ)的系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換化為方程組(*ˊ)的非零公共解為其中k是任意非零常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析A是3階矩陣，有特征值λ1=λ2=2，對應(yīng)兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3．24、問ξ1+ξ2是否是A的特征向量?說明理由；標(biāo)準(zhǔn)答案：ξ1+ξ2仍是A的對應(yīng)于λ1=λ2=2的特征向量．因已知Aξ1=2ξ1，Aξ2=2ξ2，故A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=2ξ1+2ξ2=2(ξ1+ξ2)．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、ξ2+ξ3是否是A的特征向量?說明理由；標(biāo)準(zhǔn)答案：ξ2+ξ3不是A的特征向量．假設(shè)是，設(shè)其對應(yīng)的特征值為μ，則有A(ξ2+ξ3)=μ(ξ2+ξ3)，得2ξ2－2ξ3－μξ2－μξ3=(2－μ)ξ2－(2+μ)ξ3=0，因2－μ和2+μ不同時(shí)為零，故ξ2，ξ3線性相關(guān)，這和不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)矛盾，故ξ2，ξ3不是A的特征向量．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、證明任意三維非零向量β都是A2的特征向量，并求對應(yīng)的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=－2，故A2有特征值μ1=μ2=μ2=4．對應(yīng)的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．故存在可逆矩陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P－1A2P=4E，A2=P(4E)P－1=4E，從而對任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意三維非零向量β都是A2的對應(yīng)于μ=4的特征向量．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f"(x)在x=0處連續(xù)，且=1，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)非f(x)的極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由=1得f"(0)=0，由極限保號性可知，存在1＞δ＞0，當(dāng)｜x｜＜δ時(shí)，＞0．當(dāng)x∈(－δ，0)時(shí)，因?yàn)閘n(1+x)＜0，所以f"(x)＜0；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，因?yàn)閘n(1+x)＞0，所以f"(x)＞0，于是(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，選(C)．2、設(shè)y=x3+3ax2+3bx+c在x=－1處取最大值，又(0，3)為曲線的拐點(diǎn)，則()．A、a=1，b=－1，c=3B、a=0，b=－1，c=3C、a=－1，b=1，c=3D、a=1，b=1，c=3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：y’=3x2+6ax+3b，y"=6x+6a，則有解得a=0，b=－1，c=3，選(B)．3、設(shè)z=xy+，其中F為可微函數(shù)，則為()．A、z－xyB、z+xyC、z－2xyD、z+2xy標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由得=xy+xF－yF’+xy+yF’=2xy+xF=2xy+z－xy=z+xy，選(B)．4、設(shè)D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可偏導(dǎo)且滿足=－z，若f(x，y)在D內(nèi)沒有零點(diǎn)，則f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在邊界上取到B、最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)部取到C、有最小值無最大值D、有最大值無最小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設(shè)f(x，y)在D上的最大值M在D內(nèi)的點(diǎn)(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時(shí)，這與=－z≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內(nèi)取到，同理f(x，y)在D上的最小值優(yōu)不可能在D內(nèi)取到，選(A)．5、曲線y=x2與y=所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：6、設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x，則該微分方程為()．A、y’’’－y"－y’+y=0B、y’’’+y"－y’－y=0C、y’’’+2y"－y’－2y=0D、y’’’－2y"－y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閥1=ex，y2=2xex，y3=3e－x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的三個(gè)特解，所以其對應(yīng)的特征方程的特征值為λ1=λ2=1，λ3=－1，其對應(yīng)的特征方程為(λ－1)2(λ+1)=0，即λ3－λ2－λ+1=0，則微分方程為y’’’－y"－y’+y=0，選(A)．7、設(shè)四階矩陣A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3線性無關(guān)，而α4=2α1－α2+α3，則r(A*)為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由α1，α2，α3線性無關(guān)，α4=2α1－α2+α3得向量組的秩為3，于是r(A)=3，故r(A*)=1，選(B)．8、設(shè)三階矩陣A的特征值為－1，－1，3，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P=(2α1+α2，α1－α2，2α3)，則P－1A*P=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：｜A｜=3，A*的特征值為－3，－3，1，顯然α1，α2，α3也為A*的線性無關(guān)的特征向量，且2α1+α2，α1－α2，2α3為A*的線性無關(guān)的特征向量，故應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、過曲線y=(x≥0)上的一點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面區(qū)域的面積為，所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)切點(diǎn)為A(a，)，切線方程為切線與x軸的交點(diǎn)為(－2a，0)，所求的面積為所求體積為10、f(x)=x4ln(1－x)，當(dāng)n＞4時(shí)，f(n)(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)f(x)=f(0)+f’(0)x+…++…，再由麥克勞林公式的唯一性得11、已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，且=0，若z=z(x，y)滿足方程+z=0，則a=_______，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=1，b=1知識點(diǎn)解析：12、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：13、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、設(shè)則B*A=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)锽=AE12(2)E13，所以｜B｜=｜A｜.｜E12(2)｜.｜E13｜=－3，又因?yàn)锽*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計(jì)算極限標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，，則知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u=f(x+y，x－y，z)由z=∫x+zy+zp(t)dt確定z為x，y的函數(shù)，又f連續(xù)可偏導(dǎo)，p可導(dǎo)，且p(y+z)－p(x+z)－1≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將u=f(x+y，x－y，z)及z=∫x+zy+zp(t)dt兩邊對x求偏導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[0，2]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＜0，f’(0)=1，f’(2)=－1，f(0)=f(2)=1．證明：2≤∫02f(x)dx≤3．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)內(nèi)不可能取到最小值，從而f(0)=f(2)=1為最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，從而∫02f(x)dx≥2．因?yàn)閒"(x)＜0，所以有所以∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx≤∫01(1+x)dx+∫12(3－x)dx=3．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)拋物線y=x2與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為S，其中一條切線與拋物線相切于點(diǎn)A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S=S(a)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)a取何值時(shí)，面積S(a)最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)另一個(gè)切點(diǎn)為(x0，x02)，則拋物線y=x2的兩條切線分別為L1：y=2ax－a2，L2：y=2x0x－x02．因?yàn)長1⊥L2，所以x0=，兩條切線L1，L2的交點(diǎn)為x1=，y1=ax0，L1，L2及拋物線y=x2所圍成的面積為知識點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)曲線y=y(x)位于第一象限且在原點(diǎn)處與x軸相切，P(x，y)為曲線上任一點(diǎn)，該點(diǎn)與原點(diǎn)之間的弧長為l1，點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A，P之間的距離為l2，又滿足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲線y=y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件得y(0)=0，y’(0)=0，P(x，y)處的切線為Y－y=y’(X－x)，令X=0，則Y=y－xy’，A的坐標(biāo)為(0，y－xy’)，兩邊對x求導(dǎo)整理得1+y’2=2(x+1)y’y"．積分得ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即1+p2=C1(x+1)，再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲線為知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)曲線y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一個(gè)特解，此曲線經(jīng)過原點(diǎn)且在原點(diǎn)處的切線平行于x軸．(Ⅰ)求曲線y=y(x)的表達(dá)式；(Ⅱ)求曲線y=y(x)到x軸的最大距離；(Ⅲ)計(jì)算積分∫0+∞y(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程為2λ2+λ－1=0，特征值為λ1=－1，λ2=，則微分方程2y"+y’－y=0的通解為令非齊次線性微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的特解為y0(x)=x(ax+b)e－x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解為y0(x)=x2e－x，原方程的通解為由初始條件y(0)=y’(0)=0得C1=C2=0，故y=x2e－x．(Ⅱ)曲線y=x2e－x到x軸的距離為d=x2e－x，令d’=2xe－x－x2e－x=x(2－x)e－x=0，得x=2．當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，d’＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，d’＜0，則x=2為d=x2e－x的最大值點(diǎn)，最大距離為d(2)=(Ⅲ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e－xdx=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)非齊次線性方程組有三個(gè)線性無關(guān)解α1，α2，α3．(Ⅰ)證明系數(shù)矩陣的秩r(A)=2；(Ⅱ)求常數(shù)a，b的值及通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令r(A)=r，因?yàn)橄禂?shù)矩陣至少有兩行不成比例，所以r(A)≥2．α1－α2，α1－α3為對應(yīng)的齊次線性方程組的兩個(gè)解．令k1(α1－α2)+k2(α1－α3)=0，即(k1+k2)α1－k1α2－k2α3=0．因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以k1=k2=0，即α1－α2，α1－α3線性無關(guān)，于是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系至少含兩個(gè)線性無關(guān)解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、(Ⅰ)設(shè)A，B為n階可相似對角化矩陣，且有相同特征值，證明：矩陣A，B相似．(Ⅱ)設(shè)，求可逆矩陣P，使得P－1AP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)A，B的特征值為λ1，λ2，…，λn，因?yàn)锳，B可相似對角化，所以存在可逆矩陣P1，P2，使得于是P1－1AP1=P2－1BP2，或(P1P2－1)－1A(P1P2－1)=B，令P=P1P2－1，則P－1AP=B，即矩陣A，B相似．A的屬于λ1=－1的線性無關(guān)特征向量為A的屬于特征值λ2=λ3=1的線性無關(guān)的特征向量為知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)