2022屆四川省樂山十校高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．12．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．6．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)7．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．39．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．810．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D．將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像11．已知集合，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．12．已知數(shù)列滿足：，則()A．16 B．25 C．28 D．33二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)14．已知實(shí)數(shù)，且由的最大值是_________15．在的展開式中的系數(shù)為，則_______．16．隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學(xué)生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀，合理制定學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進(jìn)行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線上的任意一點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離小1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線斜率的取值范圍.19．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.20．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．21．（12分）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切.記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，求證：為定值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且．求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時(shí)，又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得：ω∈本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.2．C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．3．C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn)，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．4．D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.6．D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

先化簡集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算推理能力.8．A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo)，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

化簡到，根據(jù)定義域排除，計(jì)算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)，關(guān)于的對稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?，故不可能為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11．A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題12．C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí)，，n=2時(shí)，，n=3時(shí)，，n=4時(shí)，，n=5時(shí)，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

的展開式的通項(xiàng)為，取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14．【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實(shí)數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值，可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。15．2【解析】

首先求出的展開項(xiàng)中的系數(shù)，然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡單題.16．3000【解析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求出，進(jìn)而可求出身高高于的高中男生人數(shù).【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，，設(shè)面的法向量，則，取，得，同理，得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題．18．（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡方程滿足的等式，化簡即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)出切線的斜率分別為，切點(diǎn)，，點(diǎn)，則可得過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立拋物線方程并化簡，由相切時(shí)可得兩條切線斜率關(guān)系；由拋物線方程求得導(dǎo)函數(shù)，并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出，可求得，結(jié)合點(diǎn)滿足的方程可得的取值范圍，即可求得的范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)到直線的距離等于，∴，化簡得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由題意可知，的斜率都存在，分別設(shè)為，切點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，化簡可得，∴，即，∴，.由，求得導(dǎo)函數(shù)，∴，，，∴，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，由圓的性質(zhì)可得，∴，即直線斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，直線與拋物線相切的性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，點(diǎn)和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長為8，求出b的表達(dá)式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得，結(jié)合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設(shè)，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.20．(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)榍伊睿?；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題．21．（1）；（2）見解析．【解析】

（1）已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得，，由，，用橫坐標(biāo)表示出，然后計(jì)算，并代入，可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由拋物線定義知：點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，解得．∴曲線的方程為；（2）證明：設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由得，①，則，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【點(diǎn)睛】本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問題中的定值問題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，直線方程代入拋物