新高考數(shù)學一輪復習講義第1章　§1.4　基本不等式（原卷版）

§1.4基本不等式考試要求1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應用．知識梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤(eq\f(a＋b,2))2與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等號成立的條件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.()(4)函數(shù)y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為4.()教材改編題1．若正實數(shù)a，b滿足a＋4b＝ab，則ab的最小值為()A．16B．8C．4D．22．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x＋1)(x≥0)的最小值為________．3．若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.題型一利用基本不等式求最值命題點1配湊法例1(1)已知x>2，則函數(shù)y＝x＋eq\f(1,2x－2)的最小值是()A．2eq\r(2) B．2eq\r(2)＋2C．2 D.eq\r(2)＋2(2)設0<x<eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________．命題點2常數(shù)代換法例2已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，則2x＋y的最小值為()A．16 B．8＋4eq\r(2)C．12 D．6＋4eq\r(2)命題點3消元法例3已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．延伸探究本例條件不變，求xy的最大值．思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．跟蹤訓練1(1)(多選)若正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列說法錯誤的是()A．a(chǎn)b有最小值eq\f(1,4)B．8eq\r(a)＋8eq\r(b)有最大值8eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)(2)已知x>1，則y＝eq\f(x－1,x2＋3)的最大值為________．題型二基本不等式的常見變形應用例4(1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A．b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(2)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)思維升華基本不等式的常見變形(1)ab≤(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟蹤訓練2已知a，b為互不相等的正實數(shù)，則下列四個式子中最大的是()A.eq\f(2,a＋b) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(2,\r(ab)) D.eq\r(\f(2,a2＋b2))題型三基本不等式的實際應用例5中華人民共和國第十四屆運動會在陜西省舉辦，某公益團隊聯(lián)系全運會組委會舉辦一場紀念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設施建設．據(jù)市場調查，當每套紀念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．為配合這個活動，生產(chǎn)紀念品的廠家將每套紀念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀念品的利潤＝售價－供貨價格．(1)每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？思維升華利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．跟蹤訓練3某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD，如圖)上設計三個等高的宣傳欄(欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當直角梯形的高為__________cm時，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)．課時精練1．下列函數(shù)中，最小值為2的是()A．y＝x＋eq\f(2,x)B．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))C．y＝ex＋e－xD．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則lga＋lgb的最大值為()A．0B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．13．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為()A．13B．12C．9D．64．已知a，b為正實數(shù)，a＋b＝3，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋2)的最小值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,2)D．45．(多選)設a＝log23，b＝log2eq\f(4,3)，則下列關系正確的是()A．a(chǎn)b>eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)b<eq\f(a＋b,2)C.eq\f(a＋b,2)>eq\f(b,a) D．a(chǎn)b>eq\f(b,a)6．(多選)若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()A．0<eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C．log2a＋log2b<2 D.eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)7．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為________．8．已知a，b為正實數(shù)，且2a＋b＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(a,2b)的最小值為________．9．(1)當x<eq\f(3,2)時，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)已知0<x<2，求函數(shù)y＝xeq\r(4－x2)的最大值．10．某企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃利用新技術生產(chǎn)某款新手機．通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本300萬元，每生產(chǎn)x(千部)手機，需另投入成本R(x)萬元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x2＋100x，0<x<40，,701x＋\f(10000,x)－9450，x≥40，))通過市場調研知，每部手機售價0.7萬元，且全年內生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完．(1)求出今年的利潤W(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關系式(利潤＝銷售額－成本)；(2)今年產(chǎn)量為多少(千部)時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？11.已知α，β為銳角，且tanα－tanβ＋2tanαtan2β＝0，則tanα的最大值為()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)12．若a>0，b>0，則(a＋b)2＋eq\f(1,ab)的最小值為________．13.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓，過點C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的無字證