橢圓及其標準方程（6大題型）完整版講

橢圓及其標準方程重點：1、理解并掌握橢圓的定義并會用橢圓的定義解決問題；2、掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；難點：掌握橢圓標準方程及其推導(dǎo)過程，并能運用標準方程解決相關(guān)問題。一、橢圓的定義1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫作橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、橢圓定義的集合語言表示：3、注意事項：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當時，其軌跡為線段；②當時，其軌跡不存在．二、橢圓標準方程的推導(dǎo)：1、怎樣建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？以?jīng)過點、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標系，如圖1.2、橢圓可以看作是哪些點的集合？用坐標如何表示？設(shè)點是橢圓上任一點，橢圓的焦距為（＞0）.焦點的坐標分別是，圖1又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù).圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因為，所以3、遇到根式怎么辦？兩個根式在同一側(cè)能不能直接平方？即兩邊平方得整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有三、橢圓的標準方程對比四、橢圓的焦點三角形1、定義：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”。一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立AF1+AF采用整體代入的方法解決焦點三角形的面積、周長及角的有關(guān)問題（設(shè)∠F1A性質(zhì)1：AF1+A拓展：?AF1?ABF1性質(zhì)2：4c五、求橢圓的標準方程1、利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟（1）定位：確定焦點在那個坐標軸上；（2）定量：依據(jù)條件及確定的值；（3）寫出標準方程；2、求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設(shè)所求方程為；3、當橢圓過兩定點時，常設(shè)橢圓方程為，將點的坐標代入，解方程組求得系數(shù)。題型一橢圓的定義及應(yīng)用【例1】（2023·全國·高三專題練習）已知點，動點滿足，則動點的軌跡是（）A．橢圓B．直線C．線段D．圓【答案】C【解析】由題設(shè)知：，此時動點P必在線段AB上，即動點軌跡為線段.故選：C【變式11】（2023秋·高二課時練習）平面內(nèi)，是兩個定點，“動點滿足為常數(shù)”是“的軌跡是橢圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當動點滿足為常數(shù)時，的軌跡不一定是橢圓，只有當時，的軌跡才是橢圓，而當?shù)能壽E才是橢圓時，動點滿足為常數(shù)，所以“動點滿足為常數(shù)”是“的軌跡是橢圓”的必要不充分條件，故選：B【變式12】（2023·全國·高二專題練習）橢圓上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為．【答案】8【解析】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，結(jié)合橢圓定義，可得.【變式13】（2023秋·高二課時練習）如圖，把橢圓的長軸AB分成10等份，過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點，，…，，F(xiàn)是左焦點，則（）A．16B．18C．20D．22【答案】B【解析】因為把橢圓的長軸AB分成10等份，過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點，，…，，設(shè)橢圓的右焦點為，且，可得，由橢圓的定義及橢圓的對稱性，可得，所以.故選：B.題型二求橢圓的標準方程【例2】（2023秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習）平面內(nèi)點P到、的距離之和是10，則動點P的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，平面內(nèi)點P到、的距離之和是10，∴動點的軌跡為橢圓,焦點在軸上,,解得：，∴，∴軌跡方程為:，故選:B.【變式21】（2022秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得：到與的距離之和為，且，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：C【變式22】（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）經(jīng)過兩點，的橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓方程為，因為橢圓經(jīng)過兩點，，所以，解得，所以橢圓方程為，所以，所以，所以.故選：B【變式23】（2023秋·全國·高二期中）分別寫出滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在軸上，焦距為，且經(jīng)過點；（2）焦距為4，且經(jīng)過點．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)橢圓的標準方程為，依題意得，解得，所以該橢圓的標準方程為.（2）當焦點在軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為，依題意得，，則，故橢圓的標準方程為.當焦點在軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為，依題意得，，則，故橢圓的標準方程為.題型三根據(jù)橢圓標準方程求參數(shù)【例3】（2023秋·黑龍江大慶·高二開學考試）已知方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.【變式31】（2022秋·貴州畢節(jié)·高二?？计谥校┤绻匠瘫硎窘裹c在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．或D．且【答案】D【解析】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得且.故選：D.【變式32】（2023秋·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考階段練習）若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為.【答案】【解析】由橢圓方程的標準形式可知方程表示橢圓方程的充要條件為，又由題意方程表示的曲線為橢圓，所以，解不等式組得且，因此m的取值范圍為.【變式33】（2023秋·江蘇淮安·高二開學考試）（多選）若方程所表示的曲線為C，則下面四個說法中正確的是（）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則【答案】AD【解析】當即時，方程為，表示圓心為原點，半徑為1的圓，故選項A正確，選項B錯誤；若C為橢圓，且焦點在x軸上，則，解得，故選項C錯誤；若C為橢圓，且焦點在y軸上，則，解得，故選項D正確.故選：AD.題型四橢圓的焦點三角形問題【例4】（2023秋·江西撫州·高二聯(lián)考階段練習）橢圓的兩個焦點分別為，，點在橢圓上運動，則的周長為（）A．6B．C．8D．10【答案】D【解析】由，得，則，所以，因為點在橢圓上運動，所以，所以的周長為，故選：D【變式41】（2023·江蘇·高二專題練習）（多選），是橢圓的兩個焦點，A是橢圓上一點，是直角三角形，則的面積為（）A．9B．C．D．【答案】AB【解析】由得，不妨，，則，當時，則①平方減去②得，∴，當(或者)時，，令，則，解得，則，.故選：AB.【變式42】（2023秋·全國·高二期中）已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，為橢圓C上一點，則下列結(jié)論不正確的是（）A．的周長為6B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為D．的外接圓的直徑為【答案】D【解析】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯誤，故選:D.【變式43】（2023秋·高二課時練習）已知點是橢圓上的點，點、是橢圓的兩個焦點．（1）若，求；（2）若的面積為9，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）【解析】（1）設(shè)，設(shè)，由，則，所以有，由余弦定理可知：，所以有，即（2）由（1）可知：，因為，所以，因此，即.題型五與橢圓有關(guān)的軌跡問題【例5】（2023秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知點P是圓上的動點，作軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如下圖所示：不妨設(shè)，則滿足；易知，又線段的中點為，可得；即，代入方程可得，整理得.故選：D【變式51】（2023·江蘇·高二專題練習）已知動圓過點，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過點，則，即，所以動點的軌跡為以為焦點的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.【變式52】（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎獔A：，圓：，圓，圓．（1）若動圓與圓內(nèi)切與圓外切.求動圓圓心的軌跡的方程；（2）若動圓與圓、圓都外切.求動圓圓心的軌跡的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)動圓的半徑為，∵動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，∴，且.于是，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，所以.故動圓圓心的軌跡的方程為．（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點、分別為左右焦點的雙曲線的右支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.【變式53】（2023秋·高二課時練習）在中，已知點和點．若邊，且滿足，求頂點的軌跡方程．【答案】【解析】根據(jù)正弦定理由，所以頂點的軌跡是以和點為焦點的橢圓，因此半焦距為，半長軸長為，所以半短軸長為，所以該橢圓的方程為，設(shè)，點是三角形的頂點，所以又因為，所以，所以頂點的軌跡方程為.題型六橢圓中的距離和差最值【例6】（2023秋·全國·高二期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（）A．7B．8C．9D．11【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當且僅當共線且在中間時等號成立，故的最大值為.故選：A.【變式61】（2023·全國·高二專題練習）已知是橢圓的左焦點，點在上，在上，則的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，可得圓的圓心坐標為，半徑，由橢圓，可得，設(shè)橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，又由,如圖所示，當點四點共線時，即時，取得最小值，最小值為，所以.故選：A.【變式62】（2022秋·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）已知點是橢圓上一動點，是圓上