2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第一冊同步練習-1 .1 利用函數(shù)性質判定方程解的存在性

2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第一冊

第五章函數(shù)應用

§1方程解的存在性及方程的近似解

1.1利用函數(shù)性質判定方程解的存在性

基礎過關練

題組一求函數(shù)的零點

L下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是（）

2.（2022四川成都實驗外國語學校月考）一元二次函數(shù)y=2x2+x-l的零點是

()

11

A11

---

2ZB.2Z

1

z11

c-(rl

2vD.-

.o\2,0

3.（2020廣東仲元中學期末）已知函數(shù)f（x）=1、1則函數(shù)取）的零點為

。十10g2X,X，L

（）

A.|,0B.-2,0C.|D.O

4.（多選）下列函數(shù)不存在零點的是（）

A.y=x-^B.y=V2x2-x+1

「rx+l,x<Op,（x+l,x>0

C，y=lx-1A>0D，y=lx-1A<0

5.如果2是函數(shù)f（x）=ax+b的一個零點，那么函數(shù)g（x）=bx2-ax的零點

是?

題組二函數(shù)零點（方程的解）個數(shù)的判斷

6.若函數(shù)f（x）在定義域僅打￡尺,且xwO｝上是偶函數(shù)，且在（0,+◎上是減函

數(shù),f（2）=0廁函數(shù)f（x）的零點有（）

A.一個B.兩個

C.至少兩個D.無法判斷

7.(多選)(2021陜西寶雞期中)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)的

曲線，則下列說法中不正確的是()

A若f⑻他)>0廁不存在實數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0

B.若f(a>f(b)<0廁存在且只存在一個實數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0

C.若f(a)-f(b)>0,則有可能存在實數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0

D.若f(a>f(b)<0廁有可能不存在實數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0

8.(2020江西九江一中期中)方程|lgx|+x-2=0的解的個數(shù)是()

A.0B.lC.2D.3

9.判斷函數(shù)f(x)=lnx+x2-3的零點個數(shù).

題組三確定函數(shù)零點(方程的解)所在區(qū)間

10.(2020廣東惠州期中)函數(shù)f(x)=的零點所在的區(qū)間為()

A(呢)B.&1)C,(l,|)以|,2)

11.侈選)若函數(shù)f(x)唯一的零點在區(qū)間(L3),(L4),Q,5)內則下列說法一定正確

的是()

A.函數(shù)f(x)在(1,2)或［2,3)內有零點

B.函數(shù)f(x)在(3,5)內無零點

C函數(shù)f(x)在［2,5)內有零點

D.函數(shù)f(x)在［2,4)內不一定有零點

12.(2020河北邯鄲月考)圖象為一條連續(xù)的曲線的函數(shù)f(x)的部分對應值如表所

示,______

X123456789

f(x)117-2163-4-3-2

則函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是

13.設xo是方程Inx+x=4的解，且xo￡(k,k+l),k￡Zj^k=.

14.求證:方程5x2-7x-l=0的一個根在區(qū)間(-L0)上另一個根在區(qū)間(L2)上.

題組四函數(shù)零點的分布問題

15.(2020山東泰安一中月考)已知xo是函數(shù)f(x)=2x+；的一個零點若

1—X

XIG(l,X0),X2e(Xo,+oo),100()

A.f(xi)<0,f(X2)<0

B.f(xi)<0,f(X2)>0

C.f(xi)>0,f(X2)<0

D.f(xi)>0,f(x2)>0

16.(2020山東濟南歷城第二中學期末)已知函數(shù)f(x)=lnx-m的零點xo位于區(qū)間

(Le)內,則實數(shù)m的取值范圍是.

17.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2,在下列條件下，求實數(shù)a的取值范圍.

(1)零點均小于2;

(2)一個零點大于2,一個零點小于2;

(3)在(2,4)內恰有一個零點.

能力提升練

題組一函數(shù)的零點(方程的解)及個數(shù)問題

1.(2022廣西柳州聯(lián)考)下列函數(shù)在(0,+8)上單調遞增且存在零點的是()

A.y=x2-x-3B.y=-0.2x

C.y=x+-D.y=x--

JXJX

2.(2020四川成都期中)已知f(x)=-x2+2x+l,g(x)=|lnx|,則方程f(x)-g(x)=0的

實數(shù)根個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

f|log2(x+l)|,xG(-l,3),

3.(2020河北唐山一中期中)已知函數(shù)f(x)二4二匕工、則函數(shù)

[―,xG[3,+oo),

g(x)=f(f(x))-l的零點個數(shù)為()

A.1B3

C.4D.6

4.(2020河南商丘聯(lián)考)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x>0

flogi(x+l),xG[0,l),

時,f(x)=|2貝口關于x的函數(shù)F(x)=f(x)-a(0<a<l)的所有零點

<1—|x-3|,%G[1,4-00),

之和為()

A.l-2aB.2a-1

C.l-2aD.2a-1

5.(2020天津南開期末)已知三個函數(shù)f(x)=2><+x-2,g(x)=x3-8,h(x)=log2X+x-2

的零點依次為a,b,c廁a+b+c=()

A.6B.5C.4D.3

6.已知函數(shù)f(x)=『2—L則函數(shù)g(x)=(x-2)f(x)-2x+l的零點個數(shù)

為.

7.(2020福建寧德統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)二霽其

⑴當a=1時，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;

⑵討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

8.(2020廣西桂林檢測)已知定義域為［0,1］的函數(shù)f(x)同時滿足

①對于任意x￡［0,l］,f(x)>0;

②f⑴=1；

③若X11,X2,O,X1+X241則f(Xl+X2)>f(Xl)+f(X2).

⑴求f(o)的值；

(2)函數(shù)g(x)=f(x)-2x^在［Q］上有沒有零點?若有，求出零點港沒有,請說明理由.

題組二函數(shù)零點(方程的解)所在區(qū)間

9.(2020黑龍江哈師大附中月考)若函數(shù)y=f(x)(x￡R)是奇函數(shù)其零點分別為

X1,X2,...,X2017,且X1+X2+...+X2017=m,則關于x的方程2x+x-2=m的根所在區(qū)間

是()

A.(0,l)C.(2,3)D.(3,4)

10.設羽出田均為正數(shù)AL〈入2〈入3廁函數(shù)f(x)二號+號+彳的兩個零點所在的

X-A1%-42%-43

區(qū)間分別是()

A.(-OO,AI),(XI,X2)

B.(入L入2),(入2,入3)

C.(入2,入3),(入3,+8)

D.(-OO,A1),(A3,+OO)

1L設函數(shù)y=x3與y=Q)的圖象的交點為(xo,yo),若xo￡(n,n+l),n￡M則Xo所

在的區(qū)間是.

題組三根據(jù)函數(shù)零點(方程的解)的情況求參

12若函數(shù)y=Q)R"+m有零點廁實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-oo,-l]B.[-1,+OO)

C.[-l,0)D.(0,+oo)

13.若函數(shù)f(x)=(2ax-l)2-loga(ax+2)在區(qū)間[o用上恰有一個零點廁實數(shù)a的取

值范圍是()

嗚鄉(xiāng)BR+8)

C.[2,3]D.[2,3)

14.侈選)(2020山東臨沂羅莊期中)若關于x的方程/-岡+a=0有4個不同的

實數(shù)解，則實數(shù)a的值可能是()

1111

A民CD

----

2346

15.(2020山東濟鋼高中月考)已知函數(shù)f(x)=『若函數(shù)g(x)=f(x)_m

(-1""NX/Xu,

有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

16.若函數(shù)f(x)=x-g)\a的零點在區(qū)間(L+8)上廁實數(shù)a的取值范圍

是.

17.(2020河南商丘九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)玳;了我21若

f(Xl)=f(X2)=f(X3)(Xl,X2,X3互不相等)，則X1+X2+X3的取值范圍是()

A.(0,8)B.(L3)c.(3,4]D.(l,8]

18.(2020江西九江一中期末)已知函數(shù)?°若關于x的方程

[f(x)]2-bf(x)+l=0有8個不同的根,則實數(shù)b的取值范圍是()

A。用

B.(-°°,-2)U(2,7

CO陷

D.(-°°,-2)U(2,+oo)

19.(2020湖南張家界期末)已知函數(shù)f(x)=|x2-4|+x2+ax,aeR.

⑴若f(x)為偶函數(shù),求實數(shù)a的值；

(2)當a=4時,求函數(shù)f(x)的零點;

⑶若方程f(x)=0在(0,4)上有兩個不同的實數(shù)根xi,X2(xi<X2),求實數(shù)a的取值范

圍.

答案與分層梯度式解析

第五章函數(shù)應用

§1方程解的存在性及方程的近似解

1.1利用函數(shù)性質判定方程解的存在性

基礎過關練

1.A

2.A令2x2+x-l=0,即(2x-l)(x+l)=0,解得x=T或x=-l.故選A.

3.P當x<l時，令2x-l=0相x=0;當x>l時，令l+log2X=0,得xW，舍去.綜上所

述，函數(shù)f(x)的零點為0.故選D.

4.BPA選項中，令y=0,解得x=±1,故-1和1是函數(shù)y=x/的零點；

B選項中，令y=0,則2x2-x+l=0,因為△=(-l)2-4x2xl=-7<0,

所以函數(shù)丫="2外+1無零點；

C選項中，令y=0,解得x=±1,故-1和1是函數(shù)y=｛；；乂J°，的零點；

D選項中，令y=0,方程無解,故函數(shù)y=｛；m3°，無零點.故選BD.

5.答案0片

解析：2是函數(shù)f(x)=ax+b的一個零點

/.2a+b=0,gpb=-2a,

.,.g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+l),

令-ax(2x+l)=(X得x=0或x=-1,

二函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點是0,-|.

6.Bf(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，￡(2)=0,所以￡僅)在(0,+8)上有且僅有一個零點2.

又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在(-8。上有且僅有一個零點一2.因此函數(shù)f(x)有兩個零

點,

7.ABP對于函數(shù)f(x)=x4x曰-Ll],f(-Df(D>0,但f(0)=0,故A中說法不正

確,C中說法正確;對于函數(shù)f(x)=x3-x,x￡[-2,2],f(-2)?f(2)<0,但f(0)=f(-

l)=f(l)=0,故B中說法不正確;由零點存在定理知D中說法不正確.

易錯警示

、愿使用零點存在定理時，一定要注意它的使用條件.滿足條件時，能夠判斷函數(shù)

存在零點，但是不滿足條件時，函數(shù)也可能存在零點.

8.C由|lgx|+x-2=0得|lgx|二2-x,在同一平面直角坐標系內作出y=|lgx出勺圖

象與y=2-x的圖象，如圖所示，

由圖可知y二|lgx出勺圖象與y=2-x的圖象有兩個交點，所以方程|lgx|+x-2=0有

兩個解，故選C.

9.解析解法一:函數(shù)對應的方程為Inx+x2-3=0,故原函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)

y=lnX與y=3-x2的圖象交點個數(shù).

在同一平面直角坐標系中,作出兩個函數(shù)的圖象(如圖).

由圖象知，函數(shù)y=3-x2與y=lnx的圖象只有一個交點，從而Inx+x2-3=0只有一

個根,即函數(shù)f(x)=lnx+x2-3有且只有一個零點.

解法二:???f(l)=ln1+12-3=-2<0,

f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,

.??f(D-f(2)<0,

又f(x)=lnx+x2-3的圖象在(L2)上是不間斷的〃葉儀)在(1,2)上必有零點，

又又)在(0,+8)上是單調遞增的,

」?函數(shù)的零點有且只有一個.

10.P易知函數(shù)f(x)=y-I在(0,+8)上單調遞增，且其圖象是一條連續(xù)的曲線.

所以f(|}f(2)<0,

根據(jù)零點存在定理可知，函數(shù)f(x)二后|的零點所在的區(qū)間為(|,2).故選D.

11.ABP由題意得函數(shù)在(L3)內有零點，在［3,5)內無零點，所以A、B、D一定

正確,C不一定正確.故選ABD.

12.答案(2,3),(3,4),(6,7)

解析由零，黯矗理母知，函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是(2,3),⑶4),(6,7).

13.答案2

解析令f(x)=lnx+x-4,易知f(x)在(0,+8)上單調遞增，且其圖象是一條連續(xù)的

曲線，

?.f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,

」?初僅在(2,3)內有零點，

.-.k=2.

14.證明由題意得方程5x2-7x-l=0的判別式A=69>0,故方程共有兩個不相等

的實數(shù)根.

設f(x)=5x2-7x-L貝Uf(-l)=5+7-l=ll,f(0)=-l,f(l)=5-7-l=-3,f(2)=20-14-

1=5.

?.f(-l).f(0)=-ll<0,f(Df(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-l的圖象在R上是連續(xù)不

斷的，

???f(x)在(-1,0)和(L2)上分別有零點，

即方程5x2-7x-l=0的一個根在區(qū)間(-L0)上另一個根在區(qū)間(L2)上.

15.B?.?函數(shù)y=2'y=去在(L+8)上均為增函數(shù)〃?.函數(shù)%)在(1,+8)上為增函數(shù)

.?.由xiW(Lxo),f(xo)=O,得f(xi)<f(xo)=O,

由X2G(X0,+OO),f(xo)=O,得f(x2)>f(xo)=O.

16.答案(0,1)

解析令f(x)=lnx-m=C\得m=lnx.因為xo￡(l,e),所以Inxo￡(O,l),故

me(0,l).

p2-8>0,

17.解析(1)根據(jù)題意得f(2)=6-2a>0,

.I?<乙

解得a<-2/或2V2<a<3,

即實數(shù)a的取值范圍為(-8,-2a]U[272,3).

(2)根據(jù)題意得f(2)=6-2a<0,解得a>3,

即實數(shù)a的取值范圍為(3,+8).

⑶根據(jù)題意得f(2)f(4)=(6-2a)(18-4a)<0或｛黃[彳。'解得3<a<|.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(3,|).

能力提升練

l.Py=xf在(0,+8)上單調遞增，且當x=l時,y=0,故存在零點，符合要求.故選D.

2.C在同一平面直角坐標系內作出f(x),g(x)的圖象，如圖所示.

由圖可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，所以方程f(x)-g(x)=O有兩個實數(shù)根，故選

C.

3.C令f(x)=L當xR-1,3)時,|log2(x+l)|=L解得xi二0X2,當X￡[3,+8)

時匕=L解得X3=5.綜上,f(x)=l的解為X/X2=LX3=5.作出f(x)的圖象如圖所

由圖象可得嶺)/無解的)=1有3個解,f(x)=5有1個解，因此函數(shù)g(x)=f

(f(x))-l的零點個數(shù)為4,故選C.

4。函數(shù)F(x)=f(x)-a的零點，即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a的交點橫坐標.

在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y二a,如圖所示.

由圖象知，當0<a<l時,y=f(x)的圖象與直線y=a有5個交點，交點的橫坐標從左

到右依次記為X1,X2,X3,X4,X5,

且X1+X2=-6,X4+X5=6,f(X3)=a(-l<X3<0).

由f(X3)=a及f(x)為奇函數(shù)得”-X3)=-a(0<-X3<l),

所以logi(-X3+1)=-a,BPX3=l-2a.

2

因止匕Xl+X2+X3+X4+X5=>2a,故選C.

5.C令f(x)=2x+x-2=0,h(x)=log2X+x-2=0,貝U2x=2-x,log2X=2-x,gpa,c分另U

為直線y=2-x與函數(shù)y=2x,y=log2x圖象交點(設為A,C)的橫坐標.因為

x

y=2,y=log2x互為反函數(shù),所以其圖象關于直線y=x對稱,而直線y=2-x與y=x

垂直，所以AC的中點即為直線y=2-x與y=x的垂足，坐標為Q1),故a+c=2.又

由題意得b3-8=0,解得b=2,所以a+b+c=4,故選C.

6.答案3

解析由9僅)=a-2開(刈-2*+1=0必2)=-3/0,得%)=答=2+芻作出函數(shù)

與y=2+2的圖象，如圖所示，

由圖象可知兩個函數(shù)圖象共有3個交點，故函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為3.

7.解析Q)當a=l時屈數(shù)嶺)=需，該函數(shù)為奇函數(shù).

證明如下:依題意得函數(shù)f(x)的定義域為R,關于原點對稱，

因為心)=需=翼^^=-f(x),

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

(2股)=%邕=卑產(chǎn)=2-備，

令f(x)=O彳導a=篇，

因為函數(shù)y=2x在R上單調遞增且值域為(0,+8),

所以y=?在R上單調遞減且值域為(0,2),

所以當a?0或組2時，函數(shù)f(x)無零點；

當0<a<2時，函數(shù)f(x)有唯一零點

8.解析Q)在條件③中，令xi=X2=0,

得f(0)2f(0)+f(0),即f(0)<0,

由條件①知由)“,所以收)=0.

(2)沒有.理由如下：

任取X1,X2￡[0,1],且X1<X2,

則X2-Xl￡(0,l]廁f(X2-Xl)>0,

所以f(X2)=f[(X2-Xl)+Xl]>f(X2-Xl)+f(Xl)>f(Xl),

所以f(X)在。1]上為增函數(shù)，

所以f(X)的最大值是f⑴=1.

取x[,i]則2x>2xl=l,

所以對一切實數(shù)都有f(x)<2x,

所以對一切實數(shù)xw加部有f(x)<2x+白

即對一切實數(shù)都有f(x)-2x-^<0,

所以函數(shù)g(x)=f(x)-2x*在加上沒有零點

9.A因為函數(shù)丫二嶺)僅￡R)是奇函數(shù)所以乂1與X2017,X2與X2016,..,X1008與

X1010關于y軸舟稱，且X1009=0,所以X1+X2+...+X2017=m=0廁關于X的方程為

2x+x-2=0.

令h(x)=2x+x-2,

易知h(x)在R上遞增，且其圖象是一條連續(xù)的曲線.

因為h(0)=20+0-2=-l<0,h(l)=21+l-2=l>0,

所以關于x的方程2x+x-2=m的根所在區(qū)間是(0,1),故選A.

10.8由已知得，當X￡(-8海時,X-入LX-入2,x-入3的值均小于。故f(x)<0,故f(x)

在該區(qū)間內不存在零點;當乂￡(入3,+8)時》-入1〃-入2〃-入3的值均大于0,故f(x)在該

區(qū)間內不存在零點，故兩個零點所在的區(qū)間分別是(入1,入2),(入2,入3),故選B.

U.答案(1,2)

解析設f(X)=x3-gf：則X。是函數(shù)f(X)的零點，

因為f(l)=l-Qy=-l<0,限)=8-?°=7>0,所以但)丸2)<0,又嶺)在尺上是增

函數(shù),且其圖象是一條連續(xù)的曲線，所以f(x)存在唯一零點xo,所以x0G(l,2).

12.C因為函數(shù)y=G)""+m有零點，

所以方程(-T+m=0有解，

即方程(『”二-m有解，

因為所以0<?"工1,

即0<-m《L因止匕故選C.

13.P函數(shù)f(x)在區(qū)間[o口上有零點的充分條件為f(0)f(爐0,即(1-Ioga2)?(：l-

loga3)<0,

|T]||[1-log2<°，或[1-log2>0,

AJaa

h-loga3>0^0U-loga3<0,

解得2waw3.

2

當a=30tf(x)=(6x-l)-log3(3x+2),

顯然函數(shù)f(x)在區(qū)間［o崗上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(l)=l-l=o,f(0)=l-

Iog32>0,

經(jīng)檢驗，當a=2時，符合題意.

故實數(shù)a的取值范圍為［2,3).故選D.

14.BCD當a=0時，方程為岡=0,解得x=0,不符合題意.

?.方程ax?-岡+a=0有4個不同的實數(shù)解，

/.a/O,x/O,

.?方程可變?yōu)?胃=岡+高

方程ax2-|x|+a=0有4個不同的實數(shù)解等價于函數(shù)y=|x|+三的圖象和直線y三

有4個不同的交點.

作出函數(shù)y=|x|+部勺圖象和直線y三，如圖所示.

由圖可知，當42,即0<a〈期，直線丫三與函數(shù)y=|x|+自