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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則2.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.23.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.4.若,則的虛部是()A. B. C. D.5.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.56.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.9.下列圖形中,不是三棱柱展開(kāi)圖的是()A. B. C. D.10.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.11.設(shè)橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn),則橢圓E的離心率是()A. B. C. D.12.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則__________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)和橢圓交于、兩點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),滿足,,當(dāng)面積最大時(shí),直線的方程為_(kāi)_____.15.已知的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_____.16.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),為上互相不重合的三點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標(biāo)為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.18.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大??;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng)的最小值.19.(12分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長(zhǎng).20.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系,并給出證明.21.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F(xiàn),G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點(diǎn),以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.22.(10分)求函數(shù)的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項(xiàng)A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項(xiàng)B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項(xiàng)C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項(xiàng)D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.2、D【解析】
在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、B【解析】
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、D【解析】
通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當(dāng)a=2時(shí),化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.8、D【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開(kāi)圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知,ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱,C選項(xiàng)不是三棱柱展開(kāi)圖.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開(kāi)圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、C【解析】
連接,為的中位線,從而,且,進(jìn)而,由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,連接,橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),不妨設(shè)B在第二象限,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)為的中位線,,且,,解得橢圓的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)?,所以平面,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,得到,再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,即,所以,即,解得.故答案為:10【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號(hào)成立條件得到直線的傾斜角為,計(jì)算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.15、1【解析】
由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式得:,解得,令得:展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開(kāi)式的通項(xiàng),令,得含有的項(xiàng)的系數(shù)是,解得,令得:展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式,屬于中檔題.16、或【解析】
設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為:,設(shè),由拋物線的定義可知:,,,因?yàn)?、、成等差?shù)列,所以有,所以,因?yàn)榫€段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡(jiǎn)整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由已知線面垂直得,結(jié)合菱形對(duì)角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計(jì)算出的長(zhǎng),寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因?yàn)槠矫妫矫?,所?因?yàn)樗倪呅问橇庑?,所?又因?yàn)?,平面,平面,所以平?解:(2)據(jù)題設(shè)知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,因?yàn)榕c平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設(shè)平面的一個(gè)法向量,則令,則.因?yàn)槠矫?,所以為平面的一個(gè)法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角,這樣可減少思維量,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算.18、(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)?,所以,由余弦定理得,化?jiǎn)得,可得,解得,又因?yàn)?,所?(6分)(2)因?yàn)椋?,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).由(1)得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),解得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),所以的周長(zhǎng)的最小值為.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:由于圖形是正四棱錐,因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O,則以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可用空間向量法解決問(wèn)題.(1)只要證明=0即可證明垂直;(2)設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量為,利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得.試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻A=AB=,則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因?yàn)椋?,所以MN⊥AD(2)解:因?yàn)镸在PA上,可設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).設(shè)平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一組解為x=λ-1,y=0,z=λ,所以可?。?λ-1,0,λ).因?yàn)槠矫鍭BD的法向量為=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,從而M,N,所以MN==.考點(diǎn):用空間向量法證垂直、求二面角.20、(1)(2)(3)直線平面,證明見(jiàn)解析【解析】
取中點(diǎn),連接,則,再由已知證明平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量.(1)求出的坐標(biāo),由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一個(gè)法向量,再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐標(biāo),由,結(jié)合平面,可得直線平面.【詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形.取中點(diǎn),連接,則,為等邊三角形,,又平面平面,且平面平面,平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,,,.,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由,取,得.(1)證明:設(shè)直線與平面所成角為,,則,即直線與平面所成角的正弦值為;(2)設(shè)平面的一個(gè)
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